Introduction à la fonction exponentielle

📋 Plan du Cours

1. Définition unique et caractérisation de la fonction exponentielle par son équation
2. Positivité et croissance stricte de la fonction exponentielle
3. Propriétés algébriques et relation fonctionnelle de la fonction exponentielle
4. Notation exponentielle avec la base e et ses propriétés associées
5. Représentation graphique et tangentes de la fonction exponentielle
6. Dérivation et fonctions composées de la forme x ↦ e^{mx+p
7. Lien entre la fonction exponentielle et les suites géométriques

📖 1. Définition unique et caractérisation de la fonction exponentielle par son équation

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction exponentielle : Fonction définie et dérivable sur R qui vérifie simultanément f'(x)=f(x) pour tout réel x et f(0)=1 ; elle est notée exp.
• Théorème d’existence et d’unicité : Résultat d’existence admise affirmant qu’il existe une unique fonction définie et dérivable sur R vérifiant pour tout réel x f'(x)=f(x) et f(0)=1.

📝 Points essentiels

• On a exp(0)=1.
• Il existe une unique fonction définie et dérivable sur R qui vérifie simultanément f'(x) = f(x) pour tout réel x et f(0) = 1.

💡 À retenir

On a exp(0)=1.

📖 2. Positivité et croissance stricte de la fonction exponentielle

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction exponentielle est strictement : Fonction qui vérifie pour tout réel x e^x>0, n’est jamais nulle et dont la dérivée est positive sur R, ce qui entraîne une croissance stricte.