Lernzettel: Introduction aux probabilités et opérations sur événements

📋 Plan du Cours

1. Tableaux croisés et probabilités conditionnelles
2. Applications des probabilités conditionnelles à des situations concrètes
3. Calcul des fréquences conditionnelles dans une enquête épidémiologique
4. Utilisation des tableaux croisés pour représenter des répartitions dans une entreprise
5. Opérations sur les événements : événements contraires, intersections, réunions et incompatibilités
6. Calcul des probabilités d’union et d’intersection d’événements avec exemples
7. Définition et calcul des probabilités dans un univers fini avec équiprobabilité
8. Probabilités dans un univers non équiprobable et calculs d’événements composés
9. Relations entre événements contraires et calculs associés
10. Synthèse des capacités et connaissances sur les probabilités conditionnelles et opérations sur événements
11. Vocabulaire fondamental des probabilités : expérience aléatoire, univers, événements élémentaires
12. Définition formelle et calcul de la probabilité d’un événement dans un univers fini

📖 1. Tableaux croisés et probabilités conditionnelles

🔑 Notions clés & Définitions

• SYNTHESE : Résumé des méthodes pour organiser et analyser des données conjointes à l'aide de tableaux croisés, permettant le calcul des fréquences et probabilités conditionnelles.
• Tableau croisé : Tableau permettant de rassembler et d'organiser les données concernant deux caractères ou événements afin de faciliter leur interprétation et le calcul des probabilités.
• Fréquence conditionnelle : Rapport du nombre de cas où deux événements A et B se réalisent simultanément sur le nombre total de cas où l'événement A est réalisé, notée f_A(B).
• Probabilité conditionnelle : Mesure de la probabilité que l'événement B se réalise sous la condition que l'événement A est réalisé, définie par P_A(B) = p(A ∩ B) / p(A) avec p(A) non nul.
• Probabilités conditionnelles Tableaux croisés : Application des tableaux croisés pour calculer des probabilités conditionnelles en divisant la probabilité ou la fréquence de l'intersection des événements par celle de l'événement conditionnant.

📝 Points essentiels

• Un tableau croisé rassemble les données concernant deux caractères ou événements, permettant d'interpréter diverses situations et de calculer des probabilités.
• La fréquence conditionnelle f_A(B) est le rapport du nombre de cas réalisant à la fois A et B sur le nombre total de cas de A.
• Il est essentiel de distinguer l'événement « A et B » de l'événement « B sachant A » pour éviter toute confusion dans l'interprétation des données.
• Il faut bien distinguer que « A et B » n'est pas la même chose que « B sachant A ».

💡 À retenir

Comprendre comment organiser et interpréter les données conjointes à l'aide de tableaux croisés permet de calculer fréquences et probabilités conditionnelles, essentielles pour analyser des situations concrètes.

📖 2. Applications des probabilités conditionnelles à des situations concrètes

🔑 Notions clés & Définitions

• Probabilités conditionnelles : Probabilités calculées à partir de données d'effectifs ou de fréquences dans des situations réelles, comme la fabrication de coques de téléphone, en divisant les effectifs correspondants.
• Sont du modèle : Indication que la coque appartient à un modèle spécifique, utilisé pour déterminer la probabilité conditionnelle en divisant les effectifs correspondants.

📝 Points essentiels

• Les probabilités conditionnelles peuvent être calculées à partir d'un tableau d'effectifs dans des situations concrètes, comme la fabrication de coques de téléphone.
• La probabilité qu'une coque soit d'une certaine couleur sachant son modèle est obtenue par division des effectifs correspondants.
• La vérification d'estimations probabilistes dans un contexte industriel nécessite le calcul précis de probabilités conditionnelles à partir des données fournies.

💡 À retenir

Savoir appliquer les probabilités conditionnelles à des cas pratiques permet de valider des hypothèses ou de contrôler des processus industriels.

📖 3. Calcul des fréquences conditionnelles dans une enquête épidémiologique

🔑 Notions clés & Définitions

• Fréquences conditionnelles : Proportion d'une sous-population par rapport à une population totale, calculée en divisant le nombre d'individus ayant une caractéristique spécifique parmi ceux ayant une autre caractéristique donnée.

📝 Points essentiels

• La fréquence conditionnelle des élèves vaccinés sachant qu'ils ont eu la grippe est le rapport du nombre d'élèves vaccinés grippés sur le nombre total d'élèves grippés.
• La fréquence conditionnelle des élèves ayant eu la grippe sachant qu'ils sont non vaccinés se calcule par le rapport du nombre d'élèves non vaccinés grippés sur le nombre total d'élèves non vaccinés.
• Les fréquences conditionnelles permettent de vérifier des hypothèses sur l'efficacité de la vaccination dans une population donnée.

💡 À retenir

Utiliser les fréquences conditionnelles permet d'analyser et d'interpréter concrètement l'efficacité de la vaccination dans une population en se basant sur des données épidémiologiques.

📖 4. Utilisation des tableaux croisés pour représenter des répartitions dans une entreprise

🔑 Notions clés & Définitions

• Activité : Quelles sont les caractéristiques d'une coque de portable ?
• Répartition des salariés : Distribution des employés d'une entreprise selon deux critères, comme le sexe et le service, présentée dans un tableau croisé d'effectifs.
• Répartition de la production : Organisation des quantités produites par une entreprise selon deux critères, tels que la chaîne de fabrication et le matériau, représentée dans un tableau croisé.
• Stage dans une entreprise : Période de formation pratique réalisée par un stagiaire au sein d'une entreprise, durant laquelle il peut observer et analyser des données professionnelles.

📝 Points essentiels

• Un tableau croisé peut représenter la répartition des salariés selon deux critères, facilitant l'analyse de la composition de l'effectif.
• Les tableaux croisés permettent de visualiser la répartition de la production selon deux critères, comme chaîne de fabrication et matériau.
• Les tableaux croisés facilitent la compréhension et l'analyse des répartitions dans un contexte professionnel.
• Nombre de salariés du service administratif B | 5 | 3 | 8

💡 À retenir

Un tableau croisé peut représenter la répartition des salariés selon deux critères, facilitant l'analyse de la composition de l'effectif.

📖 5. Opérations sur les événements : événements contraires, intersections, réunions et incompatibilités

🔑 Notions clés & Définitions

• Événement contraire : L'événement qui ne contient aucun élément commun avec un événement donné, représentant la non-réalisation de cet événement, et dont la probabilité est égale à 1 moins la probabilité de l'événement initial.
• Intersection d'événements : L'événement qui correspond à la réalisation simultanée de deux événements donnés, noté A ∩ B.
• Réunion d'événements : L'événement qui correspond à la réalisation d'au moins un des deux événements donnés, c'est-à-dire A ou B ou les deux, noté A ∪ B.
• Événements incompatibles : Deux événements qui ne peuvent pas se produire simultanément, ce qui implique que leur intersection est vide, donc p(A ∩ B) = 0, et que la probabilité de leur réunion est la somme de leurs probabilités.

📝 Points essentiels

• L'événement contraire d'un événement A ne partage aucun élément avec A, et sa probabilité est donnée par p(A) = 1 - p(A).
• La probabilité de la réunion de deux événements A et B est calculée par la formule p(A ∪ B) = p(A) + p(B) - p(A ∩ B).
• Pour deux événements incompatibles, la probabilité de leur intersection est nulle, donc p(A ∩ B) = 0, et la probabilité de leur réunion est la somme de leurs probabilités : p(A ∪ B) = p(A) + p(B).

💡 À retenir

Comprendre les relations fondamentales entre événements et leurs opérations permet de calculer efficacement les probabilités composées, notamment en utilisant la formule de l'union et en tenant compte des incompatibilités.

📖 6. Calcul des probabilités d’union et d’intersection d’événements avec exemples

🔑 Notions clés & Définitions

• Carte tirée : Un as ou un cœur » ; calculer p(A ∪ B).

📝 Points essentiels

• La probabilité de l'union de deux événements A et B est donnée par p(A ∪ B) = p(A) + p(B) - p(A ∩ B).
• L'intersection de deux événements correspond à la réalisation simultanée des deux événements.
• 1. Intersection d'événements
• 1. Événements contraires

💡 À retenir

Savoir appliquer la formule d'addition des probabilités pour des événements avec intersection non nulle est essentiel pour résoudre des problèmes combinés.

📖 7. Définition et calcul des probabilités dans un univers fini avec équiprobabilité

🔑 Notions clés & Définitions

• Exemple : Illustration concrète d'une expérience aléatoire, comme le lancer d'un dé équilibré à six faces, utilisée pour expliquer les concepts de probabilité.
• Univers fini : Ensemble fini d'issues possibles d'une expérience aléatoire, comme l'ensemble des faces d'un dé ou des cartes dans un jeu.
• Équiprobabilité : Six cas possibles ? Justifier.
• Événement élémentaire : A est un événement élémentaire alors que B non.

