Lernzettel: Introduction aux probabilités finies

📋 Plan du Cours

1. Expériences aléatoires finies
2. Événements et opérations
3. Probabilité d’un événement
4. Équiprobabilité et calculs
5. Événements contraires et cartes
6. Fréquences et loi de probabilité

📖 1. Expériences aléatoires finies

🔑 Notions clés & Définitions

• Expérience aléatoire : Une expérience aléatoire est une expérience dont on ne peut pas prévoir le résultat à l’avance de façon certaine.
• Issues possibles : Les issues possibles sont les résultats que l’expérience peut produire, regroupés dans un ensemble fini.
• Univers des possibles Ω : L’univers Ω est l’ensemble des issues possibles notées w1, w2, ..., wN.

📝 Points essentiels

• On ne retient que les expériences aléatoires dont l’ensemble des issues possibles est fini.
• Pour une pièce : Ω = {pile ; face}.
• Pour une urne avec 100 boules numérotées 0 à 99 : Ω = {0 ; 1 ; 2 ; ... ; 98 ; 99}.
• Si l’expérience conduit à N issues w1 à wN, alors Ω = {w1, w2, ..., wN}.

📖 2. Événements et opérations

🔑 Notions clés & Définitions

• Événement A : Un événement est une partie de l’univers Ω, donc un ensemble d’issues possibles.
• Événement élémentaire : Un événement élémentaire est un événement réduit à une seule issue wi de Ω.
• Intersection A∩B : L’intersection A∩B est l’événement constitué des issues communes à A et à B.
• Union A∪B : L’union A∪B est l’événement constitué de toutes les issues appartenant à A ou à B.
• Événement contraire Ā : Le contraire Ā d’un événement A est l’ensemble des issues de Ω qui ne sont pas dans A.

📝 Points essentiels

• L’ensemble vide Ø est l’événement impossible et Ω est l’événement certain.
• Pour tout événement A, on a A⊂Ω, et si A ne contient qu’une issue wi alors c’est un événement élémentaire.
• Deux événements incompatibles vérifient A∩B = Ø.
• Pour tout A, on a A∩Ā = Ø et A∪Ā = Ω.

📖 3. Probabilité d’un événement

🔑 Notions clés & Définitions

• Probabilité P(A) : La probabilité P(A) d’un événement A est la somme des probabilités des issues qui appartiennent à A.
• Probabilité d’une issue pi : La probabilité pi est la valeur associée à l’issue wi dans un modèle de probabilité sur Ω.
• Somme des probabilités dans A : Le calcul de P(A) consiste à additionner les pi de toutes les issues wi incluses dans A.

📝 Points essentiels

• Si A contient des issues wi, alors P(A) est la somme des probabilités pi correspondant à ces issues.
• Dans l’exemple “roi de cœur, roi de trèfle, roi de pique, roi de carreau”, chaque carte a une probabilité 1/32 et P(A)=4/32=1/8=0,125.
• Pour deux événements quelconques, on utilise plus généralement une combinaison via P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(A∩B) (c’est développé ensuite).

📖 4. Équiprobabilité et calculs

🔑 Notions clés & Définitions

• Équiprobabilité sur Ω : Il y a équiprobabilité sur Ω quand toutes les issues ont la même probabilité, donc P({wi}) est identique pour tout i.
• Loi équipartie : La loi équipartie est la modélisation d’une expérience où chaque issue wi a la même probabilité.
• Nombre d’issues |A| : Le cardinal |A| représente le nombre d’issues appartenant à l’événement A.

📝 Points essentiels

• En équiprobabilité sur Ω de taille N, pour tout i on a pi = 1/N.
• Avec équiprobabilité, la probabilité d’un événement A vaut P(A)=Nombre d’issues de A / Nombre total d’issues.
• Les mots “équilibré”, “indiscernables au toucher” et “choix au hasard” indiquent que le modèle choisi est celui de l’équiprobabilité.
• Dans le modèle équiprobable, Ω est traité comme un ensemble où chaque issue compte pour la même part.

📖 5. Événements contraires et cartes

🔑 Notions clés & Définitions

• Événement contraire Ā (cartes) : Dans un tirage de cartes, Ā est l’ensemble des cartes de Ω qui ne satisfont pas la propriété de A.
• Intersection A∩B (cartes) : Dans le vocabulaire des cartes, A∩B est l’événement des cartes qui vérifient simultanément la propriété A et la propriété B.

📝 Points essentiels

• Dans l’exemple sur 32 cartes : Ā = “pas un roi” contient 28 cartes.
• Dans l’exemple sur 32 cartes : B̅ = “pas un cœur” contient 24 cartes.
• Dans l’exemple sur 32 cartes : A∩B = “un roi et un cœur” vaut {R♥}.
• Dans l’exemple sur 32 cartes : A∩B̅ = “roi et pas un cœur” correspond à R♦, R♣ et R♠.
• Dans l’exemple sur 32 cartes : Ā∩B “ni un roi ni un cœur” contient 21 cartes.

📖 6. Fréquences et loi de probabilité

🔑 Notions clés & Définitions

• Fréquence fi : La fréquence d’une issue wi après n expériences est fi = k/n où k est le nombre de réalisations de wi.
• Loi de probabilité sur Ω : Une loi de probabilité associe à chaque issue wi une probabilité pi avec pi ≥ 0 et une somme égale à 1.
• Validité du modèle : Un modèle de probabilité est considéré valide quand les fréquences observées se rapprochent des probabilités pi quand le nombre d’expériences augmente.

📝 Points essentiels

• Pour une issue wