Lernzettel: Introduction à l'Algèbre et Analyse Linéaire

📋 Plan du Cours

1. Ensembles, logique et relations d’équivalence
2. Applications, relations d’ordre et dénombrabilité
3. Algorithmique : types, affectations et récursivité
4. Fractions rationnelles : forme irréductible et décomposition
5. Groupes : morphismes, sous-groupes et actions
6. Espaces vectoriels : bases, dimension et rang
7. Matrices : rang, équivalence et opérations élémentaires
8. Déterminants : mineurs, cofacteurs et formules de Cramer
9. Dualité : hyperplans, orthogonalité et transposée
10. Réduction des endomorphismes : valeurs propres et polynômes
11. Formes quadratiques et réduction orthogonale
12. Probabilités : variables aléatoires, densités et vecteurs

📖 1. Ensembles, logique et relations d’équivalence

🔑 Notions clés & Définitions

• Vocabulaire de la théorie des ensembles : Ensemble de termes utilisés pour décrire des ensembles, leurs opérations et leurs propriétés logiques.
• Produit fini d’ensembles : Construction qui associe un nombre fini d’ensembles pour former un ensemble de tuples indexés par ces ensembles.
• Ensemble des entiers naturels N : Ensemble de référence des entiers naturels utilisé pour formuler des propriétés de dénombrement et de suites.
• Ensembles dénombrables : Ensembles dont les éléments peuvent être mis en correspondance bijective avec une partie de N (ou avec N lui-même).
• Relation d’équivalence : Relation binaire qui est réflexive, symétrique et transitive, permettant de regrouper les éléments en classes.

📝 Points essentiels

• Le vocabulaire ensembliste sert à définir précisément les opérations (union, intersection, complément) et les relations (inclusion, appartenance).
• Le produit fini d’ensembles produit des tuples et permet de raisonner sur des couples, triplets, etc., construits à partir d’ensembles donnés.
• La dénombrabilité d’une union d’une suite d’ensembles dénombrables se traite par un résultat de stabilité du dénombrement.
• Les classes d’une relation d’équivalence forment un ensemble quotient qui résume les éléments « équivalents ».
• L’ensemble quotient est obtenu en identifiant deux éléments dès qu’ils sont en relation d’équivalence.

💡 Astuce mémo

Réflexif = soi-même, Symétrique = aller-retour, Transitif = enchaînement ; donc classes, puis quotient.

📖 2. Applications, relations d’ordre et dénombrabilité

🔑 Notions clés & Définitions

• Théorème de Bézout : Théorème reliant le PGCD de deux entiers à une combinaison linéaire de ces entiers.
• Algorithme d’Euclide : Procédure itérative qui calcule le PGCD de deux entiers à partir de divisions successives.
• Polynôme irréductible : Polynôme non constant qui ne se décompose pas en produit de deux polynômes non constants sur un corps donné.
• Décomposition en facteurs irréductibles : Décomposition d’un polynôme en produit de polynômes irréductibles sur un corps où la factorisation est possible.
• Théorème de d’Alembert-Gauss : Résultat reliant l’irréductibilité sur un corps de fractions à l’irréductibilité sur un anneau de polynômes sur un corps.

📝 Points essentiels

• Le PPCM de deux entiers se relie au PGCD via la relation $ab=\mathrm{PGCD}(a,b)\,\mathrm{PPCM}(a,b)$.
• Le théorème de Bézout affirme l’existence de coefficients $u,v$ tels que $au+bv=\mathrm{PGCD}(a,b)$.
• L’algorithme d’Euclide produit une suite de restes qui s’annule, et le dernier reste non nul est le PGCD.
• Sur un corps, un polynôme se factorise en produit de facteurs irréductibles (à l’ordre près et à des constantes près).
• La dérivation d’un polynôme permet d’étudier les racines via la multiplicité (une racine multiple annule aussi des dérivées successives).
• Lorsque la caractéristique est nulle, l’identité de Taylor exprime un polynôme à partir de ses dérivées en un point.

💡 Astuce mémo

PGCD→Bézout : « le PGCD s’écrit en combinaison » ; Euclide : « restes qui finissent ».