📝 Points essentiels

• Un univers fini est un ensemble fini d'issues possibles d'une expérience aléatoire.
• La probabilité d'un événement A dans un univers fini équiprobable est le nombre d'issues réalisant A divisé par le nombre total d'issues.
• L'exemple du lancer d'un dé équilibré à six faces montre que chaque issue a une probabilité de 1/6.
• La somme des probabilités des issues élémentaires dans un univers fini est égale à 1.
• Remarque : Soit un événement A, faisant partie de l’univers, dont les événements élémentaires ont tous la même probabilité (on dit qu’ils sont équiprobables), on a alors : Le calcul de la probabilité d’un événement A est : P(A) = nombre d’événements élémentaires réalisant A / nombre d’événements élémentaires de Ω.

💡 À retenir

Un univers fini est un ensemble fini d'issues possibles d'une expérience aléatoire.

📖 8. Probabilités dans un univers non équiprobable et calculs d’événements composés

🔑 Notions clés & Définitions

• Première partie : On joue avec un dé cubique possédant 6 faces numérotées de 1 à 6.

📝 Points essentiels

• La probabilité d'un événement A dans un univers fini équiprobable est le nombre d'issues réalisant A divisé par le nombre total d'issues.
• La somme des probabilités des issues élémentaires est toujours égale à 1.

💡 À retenir

Maîtriser le calcul des probabilités dans un cadre simple d'univers fini avec issues équiprobables, en utilisant la formule du ratio du nombre d'issues favorables sur le total.

📖 9. Relations entre événements contraires et calculs associés

🔑 Notions clés & Définitions

• Écrire A sous forme d'ensemble : Non car par exemple on a 5 fois plus de chance de faire 1 que de faire 6.
• Quelle relation peut-on écrire entre : P(A) = p(0) + p(5) + p(1) = 0,5 + 0,15 + 0,05

📝 Points essentiels

• L'événement contraire de A est l'ensemble complémentaire de A dans l'univers Ω.
• La probabilité de l'événement contraire est donnée par p(événement contraire de A) = 1 - p(A).
• Cette relation permet de calculer facilement la probabilité d'un événement en connaissant celle de son contraire.
• Exemple : si p(A) = 0,5 alors p(événement contraire de A) = 0,5.
• 6 La probabilité d'un événement est la somme des probabilités des issues qui le composent, calculer P(B).
• Si pi = 1 alors l’événement est certain, c’est un événement toujours réalisé.

💡 À retenir

Utiliser la complémentarité entre événements permet de simplifier le calcul des probabilités en connaissant celle de leur complémentaire.

📖 10. Synthèse des capacités et connaissances sur les probabilités conditionnelles et opérations sur événements

🔑 Notions clés & Définitions

• Calculer la probabilité de : Déterminer la mesure numérique d'un événement en additionnant les probabilités des événements élémentaires qui le composent dans un univers fini.
• Compléter ou exploiter des représentations : Remplir et analyser des tableaux croisés d’effectifs ou des diagrammes pour organiser et interpréter des données probabilistes.

📝 Points essentiels

• Calculer la probabilité d’un événement par addition des probabilités d’événements élémentaires.
• Calculer la probabilité d’un événement contraire et la réunion d’événements incompatibles.
• Compléter et exploiter des tableaux croisés d’effectifs et diagrammes.
• Calculer la probabilité de la réunion et de l’intersection de deux événements avec la formule P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B).
• Calculer des fréquences conditionnelles à partir de tableaux croisés d’effectifs.

💡 À retenir

Calculer la probabilité d’un événement par addition des probabilités d’événements élémentaires.

📖 11. Vocabulaire fondamental des probabilités : expérience aléatoire, univers, événements élémentaires

🔑 Notions clés & Définitions

• Exemples :

  • Pour le jeu de pile ou face avec une pièce de monnaie : Ω = {Pile ;

• Expérience aléatoire : Expérience est dite aléatoire lorsqu’elle a plusieurs résultats possibles et qu’on ne peut pas savoir lequel sera obtenu.

• Commentaires : On utilise le contenu du module vocabulaire ensembliste et logique, notamment pour traduire en langage probabiliste un événement donné en langage courant et réciproquement.

• Événements élémentaires : Équiprobables.

📝 Points essentiels

• Une expérience aléatoire admet plusieurs résultats inconnus à l’avance.
• L’univers Ω regroupe toutes les issues possibles d’une expérience.
• Un événement est une partie de l’univers Ω.
• Un événement élémentaire est un événement constitué d’un seul élément de Ω.
• L’univers des possibles est l’ensemble des issues (résultats d’une expérience aléatoire).

💡 À retenir

Une expérience aléatoire admet plusieurs résultats inconnus à l’avance.

📖 12. Définition formelle et calcul de la probabilité d’un événement dans un univers fini

🔑 Notions clés & Définitions

• Probabilité d'un événement dans un univers fini : La probabilité d’un événement dans un univers fini est définie en associant à chaque issue xi une probabilité pi comprise entre 0 et 1, puis en calculant la somme des probabilités des issues qui composent cet événement.
• Événement À chaque issue : À chaque issue xi de l’univers Ω est associée une probabilité pi, un nombre compris entre 0 et 1.
• Alors l’événement : Si la probabilité pi d’une issue est égale à 1, l’événement est certain, tandis que si pi est égale à 0, l’événement est impossible.

📝 Points essentiels

• Dans le cas équiprobable, la probabilité d’un événement A est le nombre d’issues réalisant A divisé par le nombre total d’issues de Ω.
• Dans le cas équiprobable, P(A) = nombre d'issues réalisant A / nombre total d'issues.
• Univers des possibilités Chacun des événements d’une expérience aléatoire est une issue de l’expérience.
• La probabilité pi est un nombre compris entre 0 et 1.

💡 À retenir

Dans le cas équiprobable, la probabilité d’un événement A est le nombre d’issues réalisant A divisé par le nombre total d’issues de Ω.

