Lernzettel: Introduction aux Pourcentages, Puissances et Graphiques

📋 Plan du Cours

1. Pourcentages et coefficients multiplicateurs
2. Puissances et notation scientifique
3. Fonctions et lecture graphique
4. Suites et modélisation de population
5. Dérivation et tangente
6. Probabilités et erreurs de test

📖 1. Pourcentages et coefficients multiplicateurs

🔑 Notions clés & Définitions

• Pourcentage : Un pourcentage représente une proportion sur 100 à partir de laquelle on peut calculer une fraction d’une quantité.
• Coefficient multiplicateur : Un coefficient multiplicateur indique par quel facteur une quantité change quand on applique une évolution (hausse ou baisse).
• Augmentation de 50 % : Une augmentation de 50 % transforme une valeur initiale V en 1,5V.
• Diminution de 50 % : Une diminution de 50 % transforme une valeur initiale V en 0,5V.

📝 Points essentiels

• Si un prix baisse de 50 %, le prix est multiplié par 0,5 et pour retrouver l’ancien prix il faut ensuite multiplier par 2.
• Si une quantité est diminuée de 50 %, une augmentation nécessaire n’est pas de 50 % mais de 100 % pour revenir à la valeur initiale.
• Pour passer de 250 à 200, le coefficient multiplicateur vaut 200/250 = 0,8, donc le prix est multiplié par 0,8.
• Un pourcentage de la journée consacré à un exposé se calcule en appliquant successivement les pourcentages : 25 % × 80 % = 20 % du total, mais l’item demande le pourcentage de l’exposé par rapport à la journée entière.

💡 Astuce mémo

Baisse de 50 % : divise par 2 ; pour revenir, multiplie par 2 (donc +100 %).

📖 2. Puissances et notation scientifique

🔑 Notions clés & Définitions

• Puissance : Une puissance $a^n$ représente un produit de n facteurs égaux à a quand n est un entier naturel.
• Notation scientifique : La notation scientifique écrit un nombre sous la forme $a\times 10^n$ avec $a$ un nombre décimal et n un entier.
• Produit par une puissance de 10 : Multiplier par une puissance de 10 décale l’exposant de 10 dans l’écriture scientifique.

📝 Points essentiels

• Pour comparer des écritures, on vérifie l’égalité en regroupant les exposants selon les règles vues sur les puissances.
• L’égalité demandée dans le QCM impose de tester les formes proposées en utilisant les propriétés des puissances de 10 et des puissances d’exposants négatifs.
• L’épaisseur de 70×10^-3 mm pour une feuille convertit la grandeur totale en cm à partir de 2 000 feuilles en multipliant par 2 000 et en ramenant les unités.
• Une expression du type $10^{-5}\times 10^{8}$ se simplifie en ajoutant les exposants pour obtenir $10^{3}$, puis en comparant à l’autre terme proposé.

💡 Astuce mémo

Puissances de 10 : on additionne les exposants quand on multiplie.

📖 3. Fonctions et lecture graphique

🔑 Notions clés & Définitions

• Courbe représentative : Une courbe représentative associe à chaque abscisse x la valeur f(x) via l’ordonnée du point correspondant.
• Zéros d’une fonction : Les zéros d’une fonction sont les abscisses x telles que f(x)=0, correspondant aux intersections avec l’axe des ordonnées.
• Inéquation graphique : Résoudre $f(x)\le g(x)$ revient à repérer sur le graphique où la courbe de f est en dessous ou confondue avec celle de g.
• Tableau de signes : Un tableau de signes indique le signe d’une expression (positive, nulle ou négative) selon la valeur de x.

📝 Points essentiels

• Sur le graphique de l’inéquation, les solutions sont les x où la courbe de f est située au plus aussi bas que la courbe de g, c’est-à-dire quand f(x)≤g(x).
• L’équation f(x)=0 a un nombre de solutions égal au nombre d’intersections de la courbe avec l’axe y=0 sur l’intervalle étudié.
• Le QCM sur f (x)=0 propose d’identifier si aucune, une ou deux intersections existent sur l’intervalle [−3 ; 2].
• Le tableau de signes de f permet de choisir l’expression de f compatible avec la présence de zéros et les signes indiqués entre −∞, 2 et +∞.

💡 Astuce mémo

Intersection avec l’axe des abscisses : f(x)=0 ; f au-dessus ou au-dessous de g : inéquation.

📖 4. Suites et modélisation de population

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite numérique : Une suite numérique associe à chaque entier n un nombre u_n, qui peut modéliser une grandeur au fil du temps.
• Taux de variation en pourcentage : Un taux de variation en pourcentage décrit comment une valeur est multipliée chaque année d’un même facteur constant.
• Suite définie par récurrence : Une suite définie par récurrence donne u_{n+1} à partir de u_n via une relation, avec une valeur initiale.
• Modélisation de population : En modélisation, la suite représente le nombre d’individus année après année selon un scénario mathématique.

📝 Points essentiels

• Avec une baisse de 10 %, le nombre de singes est multiplié chaque année par 0,9, donc u_1=900 à partir de u_0=1 000.
• Dans le premier modèle, u_n représente la population après n années, avec u_0=1 000 et u_2 correspondant à l’année 2027.
• Une suite dont chaque terme est obtenu en multipliant le précédent par un nombre constant est une suite géométrique.
• Dans le second modèle, la relation vn+1=0,9vn+150 permet d’obtenir la population 2026 à partir de v0=1 000.
• Pour la première année où vn dépasse 1 400, on cherche le plus petit n tel que la valeur calculée dépasse le seuil 1 400 dans le tableau.

