Lernzettel: Introduction aux probabilités et fonctions

📋 Plan du Cours

1. Tableaux croisés et fréquences
2. Événements indépendants
3. Taux de variation et tangente
4. Variations des fonctions et dérivée
5. Fonction affine
6. Exponentielle et équations
7. Suites arithmétiques
8. Suites géométriques et exponentielle

📖 1. Tableaux croisés et fréquences

🔑 Notions clés & Définitions

• Tableau croisé d’effectifs : Un tableau croisé d’effectifs croise deux caractères et donne l’effectif des individus possédant simultanément les deux valeurs.
• Marges du tableau : Les marges sont la ligne et la colonne « Total » qui regroupent les effectifs marginaux.
• Fréquence conditionnelle : Une fréquence conditionnelle mesure une part selon une condition, obtenue en divisant un effectif par le total correspondant.
• Fréquence marginale : Une fréquence marginale mesure une part globale d’une valeur, obtenue en divisant un effectif par l’effectif total.

📝 Points essentiels

• À l’intersection d’une ligne et d’une colonne, l’effectif lu correspond à ceux ayant les deux valeurs simultanément.
• Les marges « Total » donnent les effectifs marginaux.
• La fréquence conditionnelle en ligne est un effectif divisé par le total de la ligne.
• La fréquence conditionnelle en colonne est un effectif divisé par le total de la colonne.
• La fréquence marginale est un effectif divisé par l’effectif total du tableau.

💡 Astuce mémo

Marges = totaux ; conditionnel = diviser par le total de la ligne/colonne concernée.

📖 2. Événements indépendants

🔑 Notions clés & Définitions

• Indépendance de deux événements : Deux événements sont indépendants quand la réalisation de l’un ne change pas la probabilité de l’autre.
• Conditionnement : Le conditionnement exprime une probabilité sachant que l’autre événement est réalisé.

📝 Points essentiels

• Deux événements A et B sont indépendants si et seulement si P(A ∩ B) = P(A) × P(B).
• Une autre caractérisation équivalente est P(B) ≠ 0 et P(B | A) = P(B).
• Une autre caractérisation équivalente est P(A) ≠ 0 et P(A | B) = P(A).
• Pour des événements deux à deux indépendants A1,...,An, on a P(A1 ∩ A2 ∩ ... ∩ An) = P(A1) × P(A2) × ... × P(An).

💡 Astuce mémo

Indépendance = « produit des probabilités ».

📖 3. Taux de variation et tangente

🔑 Notions clés & Définitions

• Taux de variation : Le taux de variation d’une fonction entre deux abscisses mesure l’évolution moyenne de la fonction sur l’intervalle.
• Nombre dérivé : Le nombre dérivé en a est la limite du taux de variation quand on rapproche indéfiniment b de a.
• Tangente à une courbe : La tangente en a est la droite donnée par le slope f'(a) et passant par le point (a, f(a)).

📝 Points essentiels

• Le taux de variation de f entre a et b vaut (f(b) − f(a)) / (b − a).
• Si le taux de variation tend vers L quand h → 0, alors f est dérivable en a et f'(a) = L.
• Si f est dérivable en a, la tangente au point A(a ; f(a)) a pour équation y = f'(a)(x − a) + f(a).
• La vitesse moyenne entre t1 et t2 vaut (d(t2) − d(t1)) / (t2 − t1) pour t2 > t1.
• La vitesse instantanée au temps t0 vaut v(t0) = d'(t0) si la dérivée existe.

💡 Astuce mémo

Taux de variation = moyenne ; tangente = pente = nombre dérivé.

📖 4. Variations des fonctions et dérivée

🔑 Notions clés & Définitions

• Dérivée et signe : La dérivée f'(x) indique localement le sens de variation de f via son signe.
• Croissance : Une fonction est croissante quand ses valeurs augmentent avec la variable sur l’intervalle considéré.
• Décroissance : Une fonction est décroissante quand ses valeurs diminuent avec la variable sur l’intervalle considéré.

📝 Points essentiels

• Si f'(x) ≥ 0 sur I, alors f est croissante sur I.
• Si f'(x) ≤ 0 sur I, alors f est décroissante sur I.
• Si f'(x) = 0 sur I, alors f est constante sur I.

💡 Astuce mémo

Signe de f' : positif/ nul → monte ou reste, négatif → descend.

📖 5. Fonction affine

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction affine : Une fonction affine est une fonction de la forme f(x) = ax + b pour deux réels a et b, avec a ≠ 0.
• Coefficient directeur : Le coefficient directeur a caractérise la pente de la droite représentative de la fonction affine.
• Ordonnée à l’origine : L’ordonnée à l’origine b est la valeur de f(0) et correspond à l’endroit où la droite coupe l’axe des ordonnées.
• Vecteur directeur : Le vecteur directeur d’une droite affine donne son sens et sa pente à partir de deux coordonnées, ici u(1 ; a).

📝 Points essentiels

• Pour une fonction affine f(x) = ax + b avec a ≠ 0, elle est strictement croissante si a > 0 et strictement décroissante si a < 0.
• La droite représentative passe par le point B(0 ; b) et a pour vecteur directeur u(1 ; a).
• Si A et B sont deux points distincts de la droite, alors a = (yB − yA)/(xB − xA) et b = yA − axA.
• En connaissant x1 ≠ x2 et leurs images, a = (f(x2) − f(x1)) /(x2 − x1) et b = f(x1) − ax1.