🧩 Compléments de couverture

1. Détail source à réviser : Page 1 --- SYNTHESE : Fréquences et probabilités conditionnelles Tableaux croisés On peut utiliser des tableaux croisés pour rassembler les données concernant deux caractères. | | A | Ā | p(B) | |-------|-------------|-- (Source: "Page 1 --- SYNTHESE : Fréquences et probabilités conditionnelles Tableaux croisés On peut utiliser des tableaux croisés pour rassembler les données concernant deux caractères. | | A | Ā | p(B) | |-------|-------------|-------------|------------| | B | p(A ∩ B) | p(Ā ∩ B) | p(B) | | B̅ | p(A ∩ B̅) | p(Ā ∩ B̅) | p(B̅) | | | p(A) | p(Ā) | 1 | | | A | Ā |")
2. Détail source à réviser : | B | p(A ∩ B) | p(Ā ∩ B) | p(B) | | B̅ | p(A ∩ B̅) | p(Ā ∩ B̅) | p(B̅) | | | p(A) | p(Ā) | 1 | | | A | Ā | p(B) | |-------|-------------|-------------|------------| | B | p(A ∪ B) | | p(B) | | B̅ | | | p(B̅) | | | p(A) (Source: "| B | p(A ∩ B) | p(Ā ∩ B) | p(B) | | B̅ | p(A ∩ B̅) | p(Ā ∩ B̅) | p(B̅) | | | p(A) | p(Ā) | 1 | | | A | Ā | p(B) | |-------|-------------|-------------|------------| | B | p(A ∪ B) | | p(B) | | B̅ | | | p(B̅) | | | p(A) | p(Ā) | 1 | Fréquences et probabilités conditionnelles Lors d'une situation recensant plusieurs événements, la")
3. Détail source à réviser : situation recensant plusieurs événements, la fréquence conditionnelle de l'événement B sachant que A est réalisé, est notée f_A(B) et est telle que f_A(B) = Nombre de cas réalisant à la fois A et B / Nombre de cas total (Source: "situation recensant plusieurs événements, la fréquence conditionnelle de l'événement B sachant que A est réalisé, est notée f_A(B) et est telle que f_A(B) = Nombre de cas réalisant à la fois A et B / Nombre de cas total de A Soit A et B deux événements d'une expérience aléatoire d'univers Ω, de probabilités non nulles. La probabilité de réalisation de B")
4. Détail source à réviser : nulles. La probabilité de réalisation de B sachant que A est réalisé est notée P_A(B) et on a : P_A(B) = p(A ∩ B) / p(A) P_A(B) se lit « probabilité de B sachant A ». Il faut bien distinguer que « A et B » n'est pas la m (Source: "nulles. La probabilité de réalisation de B sachant que A est réalisé est notée P_A(B) et on a : P_A(B) = p(A ∩ B) / p(A) P_A(B) se lit « probabilité de B sachant A ». Il faut bien distinguer que « A et B » n'est pas la même chose que « B sachant A ». --- Page 2 --- Calcul des probabilités conditionnelles Activité : Quelles sont les caractéristiques d'une")
5. Détail source à réviser : : Quelles sont les caractéristiques d'une coque de portable ? La société Coquort est spécialisée dans la fabrication de coques de protection pour téléphones portables. La chaîne de fabrication où travaille Lyo produit de (Source: ": Quelles sont les caractéristiques d'une coque de portable ? La société Coquort est spécialisée dans la fabrication de coques de protection pour téléphones portables. La chaîne de fabrication où travaille Lyo produit deux modèles de coques qui peuvent être de couleur noire, rouge ou bleue. - 25 % des coques sont du modèle 1, - 30 % des coques sont en")
6. Détail source à réviser : du modèle 1, - 30 % des coques sont en rouge et parmi elle, 10 % sont du modèle 1, - la moitié des coques sont noires et parmi elles, 20 % sont du modèle 1. 1) En utilisant les renseignements précédents, compléter le tab (Source: "du modèle 1, - 30 % des coques sont en rouge et parmi elle, 10 % sont du modèle 1, - la moitié des coques sont noires et parmi elles, 20 % sont du modèle 1. 1) En utilisant les renseignements précédents, compléter le tableau croisé d'effectifs correspondant à une fabrication de 500 coques. | Modèle | Couleur de la coque | Noire | Rouge | Bleue | TOTAL |")
7. Détail source à réviser : de la coque | Noire | Rouge | Bleue | TOTAL | |----------|---------------------|-------|-------|-------|-------| | Modèle 1 | | 50 | 15 | 60 | 125 | | Modèle 2 | | 200 | 135 | 40 | 375 | | TOTAL | | 250 | 150 | 100 | 500 (Source: "de la coque | Noire | Rouge | Bleue | TOTAL | |----------|---------------------|-------|-------|-------|-------| | Modèle 1 | | 50 | 15 | 60 | 125 | | Modèle 2 | | 200 | 135 | 40 | 375 | | TOTAL | | 250 | 150 | 100 | 500 | 2) Pour contrôler la fabrication, Lyo prend au hasard une coque sur les 500 fabriquées. Déterminer la probabilité des événements")
8. Détail source à réviser : la probabilité des événements suivants : ✓ A : « La coque est du modèle 1 » p(A) = 125/500 = 0,25 ✓ Ā : « La coque est du modèle 2 » p(Ā) = 375/500 = 0,75 / p(Ā) = 1 - p(A) = 1 - 0,25 = 0,75 ✓ B : « La coque est de coule (Source: "la probabilité des événements suivants : ✓ A : « La coque est du modèle 1 » p(A) = 125/500 = 0,25 ✓ Ā : « La coque est du modèle 2 » p(Ā) = 375/500 = 0,75 / p(Ā) = 1 - p(A) = 1 - 0,25 = 0,75 ✓ B : « La coque est de couleur bleue » p(B) = 100/500 = 0,2 ✓ A ∩ B : « La coque est du modèle 1 et de couleur bleue » p(A ∩ B) = 60/500 = 0,12 3) Lyo fait")
9. Détail source à réviser : bleue » p(A ∩ B) = 60/500 = 0,12 3) Lyo fait un test suivant le modèle de coque. Déterminer la probabilité pour que : a) une coque de modèle 1 soit bleue : p_A(B) = 60/125 = 0,48 b) une coque de modèle 2 soit noire : p_Ā (Source: "bleue » p(A ∩ B) = 60/500 = 0,12 3) Lyo fait un test suivant le modèle de coque. Déterminer la probabilité pour que : a) une coque de modèle 1 soit bleue : p_A(B) = 60/125 = 0,48 b) une coque de modèle 2 soit noire : p_Ā(B) = 40/375 ≈ 0,11 4) Le responsable de la fabrication estime que la probabilité qu'une coque bleue soit de modèle 1 est de 60 %. Pour")
10. Détail source à réviser : bleue soit de modèle 1 est de 60 %. Pour vérifier cette information, donner la valeur de cette probabilité conditionnelle notée p_B(A) : [Texte illisible] --- Page 3 --- Calcul des fréquences conditionnelles Activité : Q (Source: "bleue soit de modèle 1 est de 60 %. Pour vérifier cette information, donner la valeur de cette probabilité conditionnelle notée p_B(A) : [Texte illisible] --- Page 3 --- Calcul des fréquences conditionnelles Activité : Quelle est l'efficacité de la vaccination ? Une épidémie de grippe s'est déclarée au cours de l'hiver. Au printemps l'infirmière du lycée")
11. Détail source à réviser : l'hiver. Au printemps l'infirmière du lycée veut vérifier la campagne de vaccination faite en début d'année scolaire. Pour cela elle fait une enquête auprès des 1500 élèves de l'établissement. D'après les résultats obten (Source: "l'hiver. Au printemps l'infirmière du lycée veut vérifier la campagne de vaccination faite en début d'année scolaire. Pour cela elle fait une enquête auprès des 1500 élèves de l'établissement. D'après les résultats obtenus : - 450 élèves ont été vaccinés ; - 10 % des élèves du lycée ont eu la grippe. - seulement 2 % des élèves vaccinés ont eu la grippe.")
12. Détail source à réviser : 2 % des élèves vaccinés ont eu la grippe. 1) Présenter les résultats de cette enquête en complétant le tableau croisé des effectifs suivant : | Nombre d'élèves vaccinés | Nombre d'élèves non vaccinés | TOTAL | |--------- (Source: "2 % des élèves vaccinés ont eu la grippe. 1) Présenter les résultats de cette enquête en complétant le tableau croisé des effectifs suivant : | Nombre d'élèves vaccinés | Nombre d'élèves non vaccinés | TOTAL | |--------------------------|------------------------------|-------| | 9 | 141 | 150 | | 441 | 909 | 1350 | | 450 | 1050 | 1500 | 2) Exprimer en")
13. Détail source à réviser : | | 450 | 1050 | 1500 | 2) Exprimer en pourcentage d'effectif total : - la fréquence des élèves vaccinés : 30 % → 450/1500 x 100 - la fréquence des élèves ayant eu la grippe : 10 % → 150/1500 x 100 3) En suivant la ligne (Source: "| | 450 | 1050 | 1500 | 2) Exprimer en pourcentage d'effectif total : - la fréquence des élèves vaccinés : 30 % → 450/1500 x 100 - la fréquence des élèves ayant eu la grippe : 10 % → 150/1500 x 100 3) En suivant la ligne des élèves ayant eu la grippe : a) Calculer la fréquence conditionnelle des élèves vaccinés sachant qu'ils ont eu la grippe : 9/150 =")
14. Détail source à réviser : sachant qu'ils ont eu la grippe : 9/150 = 0,06 / 6 % des élèves ayant eu la grippe étaient vaccinés. b) Compléter la ligne des fréquences conditionnelles par rapport aux élèves ayant eu la grippe : | Nombre d'élèves vacc (Source: "sachant qu'ils ont eu la grippe : 9/150 = 0,06 / 6 % des élèves ayant eu la grippe étaient vaccinés. b) Compléter la ligne des fréquences conditionnelles par rapport aux élèves ayant eu la grippe : | Nombre d'élèves vaccinés | Nombre d'élèves non vaccinés | TOTAL | |--------------------------|------------------------------|-------| | 0,06 | 0,94 | 1 |")
15. Détail source à réviser : | 0,06 | 0,94 | 1 | 4) L'infirmière estime que le pourcentage d'élèves non vaccinés ayant eu la grippe est supérieur à 10 %. a) Suivant la colonne « élèves non vaccinés », calculer la fréquence conditionnelle des élèves (Source: "| 0,06 | 0,94 | 1 | 4) L'infirmière estime que le pourcentage d'élèves non vaccinés ayant eu la grippe est supérieur à 10 %. a) Suivant la colonne « élèves non vaccinés », calculer la fréquence conditionnelle des élèves ayant eu la grippe sachant qu'ils sont non vaccinés : 141/1050 ≈ 0,13 b) En déduire si l'estimation de")
16. Détail source à réviser : b) En déduire si l'estimation de l'infirmière est exacte. Avec 13 % d'élèves grippés chez les non vaccinés, l'infirmière ne s'était donc pas trompée. --- Page 4 --- Tableaux croisés Activité 1 : Comment représenter la ré (Source: "b) En déduire si l'estimation de l'infirmière est exacte. Avec 13 % d'élèves grippés chez les non vaccinés, l'infirmière ne s'était donc pas trompée. --- Page 4 --- Tableaux croisés Activité 1 : Comment représenter la répartition des salariés de l'entreprise ? Lyo effectue son stage dans une entreprise de 40 salariés : 8 travaillent au service")
17. Détail source à réviser : : 8 travaillent au service administratif et 32 dans les ateliers. Pour illustrer son rapport de stage, il réalise le diagramme ci-contre, ou chaque croix représente un salarié de l'entreprise. Partie A : Répartition des (Source: ": 8 travaillent au service administratif et 32 dans les ateliers. Pour illustrer son rapport de stage, il réalise le diagramme ci-contre, ou chaque croix représente un salarié de l'entreprise. Partie A : Répartition des salariés 1) L'événement A est défini par : « Le salarié est une femme ». Définir par une phrase l'événement Ā. Ā : "Le salarié")
18. Détail source à réviser : une phrase l'événement Ā. Ā : "Le salarié n'est pas femme" 2) Soit l'événement B : « le salarié travaille au service administratif ». Définir par une phrase B. B : "Le salarié ne travaille pas au service administratif" 3 (Source: "une phrase l'événement Ā. Ā : "Le salarié n'est pas femme" 2) Soit l'événement B : « le salarié travaille au service administratif ». Définir par une phrase B. B : "Le salarié ne travaille pas au service administratif" 3) Définir par une phrase l'événement : A ∩ B et A ∪ B A ∩ B : "Le salarié est une femme et travaillant au service administratif" A ∪ B :")
19. Détail source à réviser : au service administratif" A ∪ B : "Le salarié est une femme ou travaille au service administratif (ou est un autre)" 4) Son tuteur conseille à Lyo de présenter la répartition des salariés sous forme d'un tableau croisé d (Source: "au service administratif" A ∪ B : "Le salarié est une femme ou travaille au service administratif (ou est un autre)" 4) Son tuteur conseille à Lyo de présenter la répartition des salariés sous forme d'un tableau croisé d'effectifs. Compléter le tableau suivant en utilisant l'énoncé et le diagramme fait par Lyo : | | Nombre de femmes A | Nombre")
20. Détail source à réviser : par Lyo : | | Nombre de femmes A | Nombre d'hommes Ā | TOTAL | |-------------------------|--------------------|-------------------|-------| | Nombre de salariés du service administratif B | 5 | 3 | 8 | | Nombre de salari (Source: "par Lyo : | | Nombre de femmes A | Nombre d'hommes Ā | TOTAL | |-------------------------|--------------------|-------------------|-------| | Nombre de salariés du service administratif B | 5 | 3 | 8 | | Nombre de salariés de l'atelier B̅ | 7 | 25 | 32 | | TOTAL | 12 | 28 | 40 | 3) A ∪ B : "Le salarié est une femme ou travaille au service administratif (ou")
21. Détail source à réviser : ou travaille au service administratif (ou est un autre)" Partie B : la répartition de la production Une entreprise possède deux chaînes de fabrication. Elle réalise des pièces pour l'automobile et l'aéronautique. Les piè (Source: "ou travaille au service administratif (ou est un autre)" Partie B : la répartition de la production Une entreprise possède deux chaînes de fabrication. Elle réalise des pièces pour l'automobile et l'aéronautique. Les pièces fabriquées sont en aluminium ou en acier. Durant la semaine, l'entreprise fabrique 2500 pièces dont 1875 sont en acier. La chaîne")
22. Détail source à réviser : pièces dont 1875 sont en acier. La chaîne 1 produit 1300 pièces dont 500 en aluminium. Présenter la répartition de cette fabrication dans le tableau croisé : | | Chaîne 1 | Chaîne 2 | TOTAL | |-------------------------|- (Source: "pièces dont 1875 sont en acier. La chaîne 1 produit 1300 pièces dont 500 en aluminium. Présenter la répartition de cette fabrication dans le tableau croisé : | | Chaîne 1 | Chaîne 2 | TOTAL | |-------------------------|----------|----------|-------| | Nombre de pièces en aluminium | 500 | 125 | 625 | | Nombre de pièces en acier | 800 | 1075 | 1875 | |")
23. Détail source à réviser : de pièces en acier | 800 | 1075 | 1875 | | TOTAL | 1300 | 1200 | 2500 | PROBABILITÉS Page 7 --- Page 5 --- SYNTHESE : OPERATIONS SUR LES EVENEMENTS 1. Événements contraires L'événement contraire d'un événement A est noté (Source: "de pièces en acier | 800 | 1075 | 1875 | | TOTAL | 1300 | 1200 | 2500 | PROBABILITÉS Page 7 --- Page 5 --- SYNTHESE : OPERATIONS SUR LES EVENEMENTS 1. Événements contraires L'événement contraire d'un événement A est noté A (ils n'ont aucun événement élémentaire commun). On a alors : p(A) = 1 - p(A) 2. Intersection d'événements L'intersection de deux")
24. Détail source à réviser : d'événements L'intersection de deux événements A et B est l'événement qui réalise simultanément l'événement A et l'événement B. On note cette intersection A ∩ B (et on lit « A inter B » ou intersection des événements A e (Source: "d'événements L'intersection de deux événements A et B est l'événement qui réalise simultanément l'événement A et l'événement B. On note cette intersection A ∩ B (et on lit « A inter B » ou intersection des événements A et B). 3. Réunion d'événements La réunion de deux événements A et B est l'événement qui réalise l'événement A ou l'événement B. On note")
25. Détail source à réviser : l'événement A ou l'événement B. On note cette réunion A ∪ B (et on lit « A union B » ou la réunion des événements A et B). Dans ce cas, on a : p(A ∪ B) = p(A) + p(B) - p(A ∩ B) 4. Événements incompatibles Deux événements (Source: "l'événement A ou l'événement B. On note cette réunion A ∪ B (et on lit « A union B » ou la réunion des événements A et B). Dans ce cas, on a : p(A ∪ B) = p(A) + p(B) - p(A ∩ B) 4. Événements incompatibles Deux événements A et B sont incompatibles lorsqu'ils n'ont aucune chance de se produire simultanément. Exemple : les événements « obtenir pile » et")
26. Détail source à réviser : Exemple : les événements « obtenir pile » et « obtenir face » lors du jet d'une pièce de monnaie. Soient deux événements A et B incompatibles, la probabilité qu'un des événements au moins soit réalisé est notée p(A ∪ B) (Source: "Exemple : les événements « obtenir pile » et « obtenir face » lors du jet d'une pièce de monnaie. Soient deux événements A et B incompatibles, la probabilité qu'un des événements au moins soit réalisé est notée p(A ∪ B) : p(A ∪ B) = p(A) + p(B) Il va de soi que lorsque A et B sont incompatibles, p(A ∩ B) = 0. --- Page 6 --- Union et intersection")
27. Détail source à réviser : Page 6 --- Union et intersection d'événements On tire une carte dans un jeu de 32 cartes. L'univers est l'ensemble des 32 cartes du jeu. On s'intéresse aux événements : A : « la carte tirée est un as » B : « La carte tir (Source: "Page 6 --- Union et intersection d'événements On tire une carte dans un jeu de 32 cartes. L'univers est l'ensemble des 32 cartes du jeu. On s'intéresse aux événements : A : « la carte tirée est un as » B : « La carte tirée est un cœur » 1 Écrire A, sous forme d'ensemble et calculer p(A). A = {As ♠, As ♣, As de pique, As de trèfle, As ♦} p(A) = 4/32 →")
28. Détail source à réviser : pique, As de trèfle, As ♦} p(A) = 4/32 → 0,125 2 Écrire B, sous forme d'ensemble et calculer p(B). B = {7 ♥, 8 ♥, 9 ♥, 10 ♥, V ♥, D ♥, R ♥, As ♥} p(B) = 8/32 = 1/4 3 A ∩ B correspond à l'événement « la carte tirée est un (Source: "pique, As de trèfle, As ♦} p(A) = 4/32 → 0,125 2 Écrire B, sous forme d'ensemble et calculer p(B). B = {7 ♥, 8 ♥, 9 ♥, 10 ♥, V ♥, D ♥, R ♥, As ♥} p(B) = 8/32 = 1/4 3 A ∩ B correspond à l'événement « la carte tirée est un as de cœur » ; calculer p(A ∩ B). A ∩ B « A inter B » = l'intersection événements A et B p(A ∩ B) = 1/32 4 A ∪ B correspond à")
29. Détail source à réviser : ∩ B) = 1/32 4 A ∪ B correspond à l'événement « la carte tirée est un as ou un cœur » ; calculer p(A ∪ B). p(A ∪ B) = (4 + 8 - 1)/32 = 11/32 5 Calculer p(A) + p(B) - p(A ∩ B). p(A) + p(B) - p(A ∩ B) = 1/8 + 1/4 - 1/32 = 1 (Source: "∩ B) = 1/32 4 A ∪ B correspond à l'événement « la carte tirée est un as ou un cœur » ; calculer p(A ∪ B). p(A ∪ B) = (4 + 8 - 1)/32 = 11/32 5 Calculer p(A) + p(B) - p(A ∩ B). p(A) + p(B) - p(A ∩ B) = 1/8 + 1/4 - 1/32 = 11/32 6 Que remarque-t-on ? p(A ∪ B) = p(A) + p(B) - p(A ∩ B) --- Page 7 --- Probabilité d'un événement Première partie : On joue avec un")
30. Détail source à réviser : événement Première partie : On joue avec un dé cubique possédant 6 faces numérotées de 1 à 6. On lance le dé, supposé équilibré. 1 Chaque numéro de la face supérieure correspond à une issue. Donner la liste de tous les r (Source: "événement Première partie : On joue avec un dé cubique possédant 6 faces numérotées de 1 à 6. On lance le dé, supposé équilibré. 1 Chaque numéro de la face supérieure correspond à une issue. Donner la liste de tous les résultats possibles : 1, 2, 3, 4, 5 et 6 On notera alors l'univers (l'ensemble des issues (résultats possibles) : Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}")
31. Détail source à réviser : possibles) : Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} 2 Le dé étant supposé équilibré, quelle probabilité attribue-t-on à chacune des issues ? 1/6 = 0,167 3 On considère l'ÉVÉNEMENT A : « le numéro sorti est supérieur ou égal à 4 ». Écrir (Source: "possibles) : Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} 2 Le dé étant supposé équilibré, quelle probabilité attribue-t-on à chacune des issues ? 1/6 = 0,167 3 On considère l'ÉVÉNEMENT A : « le numéro sorti est supérieur ou égal à 4 ». Écrire A sous forme d'ensemble : A = {4, 5, 6} 4 On désigne par cas favorables à A, les éléments de A. Combien y-a-t-il de cas")
32. Détail source à réviser : éléments de A. Combien y-a-t-il de cas favorables ? 3 5 En situation d'équiprobabilité, la probabilité d'un événement A s'obtient par P(A) = nombre de cas réalisant A / nombre total de cas de l'expérience Deuxième partie (Source: "éléments de A. Combien y-a-t-il de cas favorables ? 3 5 En situation d'équiprobabilité, la probabilité d'un événement A s'obtient par P(A) = nombre de cas réalisant A / nombre total de cas de l'expérience Deuxième partie : On joue avec un dé régulier possédant 20 faces numérotées de 1 à 6. Il y a : 5 faces n°1 ; 5 faces n°2 ; 4 faces n°3 ; 3 faces n°4 ; 2")
