Lernzettel: Introduction aux lois de Bernoulli et binomiale

📋 Plan du Cours

1. Espérance, variance et écart-type
2. Épreuve et loi de Bernoulli
3. Schéma de Bernoulli
4. Loi binomiale
5. Espérance et variance binomiales
6. Représentation et fluctuation
7. Décision statistique

📖 1. Espérance, variance et écart-type

🔑 Notions clés & Définitions

• Espérance mathématique : L’espérance mathématique d’une variable aléatoire X est la moyenne pondérée par les probabilités de ses valeurs.
• Variance : La variance d’une variable aléatoire mesure la dispersion de ses valeurs autour de l’espérance.
• Écart-type : L’écart-type est la racine carrée de la variance et donne une mesure d’amplitude en unités de X.
• Formule de König-Huyghens : La variance peut aussi s’exprimer à partir de E(X2) et de E(X)2 : c’est une autre écriture utile pour les calculs.

📝 Points essentiels

• Si X prend les valeurs x1,…,xn avec pi=P(X=xi), alors E(X)=∑i=1..n pi xi et V(X)=∑i=1..n pi(xi−E(X))2.
• On a aussi la relation V(X)=E(X2)−(E(X))2, utile pour calculer sans utiliser (xi−E(X))2.
• Pour une transformation affine aX+b, on a V(aX+b)=a2V(X) et donc σ(aX+b)=|a|σ(X).
• Si X et Y sont indépendantes, alors V(X+Y)=V(X)+V(Y).

💡 Astuce mémo

Dispersion : variance = “moyenne des carrés des écarts”, écart-type = racine carrée.

📖 2. Épreuve et loi de Bernoulli

🔑 Notions clés & Définitions

• Épreuve de Bernoulli : Une épreuve de Bernoulli est une expérience aléatoire à deux issues, succès S et échec, avec probabilités p et q=1−p.
• Loi de Bernoulli : Une variable de Bernoulli suit une loi B(p) quand elle prend 1 pour le succès et 0 pour l’échec, avec P(X=1)=p.

📝 Points essentiels

• Dans une épreuve de Bernoulli, les deux issues sont appelées succès et échec, avec q=1−p.
• Si X suit la loi de Bernoulli de paramètre p, alors E(X)=p et V(X)=p(1−p).
• Pour un dé équilibré, l’événement “obtenir 6” a une probabilité 1/6 et la variable X codant succès=1 donne une loi de Bernoulli avec p=1/6.

💡 Astuce mémo

Bernoulli : 1 pour succès, 0 sinon, donc E(X) “compte” la proba du succès : c’est p.

📖 3. Schéma de Bernoulli

🔑 Notions clés & Définitions

• Schéma de Bernoulli : Un schéma de Bernoulli d’ordre n est la répétition de n épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes.

📝 Points essentiels

• Un schéma d’ordre n correspond à n répétitions indépendantes avec la même probabilité de succès p.
• Le chapitre présente l’exemple : les 20 lancers du problème d’introduction constituent un schéma de Bernoulli d’ordre 20.

💡 Astuce mémo

Schéma = suite d’épreuves indépendantes de même type : mêmes p, même logique n fois.

📖 4. Loi binomiale

🔑 Notions clés & Définitions

• Loi binomiale : Une variable aléatoire suit la loi binomiale B(n;p) quand elle compte le nombre de succès obtenus dans n épreuves de Bernoulli indépendantes de probabilité p.
• Paramètres n et p : Dans la loi binomiale, n est le nombre d’épreuves et p la probabilité de succès à chaque épreuve.

📝 Points essentiels

• Si X suit B(n;p), alors pour k∈{0,…,n} : P(X=k)=C(n,k)p^k(1−p)^{n−k}.
• L’événement {X=k} correspond aux chemins ayant exactement k succès et n−k échecs, chacun ayant probabilité p^k(1−p)^{n−k}.
• Le chapitre applique la loi binomiale à un exemple “20 amis” pour compter le nombre de personnes qui regardent le match, avec un paramètre p égal à 19,8% (0,198).

💡 Astuce mémo

Binomiale : X compte les succès, donc probabilité = nombre de choix (C(n,k)) × proba d’un chemin (p^k(1−p)^{n−k}).

📖 5. Espérance et variance binomiales

🔑 Notions clés & Définitions

• Variables indicatrices Xi : Pour une binomiale, on peut écrire le nombre total de succès X comme somme de variables Xi valant 1 si succès à l’épreuve i et 0 sinon.

📝 Points essentiels

• Si X~B(n;p), alors E(X)=np.
• Si X~B(n;p), alors V(X)=np(1−p).
• On obtient ces formules en écrivant X=X1+…+Xn, avec E(Xi)=p et V(Xi)=p(1−p), puis en utilisant la linéarité de l’espérance et l’additivité des variances (indépendance).
• L’écart-type associé vérifie σ(X)=√(np(1−p)) pour une binomiale.

💡 Astuce mémo

Binomiale : moyenne = np et dispersion = √(np(1−p)) (variance = np(1−p)).