💡 Astuce mémo

Baisse de 10 % : multiplier par 0,9 ; récurrence : vn+1 vient de vn plus une constante 150.

📖 5. Dérivation et tangente

🔑 Notions clés & Définitions

• Dérivée f' : La dérivée f'(x) mesure le coefficient directeur de la tangente à la courbe au point d’abscisse x.
• Tangente à une courbe : La tangente est la droite passant par le point de la courbe et ayant le même coefficient directeur que la dérivée au même x.
• Fonction dérivable : Une fonction est dérivable en x si sa dérivée existe en ce point et correspond à la pente locale de la courbe.
• Variation d’une fonction : La monotonie dépend du signe de la dérivée : f croît quand f' est positive et décroît quand f' est négative.

📝 Points essentiels

• À l’abscisse x=2, f(2) se lit à partir des coordonnées du point de la courbe indiqué, et f'(2) se déduit de l’information sur la tangente.
• Si la tangente T coupe l’axe des ordonnées en y=12 et passe par le point de la courbe en x=2, alors l’équation de T s’écrit avec une forme utilisant son coefficient directeur.
• Dans l’exercice, on admet que f'(x)=1,5x(x−4), ce qui permet de factoriser et étudier le signe.
• Le signe de f'(x) se déduit du produit 1,5x(x−4) : la dérivée est nulle pour x=0 et x=4, et son signe change selon les intervalles.
• Si on sait que f(x)≤−6x+12 sur [0 ; 2], alors la courbe C est en dessous ou confondue avec la tangente T sur cet intervalle.

💡 Astuce mémo

Pente locale : f'(x) = pente de la tangente ; signe de f' = sens de variation.

📖 6. Probabilités et erreurs de test

🔑 Notions clés & Définitions

• Probabilité : La probabilité d’un événement mesure sa part attendue de cas favorables sur un grand nombre de répétitions.
• Erreur de test : Une erreur de test correspond à un résultat du test contredisant l’état réel (faux positif ou faux négatif).
• Probabilité conditionnelle : La probabilité conditionnelle P(A|B) est la probabilité de A sachant que B est réalisé.
• Indépendance : Deux événements sont indépendants si la réalisation de l’un n’influence pas la probabilité de l’autre.

📝 Points essentiels

• Dans le tableau de 200 coureurs, la probabilité que le coureur soit non dopé ou testé positif se calcule avec l’union des cas favorables en utilisant le total observé.
• P(Non dopé|Test positif) se lit en divisant le nombre de non dopés testés positifs par le total des tests positifs, soit 15/(15+5).
• La probabilité d’une erreur de test correspond aux effectifs des faux positifs et des faux négatifs sur l’effectif total, puis conversion en pourcentage.
• Pour deux services indépendants, la probabilité d’obtenir exactement un service réussi vaut 2×0,9×(1−0,9).
• Les réponses numériques proposées doivent être cohérentes avec les effectifs ou avec le calcul combinatoire pour deux essais.

💡 Astuce mémo

Exactement 1 succès sur 2 essais indépendants : 2×P(succès)×P(échec).

📅 Repères chronologiques

📊 Tableaux de synthèse

Coefficients pour une baisse de 50 %

⚠️ Pièges & confusions fréquents

1. Confondre une baisse de 50 % avec une augmentation de 50 % conduit à utiliser 0,5 au lieu de 1,5.
2. Mélanger le sens d’une inéquation graphique : f(x)≤g(x) correspond à une position de f en dessous (ou sur) g, pas l’inverse.
3. Lire f(x)=0 comme f(x)>0 : l’équation cherche les intersections avec l’axe y=0, pas le signe général.
4. Oublier que f'(x) donne la pente : une tangente n’est pas une droite quelconque passant par un point de la courbe.
5. Pour P(Non dopé|Test positif), utiliser le mauvais numérateur (total non dopé au lieu de non dopé parmi les tests positifs).
6. Dans deux services, oublier le facteur 2 pour “exactement un” succès donne une valeur moitié trop petite.
7. Interpréter f(x)≤t(x) comme une égalité systématique : sur un intervalle, l’inégalité autorise aussi la coïncidence.

✅ Checklist Examen

1. Savoir calculer un pourcentage appliqué successivement et en déduire la proportion finale.
2. Savoir transformer une diminution/augmentation en coefficient multiplicateur et vérifier avec un exemple chiffré.
3. Savoir convertir une évolution en facteur à partir de deux valeurs (nouveau/ancien) et choisir le bon multiplicateur.
4. Savoir résoudre une équation f(x)=0 en se basant sur le nombre d’intersections d’une courbe avec l’axe des ordonnées.
5. Savoir lire sur le graphique une inéquation f(x)≤g(x) en identifiant où la courbe de f est en dessous ou confondue avec celle de g.
6. Savoir utiliser une suite géométrique issue d’un taux constant (multiplication) pour calculer le terme suivant.
7. Savoir appliquer une relation de récurrence vn+1=0,9vn+150 pour obtenir vn+1 à partir de vn.
8. Savoir utiliser f'(x) pour déterminer l’équation d’une tangente via le point de contact et la pente.
9. Savoir exploiter le signe de f'(x) (zéros et intervalles) pour reconstruire le tableau de variations.
10. Savoir interpréter l’affichage d’une inégalité du type f(x)≤t(x) sur un intervalle pour conclure la position relative de la courbe et de la tangente.
11. Savoir calculer une probabilité conditionnelle à partir d’effectifs du tableau (numérateur sur total de la condition).
12. Savoir calculer la probabilité d’exactement un succès sur 2 essais indépendants avec la formule 2×P(succès)×P(échec).