Lernzettel: Introduction aux fonctions et graphiques

📋 Plan du Cours

1. Images et antécédents par une fonction
2. Résolution graphique d’équations et inéquations
3. Tableau de variation et extremums de f
4. Tableau de signes de f

📖 1. Images et antécédents par une fonction

🔑 Notions clés & Définitions

• Image d’un réel : L’image d’un réel est la valeur que la fonction associe à ce réel.
• Antécédent d’un réel : Un antécédent d’un réel est une valeur dont l’image par la fonction vaut ce réel.

📝 Points essentiels

• Sur le graphique, l’image f(a) se lit en repérant le point de la courbe d’abscisse a.
• Les antécédents de 0 sont les abscisses des points de la courbe dont l’ordonnée vaut 0.
• Les antécédents de 3 sont les abscisses des points de la courbe dont l’ordonnée vaut 3.
• Dans l’exercice, on lit notamment f(-2) = -2, f(0) = 2, f(2,5) = 4, f(6) = -1.
• Dans l’exercice, 3 a pour antécédent -1 et 5.

💡 Astuce mémo

Image = “on entre en x, on sort en y”. Antécédent = “on cherche les x qui donnent le y”.

📖 2. Résolution graphique d’équations et inéquations

🔑 Notions clés & Définitions

• Équation f(x)=k : Résoudre f(x)=k revient à trouver les abscisses où la courbe coupe la droite horizontale y=k.
• Inéquation f(x) ≥ k : Résoudre f(x) ≥ k revient à trouver les abscisses où la courbe est au-dessus (ou sur) la droite y=k.
• Inéquation f(x) ≤ k : Résoudre f(x) ≤ k revient à trouver les abscisses où la courbe est au-dessous (ou sur) la droite y=k.

📝 Points essentiels

• Pour f(x)=4, on lit les abscisses des points où l’ordonnée vaut 4 : {2,5 ; 3}.
• Pour f(x) ≥ 3, on lit l’ensemble des abscisses où la courbe est au-dessus ou sur y=3 : [1 ; 4].
• Pour f(x) ≤ 0, on lit les abscisses où la courbe est sous ou sur y=0 : [-2 ; -1] ∨ [5 ; 9].
• Les solutions d’une équation sont des valeurs d’abscisse, tandis que les solutions d’inéquations sont des intervalles.
• Les bornes incluses ou exclues se traduisent par des crochets ou des parenthèses dans l’ensemble solution.

💡 Astuce mémo

Droite horizontale y=k : coupe → équation, au-dessus → ≥, en dessous → ≤.

📖 3. Tableau de variation et extremums de f

🔑 Notions clés & Définitions

• Tableau de variation : Un tableau de variation résume le sens de variation de la fonction et les valeurs atteintes aux bornes et aux points clés.
• Maximum sur un intervalle : Le maximum sur un intervalle est la plus grande valeur prise par la fonction sur cet intervalle.
• Minimum sur un intervalle : Le minimum sur un intervalle est la plus petite valeur prise par la fonction sur cet intervalle.

📝 Points essentiels

• Le tableau de variation de f est demandé sur l’intervalle [-2 ; 9].
• Le maximum de f sur [-2 ; 9] doit être donné avec la valeur de x où il est atteint.
• Le minimum de f sur [-2 ; 9] doit être donné avec la valeur de x où il est atteint.
• L’exercice demande aussi de compléter un encadrement de la forme .... ≤ f(x) ≤ .... sur [-2 ; 9].
• Les extremums se lisent sur le graphique : maximum et minimum correspondent aux plus haut et plus bas points de la courbe sur l’intervalle.

💡 Astuce mémo

Variation = “montée/descente”, extremums = “plus haut/plus bas” sur [-2 ; 9].

📖 4. Tableau de signes de f

🔑 Notions clés & Définitions

• Signe d’une fonction : Le signe de f(x) indique si f(x) est positif, nul ou négatif pour une valeur donnée de x.
• Tableau de signes : Un tableau de signes organise les valeurs de x et indique le signe de f(x) sur chaque intervalle.

📝 Points essentiels

• Le tableau de signes de f est demandé sur l’intervalle [-2 ; 9].
• Les changements de signe se produisent aux abscisses où f(x)=0 (zéros de la fonction).
• Les intervalles où f(x)>0 correspondent aux zones où la courbe est au-dessus de l’axe des abscisses.
• Les intervalles où f(x)<0 correspondent aux zones où la courbe est en dessous de l’axe des abscisses.
• L’exercice demande un tableau de signes complet sur [-2 ; 9], donc en tenant compte des bornes et des zéros repérés sur le graphique.

💡 Astuce mémo

Signe = position par rapport à y=0 : au-dessus positif, sur 0 nul, en dessous négatif.

⚠️ Pièges & confusions fréquents

1. Confondre image et antécédent : l’image se lit directement à partir d’une abscisse donnée, l’antécédent nécessite de chercher les abscisses qui donnent une ordonnée donnée.
2. Mélanger équation et inéquation : une équation donne des valeurs isolées (souvent des points), une inéquation donne des intervalles.
3. Oublier l’inclusion des bornes : crochets pour “inclus”, parenthèses pour “exclus” dans les solutions d’inéquations.
4. Lire un extremum hors de l’intervalle : maximum et minimum doivent être pris uniquement sur [-2 ; 9].
5. Construire un tableau de signes sans repérer les zéros : sans f(x)=0, on ne peut pas placer correctement les changements de signe.

✅ Checklist Examen

1. Savoir lire sur un graphique les images f(-2), f(0), f(2,5) et f(6) et donner les antécédents de 0 et de 3.
2. Savoir résoudre graphiquement f(x)=4, f(x) ≥ 3 et f(x) ≤ 0 en donnant les ensembles solution sous forme d’ensembles et d’intervalles.
3. Savoir établir le tableau de variation de f sur [-2 ; 9] à partir du sens de variation et des valeurs clés.
4. Savoir déterminer le maximum et le minimum de f sur [-2 ; 9 et indiquer les valeurs de x où ils sont atteints.
5. Savoir compléter l’encadrement .... ≤ f(x) ≤ .... sur [-2 ; 9 à partir des extremums.
6. Savoir construire le tableau de signes de f sur [-2 ; 9 en repérant les zéros et la position de la courbe par rapport à y=0.