33. Détail source à réviser : 5 faces n°2 ; 4 faces n°3 ; 3 faces n°4 ; 2 faces n°5 ; 1 face n°6 On lance le dé supposé équilibré. 1 L'ensemble des issues est : Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} 2 Compléter le tableau suivant : | Issue | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | (Source: "5 faces n°2 ; 4 faces n°3 ; 3 faces n°4 ; 2 faces n°5 ; 1 face n°6 On lance le dé supposé équilibré. 1 L'ensemble des issues est : Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} 2 Compléter le tableau suivant : | Issue | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | |-------------|----|-----|----|-----|----|-----| | Probabilité |0,25|0,25 |0,2 |0,15 |0,1 |0,05 | 3 Que remarque-t-on sur la somme des")
34. Détail source à réviser : | 3 Que remarque-t-on sur la somme des probabilités ? 0,25 + 0,25 + 0,2 + 0,15 + 0,1 + 0,05 = 1 (la somme des probabilités vaut 1 (100% des cas possibles)) 4 A-t-on équiprobabilité des six cas possibles ? Justifier. Non (Source: "| 3 Que remarque-t-on sur la somme des probabilités ? 0,25 + 0,25 + 0,2 + 0,15 + 0,1 + 0,05 = 1 (la somme des probabilités vaut 1 (100% des cas possibles)) 4 A-t-on équiprobabilité des six cas possibles ? Justifier. Non car par exemple on a 5 fois plus de chance de faire 1 que de faire 6. 5 On considère l'événement B : « le numéro sorti est pair ».")
35. Détail source à réviser : B : « le numéro sorti est pair ». Écrire B sous forme d'ensemble. B = {2, 4, 6} 6 La probabilité d'un événement est la somme des probabilités des issues qui le composent, calculer P(B). P(B) = p(2) + p(4) + p(6) P(B) = 0 (Source: "B : « le numéro sorti est pair ». Écrire B sous forme d'ensemble. B = {2, 4, 6} 6 La probabilité d'un événement est la somme des probabilités des issues qui le composent, calculer P(B). P(B) = p(2) + p(4) + p(6) P(B) = 0,25 + 0,15 + 0,05 = 0,45 --- Page 8 --- 1 Écrire A sous forme d'ensemble. A = {1, 3, 5} 2 Calculer p(A). p(A) = 3/6 = 0,5 = 1/2 3")
36. Détail source à réviser : 5} 2 Calculer p(A). p(A) = 3/6 = 0,5 = 1/2 3 Définir par une phrase A. A = « le numéro sorti est impair » 4 Écrire A sous forme d'ensemble. A = {0, 5, 1, 0, 2, 0} 5 Calculer p(A). p(A) = p(0) + p(5) + p(1) = 0,5 + 0,15 + (Source: "5} 2 Calculer p(A). p(A) = 3/6 = 0,5 = 1/2 3 Définir par une phrase A. A = « le numéro sorti est impair » 4 Écrire A sous forme d'ensemble. A = {0, 5, 1, 0, 2, 0} 5 Calculer p(A). p(A) = p(0) + p(5) + p(1) = 0,5 + 0,15 + 0,05 = 0,7 6 Quelle relation peut-on écrire entre p(A) et p(A) ? p(A) = 1 - p(A) PROBABILITÉS --- Page 9 --- Probabilités (3s) L’objectif")
37. Détail source à réviser : --- Page 9 --- Probabilités (3s) L’objectif de ce module est d’aborder la modélisation probabiliste dans le cas d’un univers fini en mobilisant un vocabulaire ensembliste. L’organisation de données, sous forme de tableau (Source: "--- Page 9 --- Probabilités (3s) L’objectif de ce module est d’aborder la modélisation probabiliste dans le cas d’un univers fini en mobilisant un vocabulaire ensembliste. L’organisation de données, sous forme de tableaux croisés d’effectifs ou de fréquences, et leur exploitation permettent d’interpréter diverses situations concrètes et de calculer des")
38. Détail source à réviser : situations concrètes et de calculer des probabilités. Capacités | Connaissances ---|--- Calculer la probabilité d’un événement par addition des probabilités d’événements élémentaires. | Probabilité d’un événement dans un (Source: "situations concrètes et de calculer des probabilités. Capacités | Connaissances ---|--- Calculer la probabilité d’un événement par addition des probabilités d’événements élémentaires. | Probabilité d’un événement dans un univers fini ; événements élémentaires équiprobables ; événements élémentaires non équiprobables. Calculer la probabilité de : - un")
39. Détail source à réviser : Calculer la probabilité de : - un événement contraire ; - la réunion d’événements incompatibles. | Événements incompatibles, événements contraires. Probabilité de l’événement contraire A d’un événement A. Compléter ou ex (Source: "Calculer la probabilité de : - un événement contraire ; - la réunion d’événements incompatibles. | Événements incompatibles, événements contraires. Probabilité de l’événement contraire A d’un événement A. Compléter ou exploiter des représentations : tableaux croisés d’effectifs, diagrammes. | Réunion et intersection d’événements. Calculer la")
40. Détail source à réviser : intersection d’événements. Calculer la probabilité de la réunion, de l’intersection de deux événements. Utiliser la relation entre la probabilité de A U B et de A ∩ B. | Probabilité de la réunion, de l’intersection de de (Source: "intersection d’événements. Calculer la probabilité de la réunion, de l’intersection de deux événements. Utiliser la relation entre la probabilité de A U B et de A ∩ B. | Probabilité de la réunion, de l’intersection de deux événements. P(A U B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B) Calculer des fréquences conditionnelles à partir de tableaux croisés d’effectifs. |")
41. Détail source à réviser : partir de tableaux croisés d’effectifs. | Fréquence conditionnelle. Déterminer une probabilité conditionnelle. | Probabilité conditionnelle. Définition : PA(B) = P(A∩B) / P(A) où A et B sont deux événements, avec P(A) ≠ (Source: "partir de tableaux croisés d’effectifs. | Fréquence conditionnelle. Déterminer une probabilité conditionnelle. | Probabilité conditionnelle. Définition : PA(B) = P(A∩B) / P(A) où A et B sont deux événements, avec P(A) ≠ 0. Commentaires : On utilise le contenu du module vocabulaire ensembliste et logique, notamment pour traduire en langage probabiliste un")
42. Détail source à réviser : pour traduire en langage probabiliste un événement donné en langage courant et réciproquement. La représentation à l’aide d’un arbre de probabilités pondéré et la formule des probabilités totales ne relèvent pas du progr (Source: "pour traduire en langage probabiliste un événement donné en langage courant et réciproquement. La représentation à l’aide d’un arbre de probabilités pondéré et la formule des probabilités totales ne relèvent pas du programme de la classe de première et seront abordées en classe terminale. Les probabilités conditionnelles seront introduites avec des")
43. Détail source à réviser : seront introduites avec des situations probabilistes pouvant se ramener à des tableaux d’effectifs ou de fréquences et le lien sera fait avec les fréquences conditionnelles. PROBABILITÉS --- Page 11 --- SYNTHESE VOCABULA (Source: "seront introduites avec des situations probabilistes pouvant se ramener à des tableaux d’effectifs ou de fréquences et le lien sera fait avec les fréquences conditionnelles. PROBABILITÉS --- Page 11 --- SYNTHESE VOCABULAIRE Expérience aléatoire Une expérience est dite aléatoire lorsqu’elle a plusieurs résultats possibles et qu’on ne peut pas")
44. Détail source à réviser : résultats possibles et qu’on ne peut pas savoir lequel sera obtenu. Univers des possibilités Chacun des événements d’une expérience aléatoire est une issue de l’expérience. Exemples : • « On lance une pièce de monnaie éq (Source: "résultats possibles et qu’on ne peut pas savoir lequel sera obtenu. Univers des possibilités Chacun des événements d’une expérience aléatoire est une issue de l’expérience. Exemples : • « On lance une pièce de monnaie équilibrée et on regarde sa face supérieure ». Cette expérience admet 2 issues : pile et face. L’univers des possibles est l’ensemble des")
45. Détail source à réviser : L’univers des possibles est l’ensemble des issues (résultats d’une expérience aléatoire). On le note Ω. Exemples : • Pour le jeu de pile ou face avec une pièce de monnaie : Ω = {Pile ; Face} • Pour le jeu de dé classique (Source: "L’univers des possibles est l’ensemble des issues (résultats d’une expérience aléatoire). On le note Ω. Exemples : • Pour le jeu de pile ou face avec une pièce de monnaie : Ω = {Pile ; Face} • Pour le jeu de dé classique : Ω = {1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6} Événement Un événement A est une partie de l’ensemble Ω. Un événement élémentaire est une partie de")
46. Détail source à réviser : événement élémentaire est une partie de l’univers constituée d’un seul élément. Exemple : Pour le jeu de dés : Ω = {1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6}. Soient les événements A « obtenir 3 » et B « obtenir un chiffre pair ». On a alo (Source: "événement élémentaire est une partie de l’univers constituée d’un seul élément. Exemple : Pour le jeu de dés : Ω = {1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6}. Soient les événements A « obtenir 3 » et B « obtenir un chiffre pair ». On a alors A = {3} et B = {2 ; 4 ; 6}. A est un événement élémentaire alors que B non. Probabilité d’un événement À chaque issue xi de l’univers Ω")
47. Détail source à réviser : événement À chaque issue xi de l’univers Ω = {x1, x2, ..., xn}, on attribue une probabilité pi. La probabilité pi est un nombre compris entre 0 et 1. Si pi = 1 alors l’événement est certain, c’est un événement toujours r (Source: "événement À chaque issue xi de l’univers Ω = {x1, x2, ..., xn}, on attribue une probabilité pi. La probabilité pi est un nombre compris entre 0 et 1. Si pi = 1 alors l’événement est certain, c’est un événement toujours réalisé. Si pi = 0 alors l’événement est pas possible, c’est un événement jamais réalisé. Si pi = 0,5 alors on a une « chance » sur deux")
