Lernzettel: Introduction aux nombres relatifs et coordonnées planaires

📋 Plan du Cours

1. Nombres relatifs
2. Nombres opposés
3. Températures et situations
4. Droite graduée et ordre
5. Axe chronologique
6. Jeu sur la droite graduée
7. Repère orthogonal du plan
8. Coordonnées des points

📖 1. Nombres relatifs

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombres relatifs : Les nombres relatifs regroupent les nombres positifs et les nombres négatifs utilisés pour décrire des quantités situées de part et d’autre de 0.
• Signe (+ ou -) : Le signe indique si un nombre relatif est positif ou négatif.
• Distance à zéro : La partie numérique d’un nombre relatif correspond à sa distance à 0, sans tenir compte du signe.

📝 Points essentiels

• Les nombres positifs s’écrivent avec un signe + ou sans signe dans les exemples, alors que les nombres négatifs s’écrivent avec le signe -.
• Les nombres relatifs s’écrivent avec un signe (+ ou -) et une partie numérique appelée distance à zéro.
• Dans l’exemple de Paul : 5 - 2 = 3, donc les voisins sont au 3ème étage.

💡 Astuce mémo

Signe = sens par rapport à 0, distance à zéro = taille sans direction.

📖 2. Nombres opposés

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombres opposés : Deux nombres opposés ont la même distance à zéro mais un signe différent.
• + et - : Un même nombre numérique peut correspondre à deux nombres opposés selon qu’il est affecté du signe + ou -.

📝 Points essentiels

• (-8) et (+8) sont des nombres opposés car ils ont la même partie numérique et des signes différents.
• Dans le jeu sur la droite, -2 et +2 sont des nombres opposés.
• Si deux pions sont à la même distance du départ mais pas au même endroit, on les différencie grâce aux signes.

💡 Astuce mémo

Même nombre, signes inversés : opposé.

📖 3. Températures et situations

🔑 Notions clés & Définitions

• Températures négatives : Une température est négative quand elle est située sous 0°C, donc elle correspond à un nombre relatif négatif.
• Températures positives : Une température est positive quand elle est au-dessus de 0°C, donc elle correspond à un nombre relatif positif.
• Association ville-température : Associer une ville à un thermomètre consiste à relier chaque ville à la température (relative) qui lui correspond.

📝 Points essentiels

• Les températures fournies sont données pour des villes : Lisbonne < 6°C, Paris < -4°C, Orange < 0°C, Helsinki < -12°C, Berlin < -10°C, Moscou < -16°C, Rome 12°C.
• Rome correspond à +12°C car la valeur donnée est 12°C sans signe moins.
• Dans l’activité, les élèves entourent les températures négatives en rouge et les températures positives en vert.

💡 Astuce mémo

Moins devant le nombre = température sous 0°C.

📖 4. Droite graduée et ordre

🔑 Notions clés & Définitions

• Abscisse : Sur une droite graduée, l’abscisse d’un point est le nombre relatif qui repère ce point.
• Nombres négatifs : Les nombres négatifs sont les nombres relatifs situés à gauche de 0 sur la droite graduée.
• Nombres positifs : Les nombres positifs sont les nombres relatifs situés à droite de 0 sur la droite graduée.
• Ordre croissant : L’ordre croissant correspond à la progression de la gauche vers la droite sur une droite graduée.

📝 Points essentiels

• Les nombres relatifs sont rangés dans le même ordre que leurs points sur la droite graduée.
• Exemple : si B est avant C, alors on lit -5 < -4,5.
• Exemple : -5 < -3,5 < 0 < 1 < 4.
• Rappel : ordre croissant va vers la droite → et ordre décroissant va vers la gauche ←.

💡 Astuce mémo

Droite graduée = comparaison : plus à gauche signifie plus petit.

📖 5. Axe chronologique

🔑 Notions clés & Définitions

• Axe chronologique : Un axe chronologique sert à placer des événements historiques sur une droite graduée en distinguant avant et après la naissance de Jésus.
• Avant J.-C. : Une date avant J.-C. correspond à un nombre négatif sur l’axe chronologique.
• Après J.-C. : Une date après J.-C. correspond à un nombre positif (ou à 0 si l’événement est en J.-C. sans précision) sur l’axe chronologique.

📝 Points essentiels

• Le repère proposé va de -400 à 400 avec 0 au milieu, pour placer les événements avant et après J.-C.
• L’événement T est « détruit en 70 après J.-C. », donc on le code avec +70.
• Jules César naît en 100 avant J.-C., donc on le code avec -100 sur l’axe.

💡 Astuce mémo

Avant J.-C. = côté gauche (négatif), après J.-C. = côté droit (positif).

📖 6. Jeu sur la droite graduée

🔑 Notions clés & Définitions

• Droite régulièrement graduée : Une droite régulièrement graduée a des graduations espacées de façon régulière, permettant d’avancer ou reculer d’un nombre de graduations indiqué.
• Impairs : Dans le jeu, un lancer impair déclenche un déplacement vers la droite.
• Pairs : Dans le jeu, un lancer pair déclenche un déplacement vers la gauche.