📖 3. Algorithmique : types, affectations et récursivité

🔑 Notions clés & Définitions

• Mp,q(K) : Espace vectoriel des matrices à $p$ lignes et $q$ colonnes à coefficients dans $K$.
• Isomorphisme canonique : Correspondance naturelle entre $Mp,q(K)$ et un produit de vecteurs $K^q\times K^p$ qui identifie les coordonnées des matrices.
• GL(n, K) : Groupe des matrices carrées de taille $n$ à coefficients dans $K$ dont le déterminant est non nul.
• Matrice de passage : Matrice qui permet de passer des coordonnées d’un vecteur dans une base à celles dans une autre base.
• Opérations élémentaires : Transformations simples sur les lignes ou les colonnes d’une matrice qui préservent le type de problème (rang, résolution, inversion) selon leur nature.

📝 Points essentiels

• Le produit matriciel est défini quand le nombre de colonnes de la première matrice égale le nombre de lignes de la seconde, et donne une matrice de taille compatible.
• Une matrice est inversible si et seulement si elle représente une application linéaire bijective, ce qui se traduit par un rang maximal et un déterminant non nul (pour les carrées).
• Le rang d’une matrice est le maximum des rangs des sous-matrices extraites, et il caractérise l’existence de sous-matrices carrées inversibles de taille donnée.
• La transposée d’une matrice échange les rôles des lignes et des colonnes, et son rang est égal au rang de la matrice d’origine.
• Deux matrices représentant la même application linéaire dans des bases différentes sont liées par une relation de similarité via une matrice de passage.

📖 4. Fractions rationnelles : forme irréductible et décomposition

🔑 Notions clés & Définitions

• Forme irréductible : Représentation d’une fraction rationnelle où numérateur et dénominateur n’ont pas de facteur commun non constant.
• Décomposition en somme : Écriture d’un élément sous forme d’une somme de deux parties distinctes, chacune ayant une propriété algébrique propre.
• Décomposition de Dunford : Décomposition d’un endomorphisme en une partie diagonalisable et une partie nilpotente qui commutent.
• Partie diagonalisable : Composante d’un endomorphisme dont le comportement est celui d’un endomorphisme diagonalisable.
• Partie nilpotente : Composante d’un endomorphisme dont une puissance finit par s’annuler.

📝 Points essentiels

• Si le polynôme caractéristique est scindé, tout endomorphisme admet une écriture u=d+n avec d diagonalisable et n nilpotent.
• Dans cette décomposition, les deux parties commutent : d∘n=n∘d.
• L’écriture u=d+n est unique pour l’endormorphisme considéré.
• La décomposition permet d’étudier des suites récurrentes linéaires via l’action de u sur des vecteurs.
• La même décomposition s’applique à l’analyse de systèmes différentiels linéaires à coefficients constants via exp(u).
• Pour K=R ou C, on peut utiliser l’équivalence des normes en dimension finie pour transférer des propriétés topologiques à L(E).

💡 Astuce mémo

Dunford = Diagonale + Nilpotent, et ça commute : d+n avec d∘n=n∘d.

📖 5. Groupes : morphismes, sous-groupes et actions

🔑 Notions clés & Définitions

• Groupe affine : Groupe affine : ensemble des transformations affines bijectives muni de la composition, qui conserve la structure affine.
• Stabilisateur d’un point : Stabilisateur d’un point : sous-groupe des éléments d’un groupe qui laissent ce point invariant.
• Groupe des homothéties : Groupe des homothéties : sous-groupe des transformations affines de la forme $x\mapsto a x+b$ avec $a\neq 0$ et qui dilatent autour d’un centre.
• Groupe des translations : Groupe des translations : sous-groupe des transformations affines de la forme $x\mapsto x+v$ qui déplacent tous les points d’un même vecteur.
• Action d’un groupe : Action d’un groupe : application du groupe à un ensemble qui associe à chaque élément une transformation compatible avec la loi du groupe.

