Lernzettel: Introduction aux fonctions et équations du second degré

📋 Plan du Cours

1. Fonction polynôme du second degré
2. Parabole et variations
3. Équation du second degré
4. Discriminant et solutions

📖 1. Fonction polynôme du second degré

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction polynôme de degré 2 : Une fonction polynôme de degré 2 est une fonction de la forme $f(x)=ax^2+bx+c$ avec $a\neq 0$.
• Trinôme du second degré : Un trinôme du second degré désigne, par abus de langage, une fonction polynôme de degré 2 $ax^2+bx+c$.
• **Coefficient $a** : Le coefficient$a$ commande la forme de la parabole et notamment la direction d’ouverture selon son signe.

📝 Points essentiels

• Si $a>0$, la parabole est une « cuvette » : elle est d’abord décroissante puis croissante.
• Si $a<0$, la parabole est une « colline » : elle est d’abord croissante puis décroissante.
• Une fonction polynôme de degré 2 a une expression $ax^2+bx+c$ avec $a\neq 0$, donc pas une expression de degré 1 ou 4.

💡 Astuce mémo

Signe de $a$ : positif = cuvette, négatif = colline.

📖 2. Parabole et variations

🔑 Notions clés & Définitions

• Parabole : La représentation graphique d’une fonction polynôme de degré 2 est une parabole.
• Variations décroissante puis croissante : Pour $a>0$, les variations suivent le schéma décroissante puis croissante.
• Variations croissante puis décroissante : Pour $a<0$, les variations suivent le schéma croissante puis décroissante.

📝 Points essentiels

• Dans une « cuvette » ($a>0$), le sens des variations passe une seule fois de décroissant à croissant.
• Dans une « colline » ($a<0$), le sens des variations passe une seule fois de croissant à décroissant.
• Le signe de $a$ détermine directement le profil global de la parabole.

💡 Astuce mémo

« Cuvette » = on descend puis on remonte ; « colline » = on monte puis on redescend.

📖 3. Équation du second degré

🔑 Notions clés & Définitions

• Équation du second degré : Une équation du second degré est une équation de la forme $ax^2+bx+c=0$ avec $a\neq 0$.
• Racines : Les solutions d’une équation du second degré $ax^2+bx+c=0$ sont appelées racines de ce trinôme.
• **Forme $ax^2+bx+c=0** : La forme$ax^2+bx+c=0$impose un terme en$x^2$, donc un degré réellement égal à 2.

📝 Points essentiels

• L’équation $3x^2-6x-2=0$ est du second degré car elle a un coefficient $a=3\neq 0$.
• Si $a\neq 0$, les solutions (racines) se déterminent via le discriminant selon la valeur de $\Delta$.
• Une équation de la forme $ax^2+bx+c=0$ ne devient du second degré que si le terme $ax^2$ existe bien.

💡 Astuce mémo

Second degré = présence de $x^2$ avec un coefficient $a$ non nul.

📖 4. Discriminant et solutions

🔑 Notions clés & Définitions

• Discriminant $\Delta$ : Le discriminant d’un trinôme $ax^2+bx+c$ est le nombre $\Delta=b^2-4ac$.
• Cas $\Delta<0$ : Quand $\Delta<0$, l’équation du second degré n’admet pas de solution réelle.
• Cas $\Delta=0$ : Quand $\Delta=0$, l’équation du second degré admet une unique solution réelle $x_0=-\frac{b}{2a}$.

📝 Points essentiels

• Si $\Delta>0$, l’équation admet deux solutions distinctes $x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}$ et $x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$.
• Si $\Delta<0$, il n’y a aucune solution réelle à $ax^2+bx+c=0$.
• Pour $3x^2-6x-2=0$, $\Delta=60$ donc l’équation a deux solutions réelles distinctes.

💡 Astuce mémo

Signe de $\Delta$ : négatif = 0 réelle, nul = 1, positif = 2.

📊 Tableaux de synthèse

Lien signe de $\Delta$ et nombre de solutions

⚠️ Pièges & confusions fréquents

1. Confondre le rôle de $a$ : le signe de $a$ donne les variations (cuvette/colline), tandis que le signe de $\Delta$ donne le nombre de solutions réelles.
2. Oublier l’exigence $a\neq 0$ : sans terme $ax^2$, ce n’est pas une équation (ni une fonction) du second degré.
3. Se tromper sur la formule du discriminant : utiliser $b-4ac$ au lieu de $b^2-4ac$.
4. Mélanger les formules des solutions quand $\Delta=0$ : il n’y a qu’une racine égale à $-\frac{b}{2a}$.
5. Utiliser $x_1=-\frac{b}{2a}$ et $x_2=-\frac{b}{2a}$ pour $\Delta>0$ : il faut alors $\pm\sqrt{\Delta}$.
6. Penser que $\Delta<0$ donne des solutions numériques complexes : la fiche ne traite que des solutions réelles, donc réponse attendue = aucune solution réelle.

✅ Checklist Examen

1. Savoir reconnaître une fonction polynôme de degré 2 sous la forme $ax^2+bx+c$ avec $a\neq 0$.
2. Savoir décider « cuvette » ou « colline » à partir du signe de $a$ et donner l’ordre des variations.
3. Savoir reconnaître une équation du second degré sous la forme $ax^2+bx+c=0$ avec $a\neq 0$.
4. Savoir calculer le discriminant $\Delta=b^2-4ac$ pour un trinôme donné.
5. Savoir conclure selon le signe de $\Delta$ : aucune solution réelle, une solution, ou deux solutions distinctes.
6. Savoir écrire la racine unique quand $\Delta=0$ : $x_0=-\frac{b}{2a}$.
7. Savoir écrire les deux racines quand $\Delta>0$ : $x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$.
8. Être capable de résoudre correctement l’équation $2x^2-x-6=0$ en calculant $\Delta=49$ et en trouvant $x_1=-3$ et $x_2=2$.
9. Être capable de résoudre correctement l’équation $4x^2-12x+9=0$ en calculant $\Delta=0$ et en trouvant $x_0=\frac{3}{2}$.
10. Être capable de conclure pour l’équation $x^2+3x+10=0$ en calculant $\Delta=-31$ et en indiquant l’absence de solution réelle.