Lernzettel: Introduction aux nombres complexes et leurs propriétés

📋 Plan du Cours

1. Écriture algébrique
2. Parties réelle et imaginaire
3. Conjugué et caractérisation
4. Module et inégalités
5. Affixe et plan complexe
6. Nombres de module 1
7. Argument et calculs
8. Trigonométrie utile
9. Formes trigonométrique et exponentielle
10. Racines et équations du second degré
11. Racines n-ièmes

📖 1. Écriture algébrique

🔑 Notions clés & Définitions

• Écriture algébrique : L’écriture algébrique est la décomposition unique d’un nombre complexe sous la forme a + ib avec a et b réels.
• Re(z) : Re(z) est la partie réelle d’un nombre complexe z, c’est le réel a de l’écriture a + ib.
• Im(z) : Im(z) est la partie imaginaire d’un nombre complexe z, c’est le réel b de l’écriture a + ib.

📝 Points essentiels

• Un complexe z s’écrit de façon unique sous la forme a + ib avec a et b réels.
• Deux complexes sont égaux si et seulement si leurs parties réelles sont égales et leurs parties imaginaires sont égales.
• Si z=a+ib et z’=c+id alors z+z’=(a+c)+i(b+d).
• Si z=a+ib et z’=c+id alors zz’=(ac-bd)+i(ad+bc).
• Pour z=a+ib, si z≠0 alors 1/z= (a/(a^2+b^2)) − i(b/(a^2+b^2)).

📖 2. Parties réelle et imaginaire

🔑 Notions clés & Définitions

• Partie réelle : La partie réelle d’un complexe z est le réel obtenu en repérant la coordonnée associée à i=0 dans l’écriture a + ib.
• Partie imaginaire : La partie imaginaire d’un complexe z est le réel obtenu en repérant le coefficient de i dans l’écriture a + ib.
• Réalité par Im : La realité d’un complexe peut être lue via sa partie imaginaire Im(z).

📝 Points essentiels

• Re(z+z’)=Re(z)+Re(z’).
• Im(z+z’)=Im(z)+Im(z’).
• Pour tout réel λ, Re(λz)=λRe(z) et Im(λz)=λIm(z).
• z est réel si et seulement si Im(z)=0.
• z est imaginaire pur si et seulement si Re(z)=0.

📖 3. Conjugué et caractérisation

🔑 Notions clés & Définitions

• Conjugué z̄ : Le conjugué de z, noté z̄, est le complexe a − ib quand z s’écrit a + ib.
• Conjugaison involutive : La conjugaison est une involution car conjuguer deux fois redonne le nombre de départ.
• iR : iR est l’ensemble des imaginaires purs, c’est-à-dire des nombres de la forme ib avec b réel.
• Invariants : Les relations reliant z, z̄, Re(z) et Im(z) servent de caractérisation du réel et de l’imaginaire pur.

📝 Points essentiels

• z̄=z et z̄=z̄ : la conjugaison respecte l’addition et la multiplication de façon compatible.
• z+z’=z̄+z̄’ et zz’=z̄ z̄’.
• Si z≠0 alors 1/z̄ = 1/z̄, et donc la conjugaison commute avec l’inverse.
• Re(z)= (z+z̄)/2 et Im(z)= (z−z̄)/(2i).
• z est réel ⇔ z=z̄ et z est dans iR ⇔ z=−z̄.

📖 4. Module et inégalités

🔑 Notions clés & Définitions

• Module |z| : Le module de z=a+ib, noté |z|, est le réel positif égal à √(a^2+b^2).
• Inégalité triangulaire : L’inégalité triangulaire relie le module de la somme à la somme des modules de deux complexes.
• Invariance par conjugaison : Le module ne change pas quand on remplace un complexe par son conjugué.

📝 Points essentiels

• |z|=|z̄|.
• |zz’|=|z||z’|.
• Si z≠0 alors |1/z|=1/|z|.
• |z|=0 ⇔ z=0.
• |z+z’|≤|z|+|z’| et |z+z’|^2=|z|^2+2Re(z̄’ z)+|z’|^2.

📖 5. Affixe et plan complexe

🔑 Notions clés & Définitions

• Affixe d’un point M(z) : L’affixe d’un point M dans un repère orthonormé est le complexe associé à ses coordonnées (a,b), soit a+ib.
• Affixe d’un vecteur : L’affixe d’un vecteur est le complexe correspondant à ses composantes dans le repère, par extension de l’affixe des points.
• Plan complexe : Le plan complexe est la représentation géométrique où l’on étudie directement les affixes sans représenter explicitement points et vecteurs.
• Interprétation du conjugué : Le conjugué d’un affixe correspond à une symétrie par rapport à l’axe des réels dans le plan complexe.

