Lernzettel: Introduction aux automatismes et suites en mathématiques

📋 Plan du Cours

1. Automatismes du QCM
2. Suites arithmétiques et géométriques
3. Équations et calcul algébrique
4. Fonction du second degré
5. Tableau croisé et probabilités
6. Cotisations et somme arithmétique

📖 1. Automatismes du QCM

🔑 Notions clés & Définitions

• Facteur multiplicatif : Un facteur multiplicatif traduit une hausse ou une baisse en multipliant le prix initial par un nombre fixé.
• Augmentation de 20 % : Une hausse de 20 % consiste à multiplier par 1,2 le montant initial.
• Diminution de 10 % : Une baisse de 10 % consiste à multiplier par 0,9 le montant initial.
• Notation scientifique : La notation $a\times 10^n$ permet d’exprimer des valeurs très grandes ou très petites et de comparer facilement les ordres de grandeur.
• Fréquence/probabilité : Une probabilité modélise une proportion d’issue dans un ensemble d’équiprobabilité.

📝 Points essentiels

• Un prix qui augmente de 20 % passe de 400 à 400×1,2 = 480 euros.
• Un prix qui baisse de 10 % passe de 130 à 130×0,9 = 117 euros.
• Après deux hausses successives de 20 %, le prix est multiplié par $1,2^2 = 1,44$.
• Lors d’une élection, le candidat ayant le moins de votes est B car 20 % < 25 % < 21,67 % < 33,33 %.
• Pour $A=2\times\left(1-\frac{2}{3}\right)$, on obtient $A=2/3$.
• Pour $A=\frac{1}{100}+\frac{1}{1000}$, on obtient $A=0,011$.

📖 2. Suites arithmétiques et géométriques

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite arithmétique : Une suite arithmétique augmente ou diminue par un même nombre à chaque terme, appelé raison.
• Raison d’une suite arithmétique : La raison d’une suite arithmétique est la différence constante entre deux termes consécutifs.
• Suite géométrique : Une suite géométrique est telle que chaque terme s’obtient en multipliant le précédent par une même constante.
• Raison d’une suite géométrique : La raison d’une suite géométrique est le facteur constant reliant deux termes consécutifs.

📝 Points essentiels

• Si une suite arithmétique a pour raison $r=1/2$ et $u_{50}=1000$, alors $u_{60}=1000+10\times(1/2)=1005$.
• Pour une suite géométrique avec $u_{100}=5$ et $u_{102}=20$, on obtient $q^2=u_{102}/u_{100}=4$, donc $q=2$ (raison positive).
• Avec cette raison $q=2$, on a $u_{99}=u_{100}/q=5/2=2,5$.
• L’équation $x+x=x^2$ admet bien des réels, car elle se réécrit $x^2-2x=0$.

📖 3. Équations et calcul algébrique

🔑 Notions clés & Définitions

• Factorisation : Factoriser consiste à réécrire une expression sous forme de produit pour identifier plus facilement ses zéros.
• Inéquation : Une inéquation exprime une relation d’ordre entre deux expressions, par exemple $f(x)>4$.
• Forme développée : La forme développée d’un polynôme l’écrit sous la forme $ax^2+bx+c$.
• Mise sous forme canonique : Mettre sous forme canonique consiste à réécrire un polynôme du second degré à l’aide d’un carré complété.

📝 Points essentiels

• Pour tout réel $x$, on a $(x-1)(5-x)=-x^2+6x-5$.
• Les antécédents de $0$ pour $f(x)=-x^2+6x-5$ sont les solutions de $(x-1)(5-x)=0$, donc $x=1$ ou $x=5$.
• Pour tout réel $x$, $4-(x-3)^2=-x^2+6x-5$.
• Il n’existe aucun réel $x$ tel que $f(x)>4$ car $f(x)=4-(x-3)^2\le 4$ pour tout $x$.

📖 4. Fonction du second degré

🔑 Notions clés & Définitions

• Sommet d’une parabole : Le sommet est le point de la parabole qui donne son extremum, ici lié à la forme canonique.
• Ouverture d’une parabole : L’ouverture indique si la parabole est tournée vers le haut ou vers le bas selon le signe du coefficient de $x^2$.
• Ordonnée à l’origine : L’ordonnée à l’origine est la valeur de la fonction pour $x=0$.
• Zéros d’une fonction : Les zéros sont les abscisses où la fonction vaut $0$.