📝 Points essentiels

• Un morphisme de groupes respecte la loi : $\varphi(g_1g_2)=\varphi(g_1)\varphi(g_2)$ et envoie l’identité sur l’identité.
• Le noyau d’un morphisme $\varphi$ est un sous-groupe normal et correspond aux éléments envoyés sur l’élément neutre.
• L’image d’un morphisme est un sous-groupe du groupe d’arrivée et coïncide avec l’ensemble des valeurs $\varphi(g)$.
• Le stabilisateur d’un point $p$ dans une action est $\mathrm{Stab}(p)=\{g\mid g\cdot p=p\}$ et c’est un sous-groupe.
• Dans le cadre affine, le stabilisateur d’un point est isomorphe au groupe linéaire associé (transformation des directions).
• Les symétries, homothéties et translations forment des groupes de transformations ; en particulier, homothéties et translations sont des sous-groupes distincts de transformations affines.

💡 Astuce mémo

Stabilisateur = “fixe le point”, directions = “groupe linéaire” : point figé ⇒ seulement les directions bougent.

📖 6. Espaces vectoriels : bases, dimension et rang

🔑 Notions clés & Définitions

• Espace vectoriel : Ensemble muni d’une addition et d’une multiplication par un scalaire vérifiant les axiomes usuels de compatibilité et de distributivité.
• Base : Ensemble de vecteurs qui engendre l’espace et dont les vecteurs sont linéairement indépendants.
• Dimension : Nombre de vecteurs d’une base d’un espace vectoriel, invariant quel que soit le choix de la base.
• Rang d’une famille : Nombre maximal de vecteurs linéairement indépendants dans une famille donnée.
• Rang d’une matrice : Dimension de l’espace engendré par ses colonnes (ou ses lignes), équivalente au nombre de pivots après réduction.

📝 Points essentiels

• Une famille de vecteurs est une base si et seulement si tout vecteur de l’espace s’écrit de façon unique comme combinaison linéaire des vecteurs de la famille.
• Deux bases d’un même espace vectoriel ont le même nombre d’éléments, ce nombre est la dimension.
• Le rang d’une famille est le maximum des tailles des sous-familles linéairement indépendantes.
• Pour une matrice, le rang vaut le nombre de pivots obtenus par réduction (méthode de Gauss).
• Si une famille contient plus de vecteurs que la dimension de l’espace, elle est forcément liée.
• Si une famille de vecteurs est libre et a pour cardinal la dimension, alors elle est une base.

💡 Astuce mémo

Dimension = taille d’une base ; Rang = taille d’une sous-famille libre maximale.

📖 7. Matrices : rang, équivalence et opérations élémentaires

🔑 Notions clés & Définitions

• Rang d’une matrice : Le rang d’une matrice est la dimension de l’espace engendré par ses colonnes (ou lignes), c’est-à-dire le nombre maximal de vecteurs linéairement indépendants.
• Matrices équivalentes : Deux matrices sont équivalentes s’il existe des opérations élémentaires sur les lignes et/ou colonnes qui transforment l’une en l’autre.
• Opérations élémentaires sur les lignes : Les opérations élémentaires sur les lignes sont des transformations élémentaires qui ne changent pas le rang de la matrice.
• Opérations élémentaires sur les colonnes : Les opérations élémentaires sur les colonnes sont des transformations élémentaires qui ne changent pas le rang de la matrice.

📝 Points essentiels

• Le rang est invariant par opérations élémentaires sur les lignes et sur les colonnes.
• Une matrice de rang r admet une forme où r lignes (ou colonnes) sont indépendantes et toutes les autres sont combinaisons linéaires des premières.
• La notion d’équivalence sert à classer les matrices par leur structure linéaire sans changer le rang.
• Les opérations élémentaires permettent de transformer une matrice vers une forme plus simple pour lire le rang et les dépendances linéaires.

💡 Astuce mémo

Rang = “indépendance maximale” ; équivalence = “même structure” ; opérations élémentaires = “on simplifie sans casser le rang”.