📝 Points essentiels

• Si M(z) a pour coordonnées (a,b) alors son affixe est z=a+ib et z détermine M de manière unique.
• Pour deux points M(z) et M’(z’), l’affixe du vecteur −−→MM’ est z’−z.
• Pour deux vecteurs de composantes z et z’, l’affixe de −→w+−→w’ est z+z’.
• Pour un réel k, l’affixe de k·−→w(z) est kz.
• Interprétation : le conjugué z̄ est le symétrique de z par rapport à la droite des réels.

📖 6. Nombres de module 1

🔑 Notions clés & Définitions

• U ensemble des nombres de module 1 : U désigne l’ensemble des complexes dont le module vaut 1.
• Cercle unité : Dans le plan complexe, U correspond au cercle de centre 0 et de rayon 1.
• Stabilité dans U : Les opérations indiquées conservent l’appartenance à U.

📝 Points essentiels

• z∈U ⇔ |z|=1.
• Si z∈U alors z̄∈U et si z et z’∈U alors zz’∈U.
• Si z∈U et z≠0 alors 1/z∈U.
• Pour tout z∈C* on a |z|=1 ⇔ 1/z = z̄.
• Dans ce chapitre, l’inégalité et le module servent aussi à relier distance et affixes via OM=|z|.

📖 7. Argument et calculs

🔑 Notions clés & Définitions

• Congruence modulo : La congruence modulo m définit a≡b[m] lorsqu’il existe k∈Z tel que a=b+km.
• Argument arg z : arg(z) est une mesure de l’angle associé au vecteur OM(z) dans le repère, pour z≠0.
• Argument principal : L’argument principal est la mesure de l’angle qui appartient à [0,2π[.
• Relations cos et sin : Les expressions de cos et sin via Re(z) et Im(z) donnent un pont entre coordonnées et argument.

📝 Points essentiels

• La valeur de arg(z) est définie à 2kπ près pour k∈Z.
• Si z∈C* et θ est un argument de z alors cosθ=Re(z)/|z| et sinθ=Im(z)/|z|.
• arg(−z)≡π+arg(z)[2π].
• arg(zz’)≡arg(z)+arg(z’)[2π] et arg(1/z)≡−arg(z)[2π].
• Si θ est un argument de z, alors arg(z^n) s’obtient en le multipliant par n, modulo 2π.

📖 8. Trigonométrie utile

🔑 Notions clés & Définitions

• Formules d’addition : Les formules d’addition donnent cos(θ+θ’) et sin(θ+θ’) à partir de cos et sin de θ et θ’.
• Formules de duplication : Les formules de duplication expriment cos(2θ) et sin(2θ) en fonction de cosθ et sinθ.
• Linéarisation du carré : La linéarisation relie cos^2θ et sin^2θ à cos(2θ) et aux constantes.

📝 Points essentiels

• cos(θ+θ’)=cosθ cosθ’−sinθ sinθ’.
• sin(θ+θ’)=cosθ sinθ’+sinθ cosθ’.
• cos(2θ)=2cos^2θ−1 et aussi cos(2θ)=1−2sin^2θ.
• sin(2θ)=2cosθ sinθ.
• cos^2θ=(1+cos(2θ))/2 et sin^2θ=(1−cos(2θ))/2.

📖 9. Formes trigonométrique et exponentielle

🔑 Notions clés & Définitions

• Forme trigonométrique : La forme trigonométrique d’un complexe non nul est z=r(cosθ+i sinθ) avec r=|z|.
• Forme exponentielle : La forme exponentielle utilise la relation e^{iθ}=cosθ+i sinθ pour écrire des complexes.
• Notation e^{iθ} : e^{iθ} est défini comme cosθ+i sinθ pour tout réel θ.
• Formule d’Euler : Les formules d’Euler expriment cosθ et sinθ en fonction de e^{iθ} et e^{−iθ}.

📝 Points essentiels

• Si z≠0, avec θ argument de z et r=|z|, alors z=r(cosθ+i sinθ) avec r unique positif.
• L’angle θ est déterminé à 2kπ près pour k∈Z dans la forme trigonométrique.
• Pour tout θ, e^{i(θ+θ’)}=e^{iθ}e^{iθ’}.
• Pour tout θ, e^{−iθ}=(e^{iθ})^{−1} et e^{ipθ}=(e^{iθ})^p pour p∈Z.
• Formule d’Euler : cosθ=(e^{iθ}+e^{−iθ})/2 et sinθ=(e^{iθ}−e^{−iθ})/(2i).

