Introduction aux formes bilinéaires et quadratiques

📋 Plan du Cours

1. Formes bilinéaires
2. Applications duales
3. Formes quadratiques
4. Forme bilinéaire associée

📖 1. Formes bilinéaires

🔑 Notions clés & Définitions

Forme bilinéaire : application 𝑏 : 𝑉 × 𝑉 → 𝐾 qui est linéaire en chaque variable séparément. Cela signifie que pour tous 𝑢, 𝑣, 𝑤 ∈ 𝑉 et tous scalaires 𝜆, 𝜇 ∈ 𝐾, on a :

• 𝑏(𝜆𝑢 + 𝜇𝑣, 𝑤) = 𝜆𝑏(𝑢, 𝑤) + 𝜇𝑏(𝑣, 𝑤)
• 𝑏(𝑢, 𝜆𝑣 + 𝜇𝑤) = 𝜆𝑏(𝑢, 𝑣) + 𝜇𝑏(𝑢, 𝑤)
  Elle est donc une application qui conserve la linéarité lorsqu’on fixe une variable et qu’on fait varier l’autre.

Bilinearité : propriété d’une application 𝑏 : 𝑉 × 𝑉 → 𝐾 qui garantit la linéarité en chaque variable séparément. Autrement dit, l’application est linéaire dans chaque argument pris isolément, ce qui implique que la forme peut s’écrire comme une somme de produits de formes linéaires.

Symétrie d'une forme bilinéaire : propriété selon laquelle 𝑏 est symétrique si, pour tous 𝑢, 𝑣 ∈ 𝑉, on a :

• 𝑏(𝑢, 𝑣) = 𝑏(𝑣, 𝑢)
  C’est une propriété importante pour la classification des formes bilinéaires, notamment dans le contexte des formes quadratiques et des espaces euclidiens.