Lernzettel: Introduction aux fonctions et leurs représentations

📋 Plan du Cours

1. Définition et représentations d’une fonction
2. Résolution graphique et signe
3. Variations d’une fonction
4. Fonctions affines : définition
5. Représentation graphique d’une fonction affine
6. Variations, signe et inéquations

📖 1. Définition et représentations d’une fonction

🔑 Notions clés & Définitions

• Ensemble de définition Df : L’ensemble de définition est l’ensemble D des réels où la fonction est définie, noté Df.
• Image d’un réel : L’image de x par f est le réel y associé à x, noté y = f(x).
• Antécédent : Un antécédent de y par f est un réel x tel que f(x) = y.
• Courbe Cf : La courbe Cf est l’ensemble des points (x ; f(x)) pour x appartenant à D.
• Écriture f : D → R : L’écriture f : D → R décrit une fonction qui associe à chaque x de D une valeur réelle f(x).

📝 Points essentiels

• Une fonction associe à tout x de D un unique nombre réel y, et cela fixe le lien entre les deux grandeurs.
• Une fonction peut être donnée par une formule, un tableau de valeurs ou une courbe Cf.
• La courbe Cf a pour équation y = f(x) et se trace en plaçant les points (x ; f(x)) puis en les reliant.
• Sur l’exemple f(x)=5x−x², on obtient f(1)=4 en remplaçant x par 1 dans la formule.

📖 2. Résolution graphique et signe

🔑 Notions clés & Définitions

• Solution graphique : Une solution graphique est une valeur lue sur le graphique, obtenue par lecture et donc approchée.
• Tableau de signes : Un tableau de signes organise les signes d’une expression selon les intervalles déterminés par les zéros et les valeurs interdites.

📝 Points essentiels

• Par lecture graphique, les solutions sont approchées et on ne peut pas garantir qu’il n’existe pas d’autres solutions hors de la zone tracée.
• Pour résoudre graphiquement f(x)=g(x), on cherche les abscisses des points d’intersection des courbes Cf et Cg.
• Pour résoudre graphiquement f(x) ≥ g(x), on relève les abscisses où la courbe Cf est au-dessus ou confondue avec Cg.
• Pour établir un signe d’après un graphique, on utilise les zéros de la fonction et on découpe l’intervalle en sous-intervalles.

📖 3. Variations d’une fonction

🔑 Notions clés & Définitions

• Variations d’une fonction : Les variations d’une fonction décrivent si sa valeur augmente ou diminue quand l’abscisse progresse.

📖 4. Fonctions affines : définition

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction affine : Une fonction affine est une fonction de la forme f(x)=ax+b, définie sur ℝ.
• Fonction linéaire : Une fonction linéaire est une fonction affine avec b=0, donc de la forme f(x)=ax.
• Fonction constante : Une fonction constante est une fonction affine avec a=0, donc de la forme f(x)=b.

📝 Points essentiels

• Si f(x)=ax+b avec a>0 alors f est croissante, tandis que si a<0 alors f est décroissante.
• Si a=0 dans f(x)=ax+b, alors la fonction est constante.
• Exemples donnés : f(x)=−x+6 est affine, g(x)=−2/7 x est linéaire, et h(x)=√5/2 est constante.

📖 5. Représentation graphique d’une fonction affine

🔑 Notions clés & Définitions

• Droite (d) : La représentation graphique d’une fonction affine est une droite, notée (d), associée à l’équation y=ax+b.
• Coefficient directeur a : Le coefficient directeur a est le réel qui apparaît devant x dans l’équation y=ax+b et fixe l’inclinaison de la droite.
• Ordonnée à l’origine b : L’ordonnée à l’origine b est la valeur de la fonction pour x=0 et apparaît comme constante dans y=ax+b.

📝 Points essentiels

• La droite (d) associée à f(x)=ax+b a pour équation y=ax+b, dite équation réduite.
• La droite (d) passe par le point (0 ; b).
• Pour une fonction affine, déterminer l’expression revient à relier la droite aux informations de a et b (lecture graphique).

📖 6. Variations, signe et inéquations

🔑 Notions clés & Définitions

• Signe d’une expression : Le signe d’une expression indique si elle est positive, négative ou nulle selon la valeur de la variable.
• Inéquation : Une inéquation est une condition d’ordre portant sur une expression, par exemple ≤, ≥, >, ou <.

📝 Points essentiels

• Pour résoudre −4x+7 ≤ 0, on construit d’abord le tableau de signes de −4x+7 puis on retient les x pour lesquels l’expression est ≤0.
• Pour un produit, le signe se détermine avec la règle des signes en dressant un tableau à partir des facteurs nuls.
• Pour un quotient, l’expression n’est pas définie quand le dénominateur s’annule, et le signe se lit sur les intervalles qui évitent cette valeur.
• Pour résoudre (4x+5)(−2x−4) ≤ 0, on dresse le tableau de signes du produit puis on sélectionne les intervalles où le produit est ≤0.

⚠️ Pièges & confusions fréquents

1. Confondre l’image f(x) (valeur obtenue pour un x) et l’antécédent (valeur x qui donne une image donnée y).
2. Croire qu’une résolution graphique donne forcément toutes les solutions : la lecture est approchée et peut manquer des solutions hors du tracé.
3. Oublier que la courbe Cf correspond à tous les points (x ; f(x)) de l’ensemble de définition, pas seulement à quelques points du tableau.
4. Confondre fonction linéaire et fonction affine : la linéaire impose b=0, tandis que l’affine admet tout b.
5. Se tromper de sens de variation : le signe de a (dans ax+b) fixe croissante ou décroissante, pas le signe de b.
6. Dans une inéquation avec quotient, oublier les valeurs qui rendent le dénominateur nul conduit à inclure des x interdits.

✅ Checklist Examen

1. Définir une fonction à partir de D : donner Df, calculer f(x) comme image et identifier des antécédents.
2. Énoncer comment une fonction peut être représentée : formule, tableau de valeurs, courbe Cf.
3. Relier la notation f : D → ℝ et l’écriture y = f(x) à la définition par association unique.
4. Faire une résolution graphique de f(x)=g(x) en cherchant les intersections des courbes.
5. Faire une résolution graphique de f(x) ≥ g(x) en repérant les zones où Cf est au-dessus (ou confondue) avec Cg.
6. Dresser un tableau de signes à partir d’une expression et de ses zéros (et valeurs interdites si besoin).
7. Décrire les variations à partir de l’expression d’une fonction affine ax+b : croissante si a>0, décroissante si a<0, constante si a=0.
8. Rappeler la définition d’une fonction affine f(x)=ax+b et reconnaître les cas particuliers : linéaire (b=0) et constante (a=0).
9. Donner l’équation réduite y=ax+b et identifier coefficient directeur a et ordonnée à l’origine b sur une droite.
10. Utiliser la droite pour établir une fonction affine à partir de deux informations graphiques liées à a et b.
11. Résoudre une inéquation linéaire du type −4x+7 ≤ 0 via tableau de signes et sélection des x vérifiant l’inégalité.
12. Résoudre une inéquation produit ≤ 0 en construisant le tableau de signes du produit (facteurs) puis en retenant les intervalles pertinents.
13. Résoudre une inéquation avec quotient en excluant les valeurs qui annulent le dénominateur, puis en lisant le signe sur les intervalles restants.