Lernzettel: Introduction à la trigonométrie circulaire

📋 Plan du Cours

1. Cercle trigonométrique
2. Sinus et cosinus
3. Formule fondamentale de trigonométrie
4. Tangente et cotangente
5. Relations trigonométriques importantes

📖 1. Cercle trigonométrique

🔑 Notions clés & Définitions

• Cercle trigonométrique : Le cercle trigonométrique est le cercle centré à l’origine d’un repère orthonormé, de rayon 1 et orienté positivement dans le sens anti-horaire.

📝 Points essentiels

• Le cercle trigonométrique est le cercle de centre l’origine du repère et de rayon égal à 1.
• Son orientation positive est anti-horaire.

📖 2. Sinus et cosinus

🔑 Notions clés & Définitions

• Sinus : Le sinus d’un angle orienté est la coordonnée y du point correspondant sur le cercle trigonométrique.
• Cosinus : Le cosinus d’un angle orienté est la coordonnée x du point correspondant sur le cercle trigonométrique.
• Angle orienté : Un angle orienté est un angle associé à un sens de rotation, utilisé pour repérer un point sur le cercle trigonométrique.

📝 Points essentiels

• Pour un point P correspondant à l’angle α sur le cercle, on a P(cos α, sin α) dans le repère orthonormé.
• Le cosinus correspond à l’abscisse et le sinus à l’ordonnée du point P.

📖 3. Formule fondamentale de trigonométrie

🔑 Notions clés & Définitions

• Formule fondamentale de trigonométrie : La formule fondamentale relie sinus et cosinus en donnant l’identité $\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$ pour tout angle α.

📝 Points essentiels

• Pour tout angle α, on a $\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$.
• La preuve repose sur le fait que le point correspondant est sur le cercle de rayon 1, donc $|OP|=1$ avec $P(\cos\alpha,\sin\alpha)$.

📖 4. Tangente et cotangente

🔑 Notions clés & Définitions

• Tangente : La tangente d’un angle α est le quotient $\mathrm{tg}\,\alpha=\dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$ quand elle est définie.
• Cotangente : La cotangente d’un angle α est le quotient $\mathrm{cotg}\,\alpha=\dfrac{\cos\alpha}{\sin\alpha}$ quand elle est définie.

📝 Points essentiels

• La tangente vaut $\mathrm{tg}\,\alpha=\dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$ et nécessite que $\cos\alpha\neq 0$.
• La cotangente vaut $\mathrm{cotg}\,\alpha=\dfrac{\cos\alpha}{\sin\alpha}$ et nécessite que $\sin\alpha\neq 0$.

📖 5. Relations trigonométriques importantes

🔑 Notions clés & Définitions

• Formules trigonométriques : Les formules trigonométriques sont des identités liant \mathrm{tg}, \mathrm{cotg}, \sin et \cos avec des conditions d’existence sur les angles.

📝 Points essentiels

• Si $\alpha\neq 90°+k\cdot 180°$ avec $k\in\mathbb{Z}$, alors $\mathrm{tg}\,\alpha=\dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$.
• Si $\alpha\neq k\cdot 180°$ avec $k\in\mathbb{Z}$, alors $\mathrm{cotg}\,\alpha=\dfrac{\cos\alpha}{\sin\alpha}$.
• Si $\alpha\neq 90°+k\cdot 180°$ avec $k\in\mathbb{Z}$, alors $1+\mathrm{tg}^2\alpha=\dfrac{1}{\cos^2\alpha}$.
• Si $\alpha\neq k\cdot 180°$ avec $k\in\mathbb{Z}$, alors $1+\mathrm{cotg}^2\alpha=\dfrac{1}{\sin^2\alpha}$.
• Pour tout angle α, $\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$.

⚠️ Pièges & confusions fréquents

1. Confondre l’abscisse et l’ordonnée : pour l’angle α, $\cos\alpha$ est l’abscisse et $\sin\alpha$ l’ordonnée du point correspondant.
2. Oublier les conditions de définition des quotients : $\mathrm{tg}\,\alpha$ ne peut pas être utilisé quand $\cos\alpha=0$, et $\mathrm{cotg}\,\alpha$ quand $\sin\alpha=0$.
3. Mélanger les domaines des formules : les exclusions $90°+k\cdot 180°$ et $k\cdot 180°$ ne sont pas interchangeables.
4. Se tromper en dérivant le lien avec $\cos$ ou $\sin$ : $1+\mathrm{tg}^2\alpha=1/\cos^2\alpha$ et $1+\mathrm{cotg}^2\alpha=1/\sin^2\alpha$.
5. Utiliser la formule fondamentale sans condition : $\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$ vaut pour tout angle α, contrairement aux formules de tangente/cotangente.

✅ Checklist Examen

1. Définir le cercle trigonométrique : centre à l’origine, rayon 1, orientation anti-horaire.
2. Relier un angle orienté α au point P correspondant sur le cercle trigonométrique.
3. Donner la relation de coordonnées $P(\cos\alpha,\sin\alpha)$ dans le repère orthonormé.
4. Définir cos α comme abscisse et sin α comme ordonnée du point P.
5. Énoncer la formule fondamentale : $\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$ pour tout angle α.
6. Énoncer $\mathrm{tg}\,\alpha=\dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$ et préciser l’exclusion associée à $90°+k\cdot 180°$.
7. Énoncer $\mathrm{cotg}\,\alpha=\dfrac{\cos\alpha}{\sin\alpha}$ et préciser l’exclusion associée à $k\cdot 180°$.
8. Énoncer la formule $1+\mathrm{tg}^2\alpha=\dfrac{1}{\cos^2\alpha}$ avec sa condition d’existence.
9. Énoncer la formule $1+\mathrm{cotg}^2\alpha=\dfrac{1}{\sin^2\alpha}$ avec sa condition d’existence.
10. Choisir correctement entre les identités avec $\cos$ au dénominateur et celles avec $\sin$ au dénominateur selon l’angle.