📖 8. Déterminants : mineurs, cofacteurs et formules de Cramer

🔑 Notions clés & Définitions

• Mineur d’un déterminant : Le mineur d’un déterminant est le déterminant obtenu en supprimant une ligne et une colonne données, puis en ne gardant que la matrice restante.
• Cofacteur d’un déterminant : Le cofacteur associe à une position est le mineur correspondant multiplié par un signe alterné dépendant de la ligne et de la colonne.
• Déterminant d’une matrice carrée : Le déterminant d’une matrice carrée est une quantité scalaire qui encode l’orientation et l’inversibilité de la matrice.
• Formule de Cramer : La formule de Cramer donne la solution d’un système linéaire $A\,x=b$ lorsque $\det(A)\neq 0$ en remplaçant une colonne de $A$ par $b$.

📝 Points essentiels

• Le signe du cofacteur suit la parité de l’indice : $C_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}$ où $M_{ij}$ est le mineur correspondant.
• Le développement selon une ligne (ou une colonne) exprime $\det(A)$ comme somme des produits des éléments de cette ligne par leurs cofacteurs.
• Pour un système $A x=b$ avec $\det(A)\neq 0$, la solution unique vérifie $x_i=\dfrac{\det(A_i)}{\det(A)}$ où $A_i$ est $A$ avec la $i$-ème colonne remplacée par $b$.
• Si $\det(A)=0$, la formule de Cramer n’est pas applicable car l’inversion de $A$ n’est pas garantie.
• Le remplacement d’une colonne par $b$ dans $A$ est l’opération clé qui fait apparaître numérateur $\det(A_i)$ pour chaque composante $x_i$.
• Comparaison : mineur vs cofacteur — mineur = déterminant de la sous-matrice, cofacteur = mineur avec facteur de signe $(-1)^{i+j}$.

💡 Astuce mémo

Mineur = « sous-détail » (on coupe ligne+colonne), Cofacteur = Mineur + « signe » $(-1)^{i+j}$ ; Cramer = « colonne remplacée » pour chaque $x_i$.

📖 9. Dualité : hyperplans, orthogonalité et transposée

🔑 Notions clés & Définitions

• Hyperplan affine : Un hyperplan affine est un sous-ensemble de la forme $\{x\in E\mid \varphi(x)=a\}$ où $\varphi$ est une forme linéaire et $a$ un réel (ou un scalaire).
• Orthogonalité : L’orthogonalité décrit la relation entre un vecteur et un sous-espace via le produit scalaire, en imposant une condition d’annulation des produits scalaires.
• Transposée d’une application linéaire : La transposée d’une application linéaire est l’application qui envoie une forme linéaire sur une autre en composant avec l’application d’origine.
• Espace dual : L’espace dual $E^*$ est l’ensemble des formes linéaires continues (ou linéaires selon le cadre) définies sur $E$.

📝 Points essentiels

• Dans un espace préhilbertien, $x\perp F$ signifie que $\langle x,y\rangle=0$ pour tout $y\in F$.
• Le complément orthogonal $F^\perp$ est un sous-espace et vérifie $F\subset (F^\perp)^\perp$.
• Si $F$ est de dimension finie, la projection orthogonale sur $F$ donne le point de $F$ le plus proche de tout vecteur de l’espace ambiant.
• La transposée $T^*$ d’une application linéaire $T:E\to F$ agit sur $\lambda\in F^*$ par $T^*(\lambda)=\lambda\circ T$.
• En dimension finie, l’identification entre espaces et duals via une base permet d’exprimer $T^*$ par la transposée de la matrice de $T$ dans des bases duales.

💡 Astuce mémo

Orthogonalité = produit scalaire nul ; transposée = « on compose dans l’autre sens » ($T^*(\lambda)=\lambda\circ T$).

📖 10. Réduction des endomorphismes : valeurs propres et polynômes

🔑 Notions clés & Définitions

• Endomorphisme : Application linéaire d’un espace vectoriel dans lui-même, utilisée pour étudier la dynamique d’un vecteur sous répétition.
• Valeur propre : Nombre $lambda$ tel qu’il existe un vecteur non nul $v$ vérifiant $f(v)=\lambda v$, ce qui fixe une direction invariance.
• Vecteur propre : Vecteur non nul $v$ associé à une valeur propre $\lambda$, tel que $f(v)=\lambda v$.
• Polynôme annulateur : Polynôme $P$ tel que $P(f)=0$, ce qui encode des relations algébriques satisfaites par l’endomorphisme.
• Polynôme caractéristique : Polynôme construit à partir de $f$ dont les racines sont les valeurs propres (sur un corps où elles existent).

