Introduction à la dérivée et ses applications

📋 Plan du Cours

1. Définition du nombre dérivé
2. Interprétation géométrique
3. Interprétation physique
4. Équation de la tangente
5. Calcul du dérivé
6. Exemple de dérivée
7. Lien avec les variations

📖 1. Définition du nombre dérivé

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombre dérivé en un point $a$ : Limite du taux d’accroissement de la fonction en ce point, noté $f'(a)$. Il mesure le taux de variation instantané de la fonction en $a$.
  $\displaystyle f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}$

• Taux d’accroissement : Rapport $\frac{f(a+h) - f(a)}{h}$, représentant la variation moyenne sur $[a, a+h]$. La dérivée est la limite de ce taux quand $h \to 0$.

• Interprétation géométrique : La dérivée en $a$ est la pente (coefficient directeur) de la tangente à la courbe $f$ en $a$.

• Interprétation physique : Si $f(t)$ représente une position en fonction du temps, alors $f'(t)$ est la vitesse instantanée à l’instant $t$.

• Dérivabilité en un point : La fonction $f$ est dérivable en $a$ si la limite du taux d’accroissement existe et est finie.

📝 Points essentiels