Lernzettel: Introduction aux dérivées, exponentielle et probabilités

📋 Plan du Cours

1. Dérivées et primitives
2. Exponentielle et logarithme
3. Suites et limites
4. Convexité et étude de fonction
5. Probabilités et loi binomiale

📖 1. Dérivées et primitives

🔑 Notions clés & Définitions

• Dérivée : La dérivée d’une fonction mesure sa variation locale et correspond au coefficient directeur de la tangente.
• Primitive : Une primitive d’une fonction est une fonction dont la dérivée redonne exactement la fonction donnée.
• Tableau de variations : Un tableau de variations résume le signe de la dérivée et les extrema pour décrire l’évolution d’une fonction.

📝 Points essentiels

• Pour $f(x)=x^n$ avec $n$ réel, on a $(x^n)'=n\,x^{n-1}$.
• Pour la fonction exponentielle, $(e^x)'=e^x$ et $(e^{-x})'=-e^{-x}$.
• On a $(u+v)'=u'+v'$, $(uv)'=u'v+uv'$ et $(u/v)'=(u'v-uv')/v^2$.
• Pour montrer qu’une fonction $F$ est une primitive de $f$, il suffit de vérifier que $F'(x)=f(x)$.
• Pour étudier une fonction, on calcule $f'(x)$, on résout $f'(x)=0$, puis on étudie le signe de $f'$ avant d’en déduire les variations.

📖 2. Exponentielle et logarithme

🔑 Notions clés & Définitions

• Exponentielle : L’exponentielle $e^x$ est une fonction positive qui intervient naturellement dans les dérivées et les limites.
• Logarithme népérien : Le logarithme népérien $\ln(x)$ est la fonction inverse de l’exponentielle, définie uniquement pour $x>0$.

📝 Points essentiels

• On a $e^0=1$, $e^a\times e^b=e^{a+b}$, et $\dfrac{e^a}{e^b}=e^{a-b}$.
• Pour tout $x$, $e^x>0$, et $e^x\to+\infty$ quand $x\to+\infty$.
• Quand $x\to+\infty$, on a $e^{-x}\to0$ et cette limite provient du fait que $e^{-x}$ décroît exponentiellement.
• Le logarithme est défini uniquement pour $x>0$, et $\ln(x)\to+\infty$ quand $x\to+\infty$.
• Pour $x>0$, on utilise $\ln(ab)=\ln(a)+\ln(b)$, $\ln(a/b)=\ln(a)-\ln(b)$ et $\ln(a^n)=n\ln(a)$.
• Les limites données incluent $\ln(x)$ et $1/x$ : $\ln(x)$ diverge vers $+\infty$ tandis que $1/x\to0$.

📖 3. Suites et limites

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite arithmétique : Une suite arithmétique a une différence constante entre deux termes consécutifs.
• Suite géométrique : Une suite géométrique a un quotient constant entre deux termes consécutifs.
• Formes indéterminées : Des formes indéterminées sont des expressions qui ne permettent pas de conclure directement sur la limite.

📝 Points essentiels

• Si $u_{n+1}=u_n+r$, alors $u_n=u_0+nr$ et $r$ est la raison d’augmentation constante.
• Si $u_{n+1}=qu_n$, alors $u_n=u_0q^n$, et si $q>1$ la suite diverge vers $+\infty$.
• Si $0<q<1$, alors $u_n\to0$, ce qui traduit une décroissance géométrique vers zéro.
• Les limites à connaître incluent $1/x\to0$ et $e^{-x}\to0$ quand $x\to+\infty$.
• Les limites à connaître incluent $e^x\to+\infty$ et $\ln(x)\to+\infty$ quand $x\to+\infty$.
• Les formes indéterminées listées sont $\infty-\infty$, $0/0$, $\infty/\infty$ et $0\times\infty$.

📖 4. Convexité et étude de fonction

🔑 Notions clés & Définitions

• Convexe : Une fonction convexe est une fonction dont la courbure correspond à une dérivée seconde positive.
• Concave : Une fonction concave est une fonction dont la courbure correspond à une dérivée seconde négative.
• Dérivée seconde : La dérivée seconde indique comment la pente (la dérivée première) évolue avec $x$.