📝 Points essentiels

• Si $v$ est un vecteur propre de $f$ associé à $\lambda$, alors $v$ reste dans la même droite par action de $f$ et de ses puissances.
• Une valeur propre $\lambda$ correspond à l’existence d’un vecteur non nul dans le noyau de $f-\lambda I$.
• Un polynôme annulateur $P$ donne une relation de dépendance entre les puissances de $f$ via $P(f)=0$.
• Le polynôme caractéristique est l’outil standard reliant les valeurs propres à la matrice de $f$ dans une base.
• La réduction par valeurs propres s’appuie sur la décomposition en sous-espaces associés aux racines du polynôme caractéristique.

💡 Astuce mémo

Valeur propre = direction qui ne change que par un facteur : $f(v)=\lambda v$.

📖 11. Formes quadratiques et réduction orthogonale

🔑 Notions clés & Définitions

• Changement de variables : Transformation des variables qui permet de simplifier une expression tout en conservant certaines propriétés invariantes.
• Invariance : Propriété qui reste inchangée quand on applique un changement de variable ou une transformation adaptée.
• Réduction orthogonale : Méthode qui diagonalise une forme quadratique via une base orthogonale pour rendre son étude plus directe.
• Coordonnées polaires : Système de coordonnées adapté aux symétries circulaires, souvent utilisé pour simplifier des intégrales et des aires.

📝 Points essentiels

• Une forme quadratique peut être simplifiée en choisissant une base orthogonale, ce qui mène à une forme plus facile à analyser.
• La réduction orthogonale exploite l’idée d’invariance : certaines informations de la forme quadratique ne dépendent pas du choix de base.
• Les changements de variable sont utilisés pour relier une expression à des propriétés invariantes, notamment en physique et en géométrie.
• En physique, des transformations de variables aident à traiter des problèmes à symétrie (oscillateurs harmoniques, pendule, chute, mouvement planétaire).
• En géométrie différentielle, des changements de variables servent à étudier des trajectoires dans un champ de vecteurs.
• Le passage en coordonnées polaires est un outil standard quand la géométrie ou les domaines d’intégration présentent une symétrie circulaire.

💡 Astuce mémo

Base orthogonale = diagonalisation : plus de termes croisés, lecture immédiate des composantes.

📖 12. Probabilités : variables aléatoires, densités et vecteurs

🔑 Notions clés & Définitions

• Densité de probabilité : Fonction $f$ sur $\mathbb{R}$ ou $\mathbb{R}^p$ telle que les probabilités s’obtiennent par intégration et que l’intégrale totale vaut 1.
• Fonction de répartition : Fonction qui associe à tout réel $t$ la probabilité que la variable aléatoire soit inférieure ou égale à $t$.
• Moment d’une variable aléatoire : Quantité moyenne construite à partir de puissances de la variable, utilisée pour caractériser la loi via espérance et variance.
• Théorème de transfert : Résultat reliant l’espérance de $\Phi(X)$ à une intégrale de $\Phi(x)f(x)$ quand $X$ admet une densité $f$.
• Vecteur aléatoire : Application $X=(X_1,\dots,X_p)$ dont chaque composante $X_i$ est une variable aléatoire.

📝 Points essentiels

• Si $X$ admet une densité $f$ sur $\mathbb{R}$, alors pour tout intervalle $I$, $P(X\in I)=\int_I f(x)\,dx$.
• Si $X$ admet une densité, l’espérance et la variance se calculent à partir des intégrales correspondantes (moments) de $f$.
• Pour $\Phi$ continue par morceaux et telle que $|\Phi|f$ soit intégrable, on a $\mathbb{E}(\Phi(X))=\int_{\mathbb{R}} \Phi(x)f(x)\,dx$.
• L’espérance d’une somme de variables aléatoires admettant une densité est donnée par la somme des espérances (résultat admis).
• Exemples de lois usuelles admettant une densité : uniforme bornée, exponentielle, Cauchy, normale, Gamma à un paramètre.
• Un vecteur aléatoire $X=(X_1,\dots,X_p)$ est discret si chaque composante $X_i$ est une v.a.r. discrète.

