Lernzettel: Introduction à la dérivée et la tangente

📋 Plan du Cours

1. Avec le logiciel Géogébra, tracer la courbe 𝒞𝑓
2. On considère le point A de la courbe 𝒞𝑓 d’abscisse
3. a) Construire un point M quelconque distinct de A et de B sur la courbe 𝒞𝑓
4. Sécante à une courbe
5. Tangente à une courbe
6. Créer un curseur 𝑎 allant de -5 à 5 avec un incrément de 0,01
7. Compléter le tableau ci-dessous : 𝑎 −5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5 𝑓′(𝑎) −10 −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 10
8. Dérivées des fonctions usuelles Propriétés (admises): Expression de 𝒇(𝒙) 𝒇 est définie sur Expression de 𝒇′(𝒙) 𝒇

📖 1. Avec le logiciel Géogébra, tracer la courbe 𝒞𝑓

📝 Points essentiels

• Dans l’activité, la courbe 𝒞𝑓 est la courbe représentative de la fonction 𝑓 dans un repère orthogonal.
• Dans l’activité, on considère la fonction 𝑓 définie sur ℝ par 𝑓(𝑥)=−𝑥3+3𝑥2−1 et on trace sa courbe 𝒞𝑓 avec Géogébra.
• La courbe 𝒞𝑓 est associée à la fonction 𝑓 définie sur l’intervalle considéré (par exemple sur ℝ dans l’activité).
• Etude locale 2 On considère une fonction 𝑓 définie sur un intervalle I et on note sa représentation graphique dans un repère orthogonal.
• Fonction dérivable sur un intervalle Définition : Soit 𝒇 une fonction définie sur un intervalle I.
• Dans l’activité 1, on considère 𝑓(𝑥)=−𝑥³+3𝑥²−1 et on trace sa courbe 𝒞𝒇 dans un repère orthogonal.
• Le tracé de 𝒞𝒇 sert de base pour ensuite lire des ordonnées et construire des tangentes/sécantes.
• La courbe 𝒞𝒇 est associée à la fonction 𝑓 définie sur l’intervalle étudié (ex : [-5 ; 5] pour l’activité 2).

💡 À retenir

Avec Géogébra, tracer la courbe 𝒞𝑓 de la fonction 𝑓 dans un repère orthogonal permet ensuite de mener l’étude locale à partir de la représentation graphique (par exemple lire 𝑓(−4)).

📖 2. On considère le point A de la courbe 𝒞𝑓 d’abscisse

🔑 Notions clés & Définitions

• Point A : Courbe 𝒞𝑓 considérée au point A, pour laquelle on trace la tangente 𝑇.

📝 Points essentiels

• Le point A est un point de la courbe 𝒞𝑓 d’abscisse 1, et son ordonnée vérifie 𝑦𝐴=𝑓(1).
• Dans l’étude locale, A est un point de la courbe d’abscisse 𝑎 avec 𝑎∈I, et l’ordonnée du point A est l’image de son abscisse : 𝑦𝐴=𝑓(𝑎).
• Le point A est un point de la courbe 𝒞𝒇 d’abscisse 1 dans l’activité : 𝑦𝐴=𝑓(1).
• Dans l’activité, on donne la syntaxe de point : A = (1, 𝑓(1)).
• Le point A est ensuite placé dans Géogébra à partir de ses coordonnées (abscisse fixée, ordonnée calculée).
• Dans l’étude locale, A est un point de la courbe d’abscisse 𝑎 où 𝑎 appartient à l’intervalle de définition I.
• L’ordonnée du point A est toujours l’image de son abscisse : 𝑦𝐴=𝑓(𝑎).

💡 À retenir

Relier l’abscisse de A à son ordonnée via 𝑦𝐴=𝑓(𝑎) permet de placer correctement le point sur 𝒞𝑓 avant de tracer la tangente au point A.

📖 3. a) Construire un point M quelconque distinct de A et de B sur la courbe 𝒞𝑓

📝 Points essentiels

• Construire un point M quelconque distinct de A et de B sur la courbe 𝒞𝑓.
• Lorsque les points A et M sont confondus, la droite n’existe pas.
• Choisir M sur la courbe 𝒞𝑓 afin que la droite (AM) soit une sécante passant par deux points distincts de la courbe.
• Utiliser le rapprochement de M vers A pour observer l’évolution de la sécante (AM), en préparation à la tangente.
• La tangente à la courbe au point A et la courbe 𝒞𝑓 sont quasiment confondues I.Etude locale 2 On considère une fonction 𝑓 définie sur un intervalle I et on note sa représentation graphique dans un repère orthogonal.
• A est un point de la courbe d’abscisse 𝑎 où 𝑎 ∈ I.
• On construit un point M quelconque sur la courbe 𝒞𝒇, distinct de A et de B.
• La droite (AM) est tracée puis le point M est déplacé pour tester différentes positions de la droite.
• La construction de M sert à observer l’évolution de la droite (AM) quand M se rapproche de A (préparation à la tangente).

💡 À retenir

En faisant varier le point M sur la courbe 𝒞𝑓, la droite (AM) change. Quand M se rapproche de A, la sécante (AM) se rapproche d’une droite T appelée tangente à la courbe au point A lorsqu’elle existe.

📖 4. Sécante à une courbe

📝 Points essentiels

• Si A et M sont deux points distincts de la courbe, alors la droite (AM) est appelée droite sécante à la courbe.
• La sécante (AM) est la droite déterminée par deux points de la courbe.
• On a tracé la tangente à 𝒞𝑓 au point A.
• Dans l’étude locale, la sécante (AM) sert de droite approchante quand M se rapproche de A.
• Le coefficient directeur de la tangente (quand elle existe) est relié à la limite des coefficients directeurs des sécantes (AM) lorsque M tend vers A.
• La sécante est l’objet géométrique utilisé avant d’introduire la tangente au point A.
• Elle est parallèle à l’axe des abscisses.

💡 À retenir

La sécante (AM) est la droite déterminée par deux points distincts de la courbe, et l’exemple montre comment le coefficient directeur de la tangente au point A (égale à 𝑓′(−4)) s’obtient à partir de deux points de cette tangente.

📖 5. Tangente à une courbe

📝 Points essentiels

• Pour que la droite (AM) soit presque confondue avec la tangente à la courbe 𝒞𝑓 au point A, il faut placer le point M très proche du point A.
• Au fur et à mesure que le zoom devient plus important, la tangente à la courbe au point A et la courbe 𝒞𝑓 sont quasiment confondues.
• Tangente à une courbe Définition : Lorsque le point M se rapproche de plus en plus du point A, la sécante (AM) se rapproche d’une droite T qui est appelée lorsqu’elle existe, tangente à la courbe au point A 3.
• Il faut que le point M soit très proche du point A.
• La droite T est appelée tangente à la courbe au point A lorsqu’elle existe.
• La tangente est obtenue par rapprochement de M vers A (approche géométrique).
• Dans l’activité, quand on zoom sur A de plus en plus, la tangente et la courbe 𝒞𝒇 deviennent quasiment confondues.

💡 À retenir

La tangente est la droite vers laquelle tend la sécante (AM) quand le point M se rapproche de A, et elle devient quasiment confondue avec la courbe au point A lors du zoom.

📖 6. Créer un curseur 𝑎 allant de -5 à 5 avec un incrément de 0,01

📝 Points essentiels

• Le curseur 𝑎 est créé allant de -5 à 5 avec un incrément de 0,01.
• Le point A est créé sur la courbe 𝒞𝑓 d’abscisse 𝑎.
• Le choix de l’intervalle [-5 ; 5] correspond au domaine utilisé pour tracer la courbe 𝒞𝑓 via Fonction(𝑥², -5, 5).
• A est un point de la courbe d’abscisse 𝑎 où 𝑎 ∈ I.
• Le curseur 𝑎 permet de faire varier l’abscisse du point sur la courbe.
• Dans l’activité, le curseur 𝑎 sert à construire ensuite le point A d’abscisse 𝑎 et à afficher la tangente correspondante.
• Le choix de l’intervalle [-5 ; 5] correspond au domaine étudié pour la fonction 𝑓(𝑥)=𝑥² dans l’activité.

💡 À retenir

En paramétrant 𝑎 dans Géogébra (bornes -5 à 5 et pas 0,01), on peut créer le point A d’abscisse 𝑎 puis afficher le coefficient directeur de la tangente correspondante.

📖 7. Compléter le tableau ci-dessous : 𝑎 −5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5 𝑓′(𝑎) −10 −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 10

📝 Points essentiels

• Dans le tableau à compléter, chaque valeur de a est associée à la valeur f′(a).
• Pour f(x)=x² sur [-5 ; 5], on obtient : f′(−5)=−10, f′(−4)=−8, f′(−3)=−6, f′(−2)=−4, f′(−1)=−2, f′(0)=0, f′(1)=2, f′(2)=4, f′(3)=6, f′(4)=8, f′(5)=10.
• Le tableau sert de support à la conjecture d’une formule simple pour f′(x) : f′(x) = 2x.
• Nombre dérivé Définition : Le coefficient directeur de la tangente T à la courbe au point A d’abscisse 𝒂 est appelé, lorsqu’il est défini, nombre dérivé de la fonction 𝒇 en 𝒂 que l’on note 𝒇′(𝒂).
• La fonction dérivée 𝑓′ est la fonction qui à 𝑥 associe le coefficient directeur de la tangente en ce point.
• Le tableau à compléter associe chaque valeur de 𝑎 à la valeur de 𝑓′(𝑎).
• Dans l’activité, pour 𝑓(𝑥)=𝑥² sur [-5 ; 5], on obtient : 𝑓′(−5)=−10, 𝑓′(−4)=−8, 𝑓′(−3)=−6, 𝑓′(−2)=−4, 𝑓′(−1)=−2, 𝑓′(0)=0, 𝑓′(1)=2, 𝑓′(2)=4, 𝑓′(3)=6, 𝑓′(4)=8, 𝑓′(5)=10.
• La valeur 𝑓′(𝑎) du tableau correspond au coefficient directeur de la tangente à la courbe au point d’abscisse 𝑎.
• Le tableau est construit pour permettre une conjecture de formule de 𝑓′(𝑥).
• Le tableau sert de support à la conjecture : 𝑓′(𝑥) = 2𝑥 (déduite ensuite à partir des valeurs).

💡 À retenir

Le tableau associe à chaque abscisse a la valeur f′(a), qui est le coefficient directeur de la tangente au point de la courbe d’abscisse a. En observant la régularité des valeurs, on conjecture une formule pour f′(x).

📖 8. Dérivées des fonctions usuelles Propriétés (admises): Expression de 𝒇(𝒙) 𝒇 est définie sur Expression de 𝒇′(𝒙) 𝒇

🔑 Notions clés & Définitions

• Propriétés (admises) : Propriétés (admises) : On considère 𝒖 et 𝒗 deux fonctions dérivables sur un intervalle I et 𝒌 un nombre réel.

📝 Points essentiels

• Si f(x)=k avec k∈ℝ, alors pour tout x∈ℝ : f′(x)=0 (exemple : pour f(x)=−2, on a f′(x)=0 pour tout x∈ℝ).
• Si f(x)=x, alors pour tout x∈ℝ : f′(x)=1.
• Si f(x)=x², alors pour tout x∈ℝ : f′(x)=2x.
• Si f(x)=x³, alors pour tout x∈ℝ : f′(x)=3x².
• Dire que 𝒇 est dérivable sur I signifie que pour tout nombre réel 𝒙 de I, le nombre dérivé 𝒇′(𝒙) existe.

💡 À retenir

Si f(x)=k avec k∈ℝ, alors pour tout x∈ℝ : f′(x)=0 (exemple : pour f(x)=−2, on a f′(x)=0 pour tout x∈ℝ).

🧩 Compléments de couverture

1. Dans l’activité, la tangente au point B est tracée en vert à l’aide de l’outil « Tangentes ».
2. Pour tout réel 𝑥, 𝑓′(𝑥) = 3x² (d’après la dernière ligne du tableau) Donc, 𝑓′(4) = 3 × 4² = 3 × 16 = 48 Remarque : La calculatrice permet de déterminer, dans certains cas, une valeur approchée du nombre dérivé.
3. Remarque : Pour tout nombre réel 𝑥 de I, il existe un point d’abscisse 𝑥 de la courbe représentative de la fonction 𝑓 dans un repère.
4. Démonstration : Le coefficient directeur de la tangente T à la courbe au point A est 𝑓′(𝑎) donc son équation réduite s’écrit 𝑦 = 𝑓′(𝑎)𝑥 + 𝑝 De plus, A(𝑎;.
5. • 5 Soit, 𝑦 = 2𝑥 + 8 + 5 Donc l’équation réduite de la tangente à au point A est 𝑦 = 2𝑥 + 13 Activité : On considère la fonction 𝑓 définie sur [−5 ; 5] par 𝑓(𝑥) = 𝑥².

📊 Tableaux de Synthèse

Tableau de valeurs (activité sur f(x)=x²)

a	f′(a)	Interprétation	Lien avec la tangente
-5	-10	Nombre dérivé	Coefficient directeur de la tangente au point d’abscisse -5
0	0	Nombre dérivé	Coefficient directeur de la tangente au point d’abscisse 0

Sécante vs tangente (idée géométrique)

Objet	Définition	Rôle quand M→A	Position/limite
Sécante (AM)	Droite déterminée par deux points distincts de la courbe	Droite approchante quand M se rapproche de A	Son coefficient directeur tend vers celui de la tangente (quand elle existe)
Tangente T	Droite vers laquelle tend la sécante quand M se rapproche de A (lorsqu’elle existe)	Limite géométrique de la sécante	Devient quasiment confondue avec la courbe au point A lors du zoom

⚠️ Pièges & Confusions Fréquentes

1. Confondre le point A (abscisse 1 dans l’activité) avec un point quelconque : A est défini comme point de la courbe d’abscisse 1 et son ordonnée vaut yA=f(1).
2. Oublier que la sécante (AM) n’existe pas si A et M sont confondus (points confondus).
3. Croire que la tangente est obtenue directement sans rapprochement : elle est obtenue par rapprochement de M vers A (approche géométrique).
4. Inverser le rôle de la sécante et de la tangente : la sécante sert de droite approchante avant d’introduire la tangente au point A.
5. Confondre le nombre dérivé f′(a) avec une ordonnée : f′(a) est le coefficient directeur de la tangente au point d’abscisse a.
6. Se tromper sur l’interprétation du tableau : chaque valeur de a est associée à f′(a), c’est-à-dire au coefficient directeur de la tangente au point d’abscisse a.
7. Mélanger les formules de dérivation : par exemple, pour f(x)=x² on a f′(x)=2x, et pour f(x)=x³ on a f′(x)=3x² (ne pas confondre).

✅ Checklist Examen

1. Tracer la courbe Cf de la fonction f dans un repère orthogonal (courbe représentative de f).
2. Relier l’abscisse de A à son ordonnée via yA=f(a) (et en particulier yA=f(1) dans l’activité).
3. Placer A dans Géogébra à partir de ses coordonnées (abscisse fixée, ordonnée calculée).
4. Choisir un point M sur la courbe distinct de A (sinon la droite (AM) n’existe pas).
5. Tracer la droite (AM) : c’est une sécante déterminée par deux points distincts de la courbe.
6. Déplacer M pour observer l’évolution de la sécante quand M se rapproche de A.
7. Réaliser l’idée de tangente : quand M se rapproche de plus en plus de A, la sécante se rapproche d’une droite T (lorsqu’elle existe).
8. Créer le curseur a dans Géogébra allant de -5 à 5 avec un incrément de 0,01, puis construire le point A d’abscisse a.
9. Compléter le tableau en associant chaque a à la valeur f′(a) (coefficient directeur de la tangente).
10. Conjecturer la formule de f′(x) à partir des valeurs du tableau (ex : régularité menant à f′(x)=2x dans l’activité).
11. Utiliser les propriétés admises des dérivées des fonctions usuelles (constante, x, x², x³) pour retrouver f′(x).