📝 Points essentiels

• Pour étudier la convexité, on calcule $f''(x)$.
• Si $f''(x)>0$ alors la fonction est convexe.
• Si $f''(x)<0$ alors la fonction est concave.
• L’étude complète d’une fonction suit l’ordre : domaine, limites, dérivée, signe de la dérivée, variations, tableau de variations.
• L’étude des variations repose sur le signe de $f'(x$) et sur les zéros de $f'(x)$.
• Le tableau de variations synthétise les changements de signe de la dérivée et les extrema.

📖 5. Probabilités et loi binomiale

🔑 Notions clés & Définitions

• Probabilité conditionnelle : La probabilité conditionnelle $P(B\mid A)$ mesure la chance que $B$ arrive sachant que $A$ est déjà réalisé.
• Formule de Bayes : La formule de Bayes relie $P(A\mid B)$ à $P(B\mid A)$ et aux probabilités marginales $P(A)$ et $P(B)$.
• Loi binomiale : La loi binomiale modélise le nombre de succès dans $n$ essais indépendants à deux issues de même probabilité.

📝 Points essentiels

• On a $P(A\cap B)=P(A)\times P(B\text{ sachant }A)$.
• On a $P(B)=P(A)P(B\mid A)+P(\bar A)P(B\mid \bar A)$ pour la probabilité totale.
• La formule de Bayes s’écrit $P(A\text{ sachant }B)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(B)}$.
• La loi binomiale s’applique avec des essais indépendants, deux issues possibles et une probabilité $p$ constante de succès.
• Pour $X\sim\text{Bin}(n,p)$, $P(X=k)=C(n,k)p^k(1-p)^{n-k}$.
• L’espérance vaut $E(X)=np$ et l’écart-type vaut $\sigma=\sqrt{np(1-p)}$.

⚠️ Pièges & confusions fréquents

1. Confondre dérivée et primitive : une primitive a pour dérivée la fonction donnée, alors que la dérivée donne la variation locale.
2. Oublier que $\ln(x)$ n’existe que pour $x>0$, ce qui rend toute utilisation pour $x\le0$ invalide.
3. Se tromper sur les signes lors de $e^{-x}$ : $(e^{-x})'=-e^{-x}$.
4. Appliquer une règle de dérivée produit comme une somme : $(uv)'$ n’est pas $u'+v'$.
5. Intervertir les règles exponentielles : $e^a/e^b$ donne $e^{a-b}$, pas $e^{a+b}$.
6. Rater la condition de la loi binomiale : si les essais ne sont pas indépendants ou si les deux issues ne sont pas équi-probables, la formule n’est pas applicable.

✅ Checklist Examen

1. Savoir appliquer les formules $(x^n)'$, $(e^x)'$, $(e^{-x})'$ et $(\ln(x))'$.
2. Savoir dériver une somme, un produit et un quotient avec $u'$ et $v'$.
3. Vérifier qu’une fonction $F$ est une primitive en testant $F'(x)=f(x)$.
4. Résoudre $f'(x)=0$ pour trouver les points critiques d’une étude de variations.
5. Étudier le signe de $f'(x)$ et produire les variations à partir de ce signe.
6. Donner les règles $e^0=1$, $e^a e^b=e^{a+b}$ et $e^a/e^b=e^{a-b}$.
7. Utiliser correctement les limites $e^x\to+\infty$, $e^{-x}\to0$ et $1/x\to0$ quand $x\to+\infty$.
8. Utiliser les identités logarithmiques $\ln(ab)$, $\ln(a/b)$ et $\ln(a^n)$ pour $x>0$.
9. Connaître les formules des suites arithmétique $u_n=u_0+nr$ et géométrique $u_n=u_0q^n$.
10. Donner l’asymptote de la suite géométrique selon le signe de $q$ : $q>1$ et $0<q<1$.
11. Savoir décider la convexité via $f''(x)>0$ (convexe) et $f''(x)<0$ (concave).
12. Réaliser l’enchaînement d’étude d’une fonction : domaine, limites, dérivée, signe, variations, tableau de variations.
13. Appliquer $P(A\cap B)=P(A)P(B\mid A)$ et la formule de probabilité totale pour $P(B)$.
14. Appliquer la formule de Bayes pour $P(A\mid B)$.