💡 Astuce mémo

Densité = Probabilité par intégrale : $P(X\in I)=\int_I f$ ; transfert = Espérance par intégrale : $\mathbb{E}(\Phi(X))=\int \Phi f$.

⚠️ Pièges & confusions fréquents

1. Confondre relation d’équivalence et relation d’ordre : une équivalence est réflexive, symétrique et transitive, alors qu’un ordre n’est pas forcément symétrique.
2. Croire que l’ensemble quotient est “un sous-ensemble” : c’est un ensemble obtenu en identifiant les éléments équivalents, pas une simple restriction.
3. Mélanger PGCD/PPCM : oublier la relation reliant ab, PGCD(a,b) et PPCM(a,b), ou inverser les rôles dans les formules.
4. Penser que la formule de Cramer marche si det(A)=0 : elle n’est applicable que lorsque det(A)≠0 (sinon l’inversion n’est pas garantie).
5. Confondre mineur et cofacteur : le cofacteur ajoute le facteur de signe (-1)^{i+j} au mineur.
6. Croire que “rang” et “nombre de pivots” sont deux notions indépendantes : ici le rang se lit via les pivots après réduction (méthode de Gauss).
7. Penser que la décomposition de Dunford n’est pas unique ou qu’elle ne commute pas : elle est unique et vérifie d∘n=n∘d quand le polynôme caractéristique est scindé.

✅ Checklist Examen

1. Enoncer le vocabulaire ensembliste du programme (ensembles, produit fini, N, ensembles dénombrables) et définir relation d’équivalence puis ensemble quotient.
2. Expliquer la dénombrabilité de l’union d’une suite d’ensembles dénombrables et le rôle de la stabilité du dénombrement dans ce résultat.
3. Mobiliser les notions d’algorithme au sens du programme : variable/type, affectation, conditionnelles, itérations, fonctions/procédures et récursivité, sans exiger de développement théorique.
4. Utiliser les résultats arithmétiques : division euclidienne, PGCD/PPCM, Théorème de Bachet-Bézout, algorithme d’Euclide (étendu si demandé) et congruences.
5. Relier les polynômes : PGCD/PPCM, Théorème de Bézout, algorithme d’Euclide, irréductibilité et décomposition en facteurs irréductibles sur un corps où la factorisation est possible.
6. Décrire la forme irréductible d’une fraction rationnelle et les notions associées (zéros, pôles, ordre de multiplicité) ainsi que la décomposition en éléments simples dans le cas K=R ou C.
7. Enoncer les propriétés de morphismes de groupes : respect de la loi, noyau normal, image comme sous-groupe, et l’isomorphisme entre Im(f) et G/Ker(f).
8. Décrire l’action d’un groupe : orbites et stabilisateurs, et donner la formule des classes dans le cadre du programme.
9. En algèbre linéaire : définir espace vectoriel, base, dimension, rang d’une famille et rang d’une matrice, puis caractériser base et liberté.
10. Manipuler les matrices : produit matriciel, matrices inversibles, rang, transposée (rang égal), matrices équivalentes par opérations élémentaires, et matrice de passage/similarité.
11. Résoudre et interpréter un système linéaire via opérations élémentaires et méthode du pivot de Gauss, puis utiliser Cramer quand det(A)≠0.
12. Calculer des déterminants par mineurs/cofacteurs : développement selon une ligne/colonne, formule de Cramer, et distinguer mineur vs cofacteur par le signe.
13. Utiliser la dualité : équations d’hyperplan, dual E*, base duale, orthogonalité et dimension de l’orthogonal, puis transposée et rang de la transposée.
14. Réduire un endomorphisme : valeurs propres/vecteurs propres, polynôme annulateur et caractéristique, triangulation quand le polynôme caractéristique est scindé, et critères de diagonalisabilité (selon le programme).