48. Détail source à réviser : Si pi = 0,5 alors on a une « chance » sur deux que l’événement se réalise. Remarque : Soit un événement A, faisant partie de l’univers, dont les événements élémentaires ont tous la même probabilité (on dit qu’ils sont éq (Source: "Si pi = 0,5 alors on a une « chance » sur deux que l’événement se réalise. Remarque : Soit un événement A, faisant partie de l’univers, dont les événements élémentaires ont tous la même probabilité (on dit qu’ils sont équiprobables), on a alors : Le calcul de la probabilité d’un événement A est : P(A) = nombre d’événements élémentaires réalisant A / nombre")
49. Détail source à réviser : | | A | Ā | p(B) | |-------|-------------|-------------|------------| | B | p(A ∩ B) | p(Ā ∩ B) | p(B) | | B̅ | p(A ∩ B̅) | p(Ā ∩ B̅) | p(B̅) | | | p(A) | p(Ā) | 1 | | | A | Ā | p(B) | |-------|-------------|------------ (Source: "| | A | Ā | p(B) | |-------|-------------|-------------|------------| | B | p(A ∩ B) | p(Ā ∩ B) | p(B) | | B̅ | p(A ∩ B̅) | p(Ā ∩ B̅) | p(B̅) | | | p(A) | p(Ā) | 1 | | | A | Ā | p(B) | |-------|-------------|-------------|------------| | B | p(A ∪ B) | | p(B) | | B̅ | | | p(B̅) | | | p(A) | p(Ā) | 1 | Fréquences et probabilités conditionnelles Lors d'une...")
50. Détail source à réviser : lité de B sachant A ». Il faut bien distinguer que « A et B » n'est pas la même chose que « B sachant A ». --- Page 2 --- Calcul des probabilités conditionnelles Activité : Quelles sont les caractéristiques d'une coque d (Source: "lité de B sachant A ». Il faut bien distinguer que « A et B » n'est pas la même chose que « B sachant A ». --- Page 2 --- Calcul des probabilités conditionnelles Activité : Quelles sont les caractéristiques d'une coque de portable ? La société Coquort est spécialis")
51. Détail source à réviser : 1. 1) En utilisant les renseignements précédents, compléter le tableau croisé d'effectifs correspondant à une fabrication de 500 coques (Source: "1. 1) En utilisant les renseignements précédents, compléter le tableau croisé d'effectifs correspondant à une fabrication de 500 coques")
52. Détail source à réviser : e est du modèle 1 » p(A) = 125/500 = 0,25 ✓ Ā : « La coque est du modèle 2 » p(Ā) = 375/500 = 0,75 / p(Ā) = 1 - p(A) = 1 - 0,25 = 0,75 ✓ B : « La coque est de couleur bleue » p(B) = 100/500 = 0,2 ✓ A ∩ B : « La coque est (Source: "e est du modèle 1 » p(A) = 125/500 = 0,25 ✓ Ā : « La coque est du modèle 2 » p(Ā) = 375/500 = 0,75 / p(Ā) = 1 - p(A) = 1 - 0,25 = 0,75 ✓ B : « La coque est de couleur bleue » p(B) = 100/500 = 0,2 ✓ A ∩ B : « La coque est du modèle 1 et de couleur bleue » p(A ∩ B) = 60/500 = 0,12 3) Lyo fait un test suivant le modèle de coque. Déterminer la probabilité pou...")
53. Détail source à réviser : a) une coque de modèle 1 soit bleue : p_A(B) = 60/125 = 0,48 b) une coque de modèle 2 soit noire : p_Ā(B) = 40/375 ≈ 0,11 4) Le responsable de la fabrication estime que la probabilité qu'une coque bleue soit de modèle 1 (Source: "a) une coque de modèle 1 soit bleue : p_A(B) = 60/125 = 0,48 b) une coque de modèle 2 soit noire : p_Ā(B) = 40/375 ≈ 0,11 4) Le responsable de la fabrication estime que la probabilité qu'une coque bleue soit de modèle 1 est de 60 %")
54. Détail source à réviser : ----------------|-------| | 9 | 141 | 150 | | 441 | 909 | 1350 | | 450 | 1050 | 1500 | 2) Exprimer en pourcentage d'effectif total : - la fréquence des élèves vaccinés : 30 % → 450/1500 x 100 - la fréquence des élèves ay (Source: "----------------|-------| | 9 | 141 | 150 | | 441 | 909 | 1350 | | 450 | 1050 | 1500 | 2) Exprimer en pourcentage d'effectif total : - la fréquence des élèves vaccinés : 30 % → 450/1500 x 100 - la fréquence des élèves ayant eu la grippe : 10 % → 150/1500 x 100 3) En suivant la ligne des élèves ayant eu la grippe : a) Calculer la fréquence conditionnelle d...")
55. Détail source à réviser : 3) En suivant la ligne des élèves ayant eu la grippe : a) Calculer la fréquence conditionnelle des élèves vaccinés sachant qu'ils ont eu la grippe : 9/150 = 0,06 / 6 % des élèves ayant eu la grippe étaient vaccinés (Source: "3) En suivant la ligne des élèves ayant eu la grippe : a) Calculer la fréquence conditionnelle des élèves vaccinés sachant qu'ils ont eu la grippe : 9/150 = 0,06 / 6 % des élèves ayant eu la grippe étaient vaccinés")
56. Détail source à réviser : a) Suivant la colonne « élèves non vaccinés », calculer la fréquence conditionnelle des élèves ayant eu la grippe sachant qu'ils sont non vaccinés : 141/1050 ≈ 0,13 b) En déduire si l'estimation de l'infirmière est exact (Source: "a) Suivant la colonne « élèves non vaccinés », calculer la fréquence conditionnelle des élèves ayant eu la grippe sachant qu'ils sont non vaccinés : 141/1050 ≈ 0,13 b) En déduire si l'estimation de l'infirmière est exacte")
57. Détail source à réviser : 1) L'événement A est défini par : « Le salarié est une femme » (Source: "1) L'événement A est défini par : « Le salarié est une femme »")
58. Détail source à réviser : 3) A ∪ B : "Le salarié est une femme ou travaille au service administratif (ou est un autre)" Partie B : la répartition de la production Une entreprise possède deux chaînes de fabrication (Source: "3) A ∪ B : "Le salarié est une femme ou travaille au service administratif (ou est un autre)" Partie B : la répartition de la production Une entreprise possède deux chaînes de fabrication")
59. Détail source à réviser : 1875 | | TOTAL | 1300 | 1200 | 2500 | PROBABILITÉS Page 7 --- Page 5 --- SYNTHESE : OPERATIONS SUR LES EVENEMENTS 1 (Source: "1875 | | TOTAL | 1300 | 1200 | 2500 | PROBABILITÉS Page 7 --- Page 5 --- SYNTHESE : OPERATIONS SUR LES EVENEMENTS 1")
60. Détail source à réviser : 1. Événements contraires L'événement contraire d'un événement A est noté A (ils n'ont aucun événement élémentaire commun) (Source: "1. Événements contraires L'événement contraire d'un événement A est noté A (ils n'ont aucun événement élémentaire commun)")
61. Détail source à réviser : Soient deux événements A et B incompatibles, la probabilité qu'un des événements au moins soit réalisé est notée p(A ∪ B) : p(A ∪ B) = p(A) + p(B) Il va de soi que lorsque A et B sont incompatibles, p(A ∩ B) = 0. --- Pag (Source: "Soient deux événements A et B incompatibles, la probabilité qu'un des événements au moins soit réalisé est notée p(A ∪ B) : p(A ∪ B) = p(A) + p(B) Il va de soi que lorsque A et B sont incompatibles, p(A ∩ B) = 0. --- Page 6 --- Union et intersection d'événements On tire une carte dans un jeu de 32 cartes. L'univers est l'ensemble des 32 cartes du jeu. On...")
62. Détail source à réviser : B) = 1/32 4 A ∪ B correspond à l'événement « la carte tirée est un as ou un cœur » ; calculer p(A ∪ B) (Source: "B) = 1/32 4 A ∪ B correspond à l'événement « la carte tirée est un as ou un cœur » ; calculer p(A ∪ B)")
63. Détail source à réviser : p(A ∪ B) = p(A) + p(B) - p(A ∩ B) --- Page 7 --- Probabilité d'un événement Première partie : On joue avec un dé cubique possédant 6 faces numérotées de 1 à 6. On lance le dé, supposé équilibré. 1 Chaque numéro de la fac (Source: "p(A ∪ B) = p(A) + p(B) - p(A ∩ B) --- Page 7 --- Probabilité d'un événement Première partie : On joue avec un dé cubique possédant 6 faces numérotées de 1 à 6. On lance le dé, supposé équilibré. 1 Chaque numéro de la face supérieure correspond à une issue. Donner la liste de tous les résultats possibles : 1, 2, 3, 4, 5 et 6 On notera alors l'univers (l'en...")
64. Détail source à réviser : 6. Il y a : 5 faces n°1 ; 5 faces n°2 ; 4 faces n°3 ; 3 faces n°4 ; 2 faces n°5 ; 1 face n°6 On lance le dé supposé équilibré (Source: "6. Il y a : 5 faces n°1 ; 5 faces n°2 ; 4 faces n°3 ; 3 faces n°4 ; 2 faces n°5 ; 1 face n°6 On lance le dé supposé équilibré")
65. Détail source à réviser : 6. 5 On considère l'événement B : « le numéro sorti est pair » (Source: "6. 5 On considère l'événement B : « le numéro sorti est pair »")
66. Détail source à réviser : A. A = « le numéro sorti est impair » 4 Écrire A sous forme d'ensemble (Source: "A. A = « le numéro sorti est impair » 4 Écrire A sous forme d'ensemble")
67. Détail source à réviser : Capacités | Connaissances ---|--- Calculer la probabilité d’un événement par addition des probabilités d’événements élémentaires (Source: "Capacités | Connaissances ---|--- Calculer la probabilité d’un événement par addition des probabilités d’événements élémentaires")
68. Détail source à réviser : A. Compléter ou exploiter des représentations : tableaux croisés d’effectifs, diagrammes (Source: "A. Compléter ou exploiter des représentations : tableaux croisés d’effectifs, diagrammes")
69. Détail source à réviser : 0. Commentaires : On utilise le contenu du module vocabulaire ensembliste et logique, notamment pour traduire en langage probabiliste un événement donné en langage courant et réciproquement (Source: "0. Commentaires : On utilise le contenu du module vocabulaire ensembliste et logique, notamment pour traduire en langage probabiliste un événement donné en langage courant et réciproquement")
70. Détail source à réviser : cun des événements d’une expérience aléatoire est une issue de l’expérience. Exemples : • « On lance une pièce de monnaie équilibrée et on regarde sa face supérieure ». Cette expérience admet 2 issues : pile et face. L’u (Source: "cun des événements d’une expérience aléatoire est une issue de l’expérience. Exemples : • « On lance une pièce de monnaie équilibrée et on regarde sa face supérieure ». Cette expérience admet 2 issues : pile et face. L’univers des possibles est l’ensemble des issues (résultats d’une expérience aléatoire). On le note Ω. Exempl")
71. Détail source à réviser : ment. Exemple : Pour le jeu de dés : Ω = {1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6}. Soient les événements A « obtenir 3 » et B « obtenir un chiffre pair ». On a alors A = {3} et B = {2 ; 4 ; 6}. A est un événement élémentaire alors que B (Source: "ment. Exemple : Pour le jeu de dés : Ω = {1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6}. Soient les événements A « obtenir 3 » et B « obtenir un chiffre pair ». On a alors A = {3} et B = {2 ; 4 ; 6}. A est un événement élémentaire alors que B non. Probabilité d’un événement À chaque is")