📖 6. Représentation et fluctuation

🔑 Notions clés & Définitions

• Diagramme en bâtons : Pour une loi binomiale, un diagramme en bâtons représente les valeurs k de X sur l’axe des abscisses, et la hauteur de chaque bâton est proportionnelle à P(X=k).
• Intervalle de fluctuation : Un intervalle de fluctuation au seuil 1−α pour X~B(n;p) est un intervalle [a;b] tel que P(a≤X≤b)≥1−α.
• Intervalle de fluctuation centré : Un intervalle de fluctuation centré au seuil 95% est construit en encadrant la probabilité dans les queues : à gauche 2,5% et à droite 2,5%.
• Fréquence observée : La fréquence f dans un échantillon de taille n est le rapport entre le nombre observé de succès et n.

📝 Points essentiels

• Pour X~B(n;p), la forme en “cloche” observée sur le diagramme est centrée sur E(X)=np.
• L’intervalle [0;n] vérifie toujours P(X∈[0;n])=1, donc il donne une borne triviale pour tout seuil 1−α.
• Un intervalle de fluctuation centré au seuil de 95% s’obtient avec a le plus petit entier tel que P(X≤a)>0,025 et b le plus petit entier tel que P(X≤b)≥0,975.
• Dans l’exemple “140 jeunes”, l’intervalle de fluctuation 95% pour la fréquence correspond à environ [0,33;0,50] lorsque X~B(140;0,42).

💡 Astuce mémo

Fluctuation = “contenir” 1−α de la loi : centré 95% = 2,5% dans chaque queue.

📖 7. Décision statistique

🔑 Notions clés & Définitions

• Hypothèse sur une proportion : En test de proportion, l’hypothèse fixe une valeur p attendue pour la probabilité de succès dans la population.
• Risque de 5% : Le risque de 5% est la probabilité maximale d’exclure à tort l’hypothèse quand on utilise un intervalle de fluctuation au seuil 95%.

📝 Points essentiels

• Si l’hypothèse est “la proportion vaut p” et si I est l’intervalle de fluctuation à 95% pour l’échantillon de taille n, alors on rejette si f∉I et on ne rejette pas si f∈I.
• Rejetter l’hypothèse quand la fréquence observée tombe hors de I signifie accepter un risque de se tromper de 5%.
• Exemple “42% et 140 jeunes” : avec X~B(140;0,42), on obtient a=47 et b=70, donc la fréquence observée 49/140=0,35 appartient à l’intervalle, donc on ne rejette pas au seuil 5%.
• Exemple “pièce équilibrée” : pour 100 lancers, si on teste p=0,5 et qu’on trouve a=40 et b=60, la fréquence observée 65/100=0,65 n’appartient pas à I≈[0,40;0,60], donc on rejette au seuil 5%.

💡 Astuce mémo

Décision : hors de l’intervalle 95% ⇒ rejet, parce que “ça n’arrive qu’environ 5% du temps” si l’hypothèse est vraie.

📊 Tableaux de synthèse

Formules clés : Bernoulli vs Binomiale

⚠️ Pièges & confusions fréquents

1. Confondre variance et écart-type : σ(X) est la racine de V(X), pas V(X) lui-même.
2. Utiliser q=1−p comme si c’était la probabilité de 1 dans la loi de Bernoulli : pour Bernoulli, P(X=1)=p.
3. Appliquer V(X+Y)=V(X)+V(Y) alors que X et Y ne sont pas indépendantes.
4. Oublier que pour la loi binomiale, P(X=k) utilise C(n,k)p^k(1−p)^{n−k} pour k entre 0 et n.
5. Choisir un intervalle de fluctuation “au hasard” : il doit vérifier P(a≤X≤b)≥1−α, pas seulement centrer autour de l’espérance.
6. Sur l’exemple de décision, comparer une fréquence f à un intervalle de fréquences (ou X à un intervalle de X) : les unités doivent correspondre.

✅ Checklist Examen

1. Savoir calculer E(X) et V(X) pour une variable prenant des valeurs finies x1,…,xn avec pi=P(X=xi).
2. Donner l’identité de König-Huyghens : V(X)=E(X2)−E(X)2.
3. Appliquer la transformation affine aX+b : V(aX+b)=a2V(X) et σ(aX+b)=|a|σ(X).
4. Utiliser l’additivité des variances uniquement si X et Y sont indépendantes : V(X+Y)=V(X)+V(Y).
5. Définir une épreuve de Bernoulli : deux issues, succès S et échec avec q=1−p.
6. Associer correctement une variable de Bernoulli : X∈{0,1}, X=1 pour succès, avec E(X)=p et V(X)=p(1−p).
7. Définir un schéma de Bernoulli d’ordre n : n épreuves identiques et indépendantes.
8. Reconnaître une loi binomiale : X compte les succès sur n épreuves de Bernoulli de probabilité p.
9. Calculer P(X=k) pour X~B(n;p) via P(X=k)=C(n,k)p^k(1−p)^{n−k}.
10. Utiliser E(X)=np et V(X)=np(1−p) pour X~B(n;p).
11. Représenter/raisonner la loi binomiale en diagramme en bâtons : hauteur proportionnelle à P(X=k) et centrage sur E(X).
12. Construire un intervalle de fluctuation au seuil 1−α : trouver [a;b] tel que P(a≤X≤b)≥1−α.
13. Construire un intervalle de fluctuation centré au seuil 95% à partir des conditions P(X≤a)>0,025 et P(X≤b)≥0,975.
14. Faire la règle de décision : si la fréquence observée f n’appartient pas à l’intervalle I, rejeter l’hypothèse au risque de 5%, sinon ne pas la rejeter.