Lernzettel: Introduction aux fonctions affines

📋 Plan du Cours

1. Fonction affine et cas particuliers
2. Représentation graphique d’une fonction affine
3. Tracer et déterminer une fonction affine

📖 1. Fonction affine et cas particuliers

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction affine : Une fonction affine est une fonction qui s’écrit $f(x)=ax+b$ avec $a$ et $b$ nombres relatifs.
• Coefficient directeur : Le coefficient directeur $a$ est la valeur qui multiplie $x$ dans l’écriture d’une fonction affine $ax+b$.
• Ordonnée à l’origine : L’ordonnée à l’origine $b$ est la valeur de la fonction pour $x=0$ dans une fonction affine $ax+b$.

📝 Points essentiels

• Une fonction affine a la forme $f(x)=ax+b$ où $a$ et $b$ sont des nombres relatifs.
• Si $b=0$, alors la fonction affine est une fonction linéaire et elle s’écrit $f(x)=ax$ avec $a$ non nul.
• Si $a=0$, alors la fonction affine est une fonction constante et elle s’écrit $f(x)=b$.

💡 Astuce mémo

Affine = directeurs $a$ et origine $b$ : $ax+b$. Cas : $b=0$ (linéaire) ; $a=0$ (constante).

📖 2. Représentation graphique d’une fonction affine

🔑 Notions clés & Définitions

• Droite (graphique) : La représentation graphique d’une fonction affine est une droite dans un repère.
• Fonction linéaire : Une fonction linéaire est une fonction affine dont l’ordonnée à l’origine vaut $0$, donc son graphe passe par l’origine.
• Fonction constante : Une fonction constante est une fonction dont le graphe est une droite horizontale parallèle à l’axe des abscisses.

📝 Points essentiels

• Une fonction affine a pour représentation une droite, et une droite en graphique implique que la fonction est affine.
• Une fonction linéaire se reconnaît à une droite passant par l’origine du repère.
• Une fonction constante se reconnaît à une droite parallèle à l’axe des abscisses.

💡 Astuce mémo

Graphe = forme : droite passant par (0,0) → linéaire ; droite horizontale → constante ; autre droite → affine.

📖 3. Tracer et déterminer une fonction affine

🔑 Notions clés & Définitions

• Lire $b$ avec $f(0)$ : Sur une fonction affine $f(x)=ax+b$, on lit $b$ en évaluant la fonction en $x=0$, donc $f(0)=b$.
• Lire $a$ et $b$ par points : Pour une droite représentant une fonction affine $g(x)=ax+b$, on détermine $a$ et $b$ à partir de la lecture graphique.

📝 Points essentiels

• Pour $f(x)=2x-3$, on a $a=2$ et $b=-3$, donc $f(0)=-3$ et la droite est $y=2x-3$.
• Pour retrouver $g(x)$ depuis un graphe affine, on utilise le fait que $g(x)=ax+b$ et on lit $a$ et $b$ par lecture graphique.
• Dans l’exemple du graphe, on obtient $a=-4/6=-2/3$ et $b=3$, donc $g(x)=-2/3x+3$.

💡 Astuce mémo

Toujours viser $ax+b$ : $b$ vient de $f(0)$, puis $a$ se déduit de la pente par lecture du graphe.

⚠️ Pièges & confusions fréquents

1. Penser que « droite » suffit seulement pour affine : une droite en graphique garantit bien que la fonction est affine.
2. Confondre le coefficient directeur et l’ordonnée à l’origine : $a$ multiplie $x$ tandis que $b=f(0)$.
3. Croire qu’une fonction linéaire peut avoir $a=0 : en fait,$a$ est non nul pour être linéaire.
4. Oublier que la fonction constante a un coefficient directeur nul : son graphe est horizontal donc $a=0$.
5. Lire $b$ comme l’abscisse d’origine : $b$ est la valeur de la fonction quand $x=0$.
6. Se tromper sur le signe de $b$ lors du passage de $2x-3$ à $f(0)=-3$.
7. Lire $a$ à partir du mauvais couple de points du graphe et obtenir une pente incorrecte.

✅ Checklist Examen

1. Savoir donner la forme d’une fonction affine $f(x)=ax+b$ avec $a$ et $b$ relatifs.
2. Savoir identifier le coefficient directeur $a$ et l’ordonnée à l’origine $b$ dans une écriture $ax+b$.
3. Savoir reconnaître une fonction linéaire via la condition $b=0$ et écrire $f(x)=ax$ avec $a$ non nul.
4. Savoir reconnaître une fonction constante via la condition $a=0$ et écrire $f(x)=b$.
5. Utiliser la caractérisation graphique : une fonction affine a un graphe en droite et une droite implique une fonction affine.
6. Savoir reconnaître sur un graphique une fonction linéaire par une droite passant par l’origine.
7. Savoir reconnaître sur un graphique une fonction constante par une droite parallèle à l’axe des abscisses.
8. Savoir tracer la droite d’une fonction affine à partir de son expression algébrique.
9. Savoir déterminer $b$ d’une fonction affine à partir de $f(0)$.
10. Savoir retrouver une expression $ax+b$ à partir d’un graphe en lisant $a$ et $b.
11. Savoir effectuer un calcul de pente du type $a=-4/6=-2/3$ avant d’écrire la formule finale.