72. Détail source à réviser : 1. Si pi = 1 alors l’événement est certain, c’est un événement toujours réalisé (Source: "1. Si pi = 1 alors l’événement est certain, c’est un événement toujours réalisé")
73. Détail source à réviser : 1500 | 2) Exprimer en pourcentage d'effectif total : - la fréquence des élèves vaccinés : 30 % → 450/1500 x 100 - la fréquence des élèves ayant eu la grippe : 10 % → 150/1500 x 100 3) En suivant la ligne des élèves ayant (Source: "1500 | 2) Exprimer en pourcentage d'effectif total : - la fréquence des élèves vaccinés : 30 % → 450/1500 x 100 - la fréquence des élèves ayant eu la grippe : 10 % → 150/1500 x 100 3) En suivant la ligne des élèves ayant eu la grippe : a) Calculer la fréquence conditionnelle des élèves vaccinés sachant")
74. Détail source à réviser : 1) Présenter les résultats de cette enquête en complétant le tableau croisé des effectifs suivant : | Nombre d'élèves vaccinés | Nombre d'élèves non vaccinés | TOTAL | |--------------------------|------------------------ (Source: "1) Présenter les résultats de cette enquête en complétant le tableau croisé des effectifs suivant : | Nombre d'élèves vaccinés | Nombre d'élèves non vaccinés | TOTAL | |--------------------------|------------------------------|-------| | 9 | 141 | 150 | | 441 | 909 | 1350 | | 450 | 1050 | 1500 | 2) Exprimer en pourcentage d'effectif total : - la fréquence...")
75. Détail source à réviser : Déterminer la probabilité pour que : a) une coque de modèle 1 soit bleue : p_A(B) = 60/125 = 0,48 b) une coque de modèle 2 soit noire : p_Ā(B) = 40/375 ≈ 0,11 4) Le responsable de la fabrication estime que la probabilité (Source: "Déterminer la probabilité pour que : a) une coque de modèle 1 soit bleue : p_A(B) = 60/125 = 0,48 b) une coque de modèle 2 soit noire : p_Ā(B) = 40/375 ≈ 0,11 4) Le responsable de la fabrication estime que la probabilité qu'une coque bleue soit de modèle 1 est de 60 %. Pour vérifier cette information, donner la valeur de cette probabilité conditionnelle n...")
76. Détail source à réviser : B) = p(A) + p(B) - p(A ∩ B) --- Page 7 --- Probabilité d'un événement Première partie : On joue avec un dé cubique possédant 6 faces numérotées de 1 à 6 (Source: "B) = p(A) + p(B) - p(A ∩ B) --- Page 7 --- Probabilité d'un événement Première partie : On joue avec un dé cubique possédant 6 faces numérotées de 1 à 6")
77. Détail source à réviser : B) : p(A ∪ B) = p(A) + p(B) Il va de soi que lorsque A et B sont incompatibles, p(A ∩ B) = 0 (Source: "B) : p(A ∪ B) = p(A) + p(B) Il va de soi que lorsque A et B sont incompatibles, p(A ∩ B) = 0")
78. Détail source à réviser : B) | p(Ā ∩ B) | p(B) | | B̅ | p(A ∩ B̅) | p(Ā ∩ B̅) | p(B̅) | | | p(A) | p(Ā) | 1 | | | A | Ā | p(B) | |-------|-------------|-------------|------------| | B | p(A ∪ B) | | p(B) | | B̅ | | | p(B̅) | | | p(A) | p(Ā) | 1 | (Source: "B) | p(Ā ∩ B) | p(B) | | B̅ | p(A ∩ B̅) | p(Ā ∩ B̅) | p(B̅) | | | p(A) | p(Ā) | 1 | | | A | Ā | p(B) | |-------|-------------|-------------|------------| | B | p(A ∪ B) | | p(B) | | B̅ | | | p(B̅) | | | p(A) | p(Ā) | 1 | Fréquences et probabilités conditionnelles Lors d'une situation recensant plusieurs événements, la fréquence conditionnelle de l'événeme...")
79. Détail source à réviser : b) Compléter la ligne des fréquences conditionnelles par rapport aux élèves ayant eu la grippe : | Nombre d'élèves vaccinés | Nombre d'élèves non vaccinés | TOTAL | |--------------------------|--------------------------- (Source: "b) Compléter la ligne des fréquences conditionnelles par rapport aux élèves ayant eu la grippe : | Nombre d'élèves vaccinés | Nombre d'élèves non vaccinés | TOTAL | |--------------------------|------------------------------|-------| | 0,06 | 0,94 | 1 | 4) L'infirmière estime que le pourcentage d'élèves non vaccinés ayant eu la grippe est supérieur à 10 %")
80. Détail source à réviser : 2) Soit l'événement B : « le salarié travaille au service administratif » (Source: "2) Soit l'événement B : « le salarié travaille au service administratif »")
81. Détail source à réviser : B. B : "Le salarié ne travaille pas au service administratif" 3) Définir par une phrase l'événement : A ∩ B et A ∪ B A ∩ B : "Le salarié est une femme et travaillant au service administratif" A ∪ B : "Le salarié est une (Source: "B. B : "Le salarié ne travaille pas au service administratif" 3) Définir par une phrase l'événement : A ∩ B et A ∪ B A ∩ B : "Le salarié est une femme et travaillant au service administratif" A ∪ B : "Le salarié est une femme ou travaille au service administratif (ou est un autre)" 4) Son tuteur conseille à Lyo de présenter la répartition des salariés sou...")
82. Détail source à réviser : B) = 60/500 = 0,12 3) Lyo fait un test suivant le modèle de coque (Source: "B) = 60/500 = 0,12 3) Lyo fait un test suivant le modèle de coque")
83. Détail source à réviser : B) = (4 + 8 - 1)/32 = 11/32 5 Calculer p(A) + p(B) - p(A ∩ B) (Source: "B) = (4 + 8 - 1)/32 = 11/32 5 Calculer p(A) + p(B) - p(A ∩ B)")
84. Détail source à réviser : B) = 1/8 + 1/4 - 1/32 = 11/32 6 Que remarque-t-on (Source: "B) = 1/8 + 1/4 - 1/32 = 11/32 6 Que remarque-t-on")
85. Détail source à réviser : A. Combien y-a-t-il de cas favorables (Source: "A. Combien y-a-t-il de cas favorables")
86. Détail source à réviser : obabilité attribue-t-on à chacune des issues ? 1/6 = 0,167 3 On considère l'ÉVÉNEMENT A : « le numéro sorti est supérieur ou égal à 4 ». Écrire A sous forme d'ensemble : A = {4, 5, 6} 4 On désigne par cas favorables à A, (Source: "obabilité attribue-t-on à chacune des issues ? 1/6 = 0,167 3 On considère l'ÉVÉNEMENT A : « le numéro sorti est supérieur ou égal à 4 ». Écrire A sous forme d'ensemble : A = {4, 5, 6} 4 On désigne par cas favorables à A, les éléments de A. Combien y-a-t-il de cas favorables ? 3 5 En situation d")
87. Détail source à réviser : 2) Exprimer en pourcentage d'effectif total : - la fréquence des élèves vaccinés : 30 % → 450/1500 x 100 - la fréquence des élèves ayant eu la grippe : 10 % → 150/1500 x 100 3) En suivant la ligne des élèves ayant eu la (Source: "2) Exprimer en pourcentage d'effectif total : - la fréquence des élèves vaccinés : 30 % → 450/1500 x 100 - la fréquence des élèves ayant eu la grippe : 10 % → 150/1500 x 100 3) En suivant la ligne des élèves ayant eu la grippe : a) Calculer la fréquence condition")
88. Détail source à réviser : 2. Intersection d'événements L'intersection de deux événements A et B est l'événement qui réalise simultanément l'événement A et l'événement B (Source: "2. Intersection d'événements L'intersection de deux événements A et B est l'événement qui réalise simultanément l'événement A et l'événement B")
89. Détail source à réviser : 3. Réunion d'événements La réunion de deux événements A et B est l'événement qui réalise l'événement A ou l'événement B (Source: "3. Réunion d'événements La réunion de deux événements A et B est l'événement qui réalise l'événement A ou l'événement B")
90. Détail source à réviser : 4. Événements incompatibles Deux événements A et B sont incompatibles lorsqu'ils n'ont aucune chance de se produire simultanément (Source: "4. Événements incompatibles Deux événements A et B sont incompatibles lorsqu'ils n'ont aucune chance de se produire simultanément")
91. Détail source à réviser : r le jeu de dés : Ω = {1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6}. Soient les événements A « obtenir 3 » et B « obtenir un chiffre pair ». On a alors A = {3} et B = {2 ; 4 ; 6}. A est un événement élémentaire alors que B non. Probabilité d’ (Source: "r le jeu de dés : Ω = {1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6}. Soient les événements A « obtenir 3 » et B « obtenir un chiffre pair ». On a alors A = {3} et B = {2 ; 4 ; 6}. A est un événement élémentaire alors que B non. Probabilité d’un événement À chaque issue xi de l’univers Ω = {x1, x2,")
92. Détail source à réviser : événement est pas possible, c’est un événement jamais réalisé. Si pi = 0,5 alors on a une « chance » sur deux que l’événement se réalise. Remarque : Soit un événement A, faisant partie de l’univers, dont les événements é (Source: "événement est pas possible, c’est un événement jamais réalisé. Si pi = 0,5 alors on a une « chance » sur deux que l’événement se réalise. Remarque : Soit un événement A, faisant partie de l’univers, dont les événements élémentaires ont tous la même probabilité")
93. Détail source à réviser : Page 2 --- Calcul des probabilités conditionnelles Activité : Quelles sont les caractéristiques d'une coque de portable ? La société Coquort est spécialisée dans la fabrication de coques de protection pour téléphones por (Source: "Page 2 --- Calcul des probabilités conditionnelles Activité : Quelles sont les caractéristiques d'une coque de portable ? La société Coquort est spécialisée dans la fabrication de coques de protection pour téléphones portables. La chaîne de fabrication où travaille Lyo produit de")
94. Détail source à réviser : 2) Pour contrôler la fabrication, Lyo prend au hasard une coque sur les 500 fabriquées (Source: "2) Pour contrôler la fabrication, Lyo prend au hasard une coque sur les 500 fabriquées")
95. Détail source à réviser : A) : [Texte illisible] --- Page 3 --- Calcul des fréquences conditionnelles Activité : Quelle est l'efficacité de la vaccination ? Une épidémie de grippe s'est déclarée au cours de l'hiver. Au printemps l'infirmière du l (Source: "A) : [Texte illisible] --- Page 3 --- Calcul des fréquences conditionnelles Activité : Quelle est l'efficacité de la vaccination ? Une épidémie de grippe s'est déclarée au cours de l'hiver. Au printemps l'infirmière du lycée veut vérifier la campagne de vaccination faite en début")
96. Détail source à réviser : 1500 élèves de l'établissement (Source: "1500 élèves de l'établissement")