💡 Astuce mémo

Affine : a = pente, b = f(0) ; deux points → on calcule a puis b.

📖 6. Exponentielle et équations

🔑 Notions clés & Définitions

• Équation avec exponentielle : Une équation exponentielle compare des puissances de même base et permet de déduire une égalité d’exposants.
• Inéquation avec exponentielle : Une inéquation exponentielle compare des puissances de même base et inverse ou conserve le sens selon la base.
• Base a : La base a intervient dans le sens d’évolution de α^x et α^y et donc dans la relation entre x et y.

📝 Points essentiels

• Pour α^x = α^y avec α ≠ 1, on a équivalence x = y.
• Pour a > 1, α < β est équivalent à x < y dans α^x et β^y quand les deux puissances sont comparées avec la même base a.
• Pour 0 < a < 1, la comparaison α < β est équivalente à x > y quand la base est entre 0 et 1.

💡 Astuce mémo

Même base : α ≠ 1 → égalité des exposants ; base > 1 → sens conservé, base < 1 → sens inversé.

📖 7. Suites arithmétiques

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite arithmétique : Une suite arithmétique est une suite dont la différence entre deux termes consécutifs est constante.
• Raison d’une suite arithmétique : La raison r est la constante d’accroissement qui vérifie u(n+1) = u(n) + r.

📝 Points essentiels

• Une suite u est arithmétique si et seulement si il existe r tel que u(n+1) = u(n) + r pour tout n.
• Pour une suite arithmétique de raison r, on a u(n+1) = u(n) + r.
• Toute suite arithmétique est représentée par des points alignés sur une droite.
• Pour prouver qu’une suite est arithmétique, on peut montrer que u(n+1) − u(n) ne dépend pas de n.

💡 Astuce mémo

Arithmétique = différence constante (écart fixe entre voisins).

📖 8. Suites géométriques et exponentielle

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite géométrique : Une suite géométrique est une suite dont le rapport entre deux termes consécutifs est constant.
• Raison k : La raison k d’une suite géométrique vérifie u(n+1) = k u(n) avec k > 0 pour les suites considérées ici.
• Exponentialité : L’exponentielle de base a prolonge la logique des puissances a^n issue des suites géométriques.

📝 Points essentiels

• Une suite à termes strictement positifs est géométrique si et seulement s’il existe k > 0 tel que u(n+1) = k u(n).
• Pour une suite géométrique, la représentation est liée à une courbe d’une fonction exponentielle si tous les termes sont strictement positifs.
• Pour une suite arithmétique, les données de ratio utilisées ici ne s’appliquent pas ; ici on a u(n+1) = q × u(n) avec q > 0.
• Les propriétés algébriques données incluent (ab)^x = a^x × b^x et a^(x+y) = a^x × a^y pour a, b, x, y positifs avec a ≠ 0 et b ≠ 0.
• La fonction exp_a (a > 0) est définie comme prolongement de a^n ; on a en particulier a^0 = 1 et a^1 = a.

💡 Astuce mémo

Géométrique = rapport constant ; exponentielle prolonge a^n.

⚠️ Pièges & confusions fréquents

1. Confondre effectif et fréquence : un effectif est un comptage, alors qu’une fréquence est un quotient par un total.
2. Prendre la mauvaise base de division pour une fréquence conditionnelle : ligne divise par total de ligne, colonne divise par total de colonne.
3. Croire que l’égalité P(A ∩ B) = P(A) + P(B) caractérise l’indépendance au lieu de P(A) × P(B).
4. Inverser le sens dans une inéquation exponentielle : avec une base entre 0 et 1, l’inégalité sur les exposants s’inverse.
5. Mélanger la définition de la tangente avec le taux de variation : la tangente utilise la pente f'(a) au point.
6. Oublier la contrainte a ≠ 0 dans une fonction affine f(x)=ax+b ou perdre le cas a>0 versus a<0 pour le sens de variation.
7. Confondre suite arithmétique et suite géométrique : différence constante pour la première, rapport constant pour la seconde.

✅ Checklist Examen

1. Construire et lire un tableau croisé d’effectifs à l’intersection d’une ligne et d’une colonne.
2. Calculer une fréquence conditionnelle en ligne à partir d’un effectif et du total de la ligne.
3. Calculer une fréquence conditionnelle en colonne à partir d’un effectif et du total de la colonne.
4. Calculer une fréquence marginale à partir d’un effectif et de l’effectif total du tableau.
5. Reconnaître l’indépendance de deux événements en utilisant P(A ∩ B) = P(A) × P(B).
6. Calculer la probabilité d’une intersection de plusieurs événements deux à deux indépendants via le produit des probabilités.
7. Déterminer le taux de variation (f(b)−f(a))/(b−a) entre deux abscisses.
8. Écrire l’équation de la tangente en x=a : y = f'(a)(x−a)+f(a).
9. Relier le signe de f'(x) aux variations de f sur un intervalle (croissante/décroissante/constante).
10. Déduire le sens de variation d’une fonction affine à partir de a (strictement croissante pour a>0, décroissante pour a<0).
11. Calculer les coefficients a et b d’une fonction affine à partir de deux points distincts.
12. Résoudre une équation exponentielle α^x = α^y avec α ≠ 1 en concluant x=y.
13. Résoudre une inéquation exponentielle en respectant la règle de sens selon a>1 ou 0<a<1.
14. Reconnaître une suite arithmétique en utilisant u(n+1)=u(n)+r et vérifier par u(n+1)−u(n) constant.