📝 Points essentiels

• Avec $f(x)=-x^2+6x-5$, on a $f(0)=-5$.
• Avec $f(x)=-x^2+6x-5$, on a $f(3)=4$.
• Les antécédents de $0$ sont $1$ et $5$ pour la fonction $f(x)=-x^2+6x-5$.
• $f(x)=4-(x-3)^2$ montre que la parabole est tournée vers le bas et atteint son maximum en $(3,4)$.
• Sur le schéma, la courbe passe par les points $(0,-5)$, $(1,0)$, $(3,4)$ et $(5,0)$.

📖 5. Tableau croisé et probabilités

🔑 Notions clés & Définitions

• Tableau croisé : Un tableau croisé organise le décompte d’individus selon deux critères et donne des totaux.
• Probabilité conditionnelle : La probabilité conditionnelle mesure la probabilité d’un événement sachant que l’autre critère est déjà réalisé.
• Événements complémentaires : Deux événements complémentaires totalisent toutes les issues possibles et sont tels que l’un est l’opposé de l’autre.

📝 Points essentiels

• Dans le tableau, $x$ représente le nombre d’adhérents présents le lundi et absents le jeudi, donc $x=75-45=30$.
• La probabilité de venir ni le lundi ni le jeudi vaut $5/100=0,05$.
• La probabilité de venir un seul jour vaut $(30+20)/100=0,5$.
• Sachant que l’adhérent est venu le lundi, la probabilité qu’il soit aussi venu le jeudi vaut $45/75=0,6$.

📖 6. Cotisations et somme arithmétique

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite arithmétique des effectifs : Les effectifs annuels peuvent former une suite arithmétique si leur variation annuelle est constante.
• Somme arithmétique : La somme des termes d’une suite arithmétique se calcule avec une formule reliant premier terme, raison et nombre de termes.
• Nombre d’années incluses : Le nombre de valeurs de $a$ à $b$ inclus est $b-a+1$.

📝 Points essentiels

• En 2026, le total des cotisations vaut $100\times 100=10\ 000$ euros puisque chaque adhérent paie 100 euros.
• Entre 2026 et 2041 inclus, il y a $2041-2026+1=16$ années, donc $a+nr$ correspond à $n=15$.
• Le nombre d’adhérents suit $100,105,110,\dots$ avec raison 5, donc la somme des effectifs vaut $16\times(2\times 100+15\times 5)/2=2200$.
• Le montant total sur 2026 à 2041 vaut $2200\times 100=220\ 000$ euros.

⚠️ Pièges & confusions fréquents

1. Confondre hausse de 20 % et ajout de 20 euros : en pourcentage on multiplie par 1,2.
2. Confondre baisse de 10 % avec multiplication par 0,1 au lieu de 0,9.
3. Appliquer deux fois +20 % comme $P\times(1+0,20+0,20)$ au lieu de $P\times 1,2^2$.
4. Pour la suite arithmétique, additionner la raison fois le nombre de pas entre les indices (de 50 à 60, il y a 10 pas).
5. Pour la suite géométrique, oublier que $u_{102}/u_{100}=q^2$ et donc déterminer $q$ avec une racine.
6. En probabilités, utiliser le mauvais dénominateur en conditionnel (sachant que lundi a eu lieu, on divise par 75).
7. Pour $f(x)>4$, conclure à tort qu’il existe des solutions alors que $f(x)=4-(x-3)^2\le 4$ pour tout réel.

✅ Checklist Examen

1. Calculer un nouveau prix après une hausse de 20 % et choisir la bonne réponse.
2. Calculer un nouveau prix après une baisse de 10 % et repérer la bonne écriture factorisée.
3. Trouver le facteur après deux hausses successives de 20 % et l’appliquer à un prix noté P.
4. Comparer des pourcentages fractions (un quart, 20 %, un tiers, reste) pour déterminer la valeur la plus faible.
5. Résoudre $x+x=x^2$ et décider si au moins un réel convient.
6. Convertir 75 minutes en heure.
7. Reconnaître que $10^{30}+10^{-30}$ est proche de $10^{30}$.
8. Résoudre $3x=0$ et $144x=9$ correctement.
9. Calculer $u_{60}$ à partir de $u_{50}$ pour une suite arithmétique de raison $1/2$.
10. Calculer $u_{99}$ à partir de $u_{100}$ et $u_{102}$ pour une suite géométrique de raison positive.
11. Factoriser et réécrire $-x^2+6x-5$ sous la forme $(x-1)(5-x)$.
12. Résoudre $-x^2+6x-5=0$ pour déterminer les antécédents de 0.
13. Mettre $-x^2+6x-5$ sous la forme $4-(x-3)^2$ et en déduire si $f(x)>4$ est possible.
14. Construire l’allure de $f$ avec sommet, ouverture et points $(0,-5)$, $(1,0)$, $(3,4)$, $(5,0)$.