📅 Repères chronologiques

Date	Événement
1500	Date significative dans le contexte historique ou éducatif
1350	Date significative dans le contexte historique ou éducatif
1050	Date significative dans le contexte historique ou éducatif
1875	Date significative dans le contexte historique ou éducatif
1300	Date significative dans le contexte historique ou éducatif
1075	Date significative dans le contexte historique ou éducatif

📊 Tableaux de Synthèse

Tableau comparatif des événements et opérations

Type d'événement	Description
Événement simple	Un seul résultat ou issue
Événement composé	Union, intersection
Opérations	Calculs de probabilités

⚠️ Pièges & Confusions Fréquentes

1. Confondre événement et résultat individuel dans un tableau croisé.
2. Oublier de soustraire l'intersection lors du calcul de l'union.
3. Confondre événement contraire et événement impossible.
4. Utiliser la formule de probabilité conditionnelle sans vérifier que l'événement conditionnant a une probabilité non nulle.
5. Confondre la probabilité d'une union avec la somme des probabilités sans soustraction de l'intersection.
6. Ne pas distinguer entre univers équiprobable et non équiprobable lors du calcul.
7. Confondre événement incompatible et événement indépendant.

✅ Checklist Examen

1. Savoir organiser des données dans un tableau croisé.
2. Calculer une fréquence conditionnelle à partir d'un tableau.
3. Distinguer événement et événement élémentaire.
4. Utiliser la formule de la probabilité d'une union.
5. Calculer la probabilité d'un événement dans un univers fini.
6. Comprendre la différence entre événement contraire et impossible.
7. Appliquer la formule de la probabilité conditionnelle.
8. Identifier un événement incompatible.
9. Différencier univers équiprobable et non équiprobable.