📖 10. Racines et équations du second degré

🔑 Notions clés & Définitions

• Discriminant ∆ : Le discriminant d’une équation quadratique a,b,c complexes est ∆=b^2−4ac.
• Racines carrées complexes : Un nombre complexe admet deux racines carrées opposées quand il est non nul.
• Solution double : Une équation du second degré a coefficients complexes a une solution double quand le discriminant vaut 0.

📝 Points essentiels

• Tout complexe z admet deux racines carrées opposées, distinctes si z≠0.
• Pour a≠0, b et c complexes, l’équation az^2+bz+c=0 a pour solutions z1=(−b+δ1)/(2a) et z2=(−b+δ2)/(2a) où δ1 et δ2 sont les racines carrées de ∆.
• Les racines de ∆ satisfont δ2=−δ1.
• Si ∆=0 alors les deux solutions se confondent, on dit que l’équation admet une solution double.

📖 11. Racines n-ièmes

🔑 Notions clés & Définitions

• Racine n-ième : Une racine n-ième de Z est un complexe z tel que z^n=Z.
• Racines n-ièmes de l’unité : Les racines n-ièmes de l’unité sont les solutions de z^n=1.
• Forme polaire reiθ : Dans la forme polaire, un complexe non nul s’écrit z=reiθ avec r=|z| et θ un argument.
• Suite géométrique des racines : Le calcul des racines n-ièmes repose sur une suite géométrique de raison e^{i2π/n}.

📝 Points essentiels

• Si n=2, on obtient les racines carrées, et si Z=1 on obtient les racines n-ièmes de l’unité.
• Pour n∈N* et tout complexe non nul Z, il existe n racines n-ièmes distinctes.
• Si Z=reiθ, les racines n-ièmes sont z_k= r^{1/n} e^{i(θ+2kπ/n)} pour k∈[0,n−1].
• Pour tout n≥1, les racines n-ièmes de 1 sont e^{i2kπ/n} avec k de 0 à n−1.
• Si Z a module 1 et n≥2, les racines n-ièmes sont les sommets d’un polygone régulier centré en 0 dont le cercle circonscrit a pour rayon 1 et leur somme vaut 0.

📊 Tableaux de synthèse

Formes trigonométrique vs exponentielle

⚠️ Pièges & confusions fréquents

1. Confondre la partie réelle Re(z) avec le module |z|, car Re(z) peut être négatif alors que |z| est toujours positif.
2. Penser que arg(z) est unique : il n’est défini qu’à 2kπ près, et arg principal appartient à [0,2π[.
3. Oublier que la forme trigonométrique exige r positif et que l’angle θ reste déterminé modulo 2kπ.
4. Se tromper sur le calcul de 1/z : on ne remplace pas z par z̄, il faut utiliser la formule avec a^2+b^2.
5. Mélanger conjugué et symétrie : dans le plan complexe, z̄ est bien la symétrie par rapport à l’axe des réels.
6. Pour les racines n-ièmes, oublier le terme θ+2kπ/n et donc perdre les n solutions distinctes.

✅ Checklist Examen

1. Écrire un complexe z sous la forme a+ib et identifier Re(z) et Im(z).
2. Vérifier l’égalité de deux complexes en comparant simultanément leurs parties réelle et imaginaire.
3. Savoir calculer (a+ib)+(c+id) et (a+ib)(c+id) sous forme a+ib.
4. Utiliser la linéarité : Re(z+z’), Im(z+z’), Re(λz) et Im(λz) pour λ réel.
5. Déterminer si z est réel ou imaginaire pur à partir de Im(z) ou Re(z) ou à partir de la condition avec z̄.
6. Calculer le conjugué z̄ et appliquer les règles de compatibilité avec addition, multiplication et inverse.
7. Calculer le module |z| à partir de a et b puis utiliser les propriétés |z|=|z̄|, |zz’| et |1/z|.
8. Appliquer l’inégalité triangulaire et la formule du carré de |z+z’| avec Re(z̄’ z).
9. Associer un point M(a,b) au complexe a+ib via l’affixe et utiliser les relations d’affixes des vecteurs.
10. Relier module et distance : OM=|z| et M M’=|z’−z|.
11. Utiliser la propriété géométrique du conjugué comme symétrie par rapport à l’axe des réels.
12. Savoir caractériser l’ensemble U des complexes de module 1 et appliquer sa stabilité par conjugaison, multiplication et inverse.
13. Définir arg(z), rappeler qu’il est défini modulo 2kπ et calculer cosθ et sinθ via Re(z) et Im(z).
14. Utiliser les règles sur l’argument : arg(−z), arg(zz’) et arg(1/z) ainsi que arg(z^n).