📝 Points essentiels

• Au départ, tous les joueurs placent leurs pions sur la même graduation nommée « départ ».
• Si le résultat du dé est impair, le joueur avance vers la droite du nombre de graduations indiquées, et s’il est pair il recule vers la gauche du même nombre.
• Après la partie donnée, -2 est l’abscisse du pion d’Arthur et celui-ci est le moins avancé (il est au plus petit abscisse parmi les positions décrites).
• Après leurs tours : Luna est au +2 (2ème), Clara est au +3 (première) et Noé est entre Arthur et Luna (0).

💡 Astuce mémo

Impair = va à droite, pair = recule à gauche.

📖 7. Repère orthogonal du plan

🔑 Notions clés & Définitions

• Repère orthogonal du plan : Un repère orthogonal du plan est formé de deux droites perpendiculaires graduées qui ont la même origine.
• Axe des abscisses : L’axe des abscisses est la droite horizontale d’un repère orthogonal.
• Axe des ordonnées : L’axe des ordonnées est la droite verticale d’un repère orthogonal.
• Origine : L’origine d’un repère est le point où les deux axes se coupent.
• Coordonnées : Les coordonnées d’un point sont un couple de nombres relatifs qui indiquent son abscisse et son ordonnée.

📝 Points essentiels

• La droite horizontale est l’axe des abscisses et la droite verticale est l’axe des ordonnées.
• Le point O(0 ; 0) est l’origine du repère.
• Si A a pour abscisse -1 et pour ordonnée +2, on écrit A(-1 ; 2).
• Dans l’exemple, A a pour coordonnées (-1 ; 2).

💡 Astuce mémo

Abscisse = horizontale, ordonnée = verticale.

📖 8. Coordonnées des points

🔑 Notions clés & Définitions

• Abscisse et ordonnée d’un point : Pour lire des coordonnées, on relève d’abord l’abscisse sur l’axe horizontal puis l’ordonnée sur l’axe vertical.
• Écriture A(x ; y) : La notation A(x ; y) indique que x est l’abscisse et y l’ordonnée du point A.

📝 Points essentiels

• Dans l’exercice, B (+4 ; +3) signifie que son ordonnée vaut +3 et son abscisse vaut +4.
• Dans l’exercice, les coordonnées fournies sont : F(0 ; +3,5), D(3 ; +2), C(-2,5 ; +1), E(+1,5 ; 0), B(-1 ; -2), A(+1,5 ; -2).
• Dans l’activité, Anissa se situe au point (6 ; 3) et ses amis répondent par C(0 ; -4), S(4 ; -2) et L(-5 ; 1).
• Le point Mistigri est retrouvé au point M(-3 ; -6).

💡 Astuce mémo

Première valeur = x (abscisse), deuxième valeur = y (ordonnée).

📅 Repères chronologiques

⚠️ Pièges & confusions fréquents

1. Confondre un signe moins avec une soustraction : dans ce chapitre, « - » peut aussi désigner un nombre négatif.
2. Oublier que l’ordre sur la droite graduée correspond aux nombres : être à gauche signifie toujours être plus petit.
3. Dire que + et - ont la même valeur absolue : ils ont la même distance à zéro mais pas le même sens.
4. Mal lire les coordonnées : la première valeur est l’abscisse (horizontale) et la seconde est l’ordonnée (verticale).
5. Intervertir avant J.-C. et après J.-C. : avant correspond à un nombre négatif sur l’axe chronologique.

✅ Checklist Examen

1. Écrire correctement un nombre relatif à partir d’une situation (avec signe + ou - et distance à zéro).
2. Calculer une soustraction avec des nombres relatifs pour trouver un niveau (exemple : 5 - 2 = 3 puis 3 - 4 = -1).
3. Reconnaître des nombres opposés : même partie numérique et signes différents.
4. Associer des villes à des températures positives ou négatives à partir des valeurs données (dont Rome 12°C).
5. Lire une abscisse sur une droite graduée et utiliser l’emplacement pour comparer des nombres (exemple : -5 < -4,5).
6. Ranger des nombres relatifs dans l’ordre croissant (gauche vers droite) et décroissant (droite vers gauche).
7. Placer des événements sur un axe chronologique en respectant les signes : dates avant J.-C. du côté négatif, après J.-C. du côté positif.
8. Décrire et appliquer les déplacements du jeu : impair avance à droite, pair recule à gauche, puis donner les positions finales sous forme d’abscisse.
9. Lire et donner des coordonnées dans un repère orthogonal sous la forme A(x ; y) en distinguant abscisse horizontale et ordonnée verticale.
10. Donner les coordonnées de points à partir d’un tableau/énoncé (ex : F(0 ; +3,5), etc.) et placer des points donnés (ex : G(-3 ; 4)).