Introduction aux Nombres et Ensembles Mathématiques

📋 Plan du Cours

1. Nombres entiers et relatifs
2. Divisibilité et nombres premiers
3. Nombres rationnels et fractions
4. Réduction de fractions
5. Nombres décimaux et périodiques
6. Nombres irrationnels et radicaux
7. Ensembles de nombres réels

📖 1. Nombres entiers et relatifs

🔑 Notions clés & Définitions

• Ensemble des entiers naturels ℕ : Ensemble des nombres entiers positifs et de zéro, noté ℕ = {0, 1, 2, 3, …}.
• Ensemble des entiers naturels privé de zéro ℕ∗ : Sous-ensemble de ℕ excluant zéro, noté ℕ∗ = {1, 2, 3, …}.
• Ensemble des entiers relatifs ℤ : Ensemble comprenant tous les entiers positifs, négatifs et zéro, noté ℤ.
• Divisibilité et multiples : Un entier naturel 𝑏 divise un entier 𝑎 si on peut écrire 𝑎 = 𝑏 × 𝑞 avec 𝑞 ∈ ℤ. 𝑎 est alors un multiple de 𝑏.
• Nombre premier : Un entier naturel 𝑛 est premier s’il a exactement deux diviseurs, 1 et 𝑛.

📝 Points essentiels

• ℕ comprend 0 et tous les entiers positifs.
• ℕ∗ est l’ensemble des entiers naturels sans zéro.
• ℤ est stable par addition, soustraction et multiplication. Exemple : 5 × (−3) + 27 ∈ ℤ.
• La divisibilité se note : 𝑏 | 𝑎 si 𝑎 = 𝑏 × 𝑞 avec 𝑞 ∈ ℤ.
• Un nombre premier possède uniquement 2 diviseurs : 1 et lui-même. Par exemple, 3 est premier, 6 ne l’est pas.
• Tout entier peut être décomposé en produit de nombres premiers (décomposition en facteurs premiers).

💡 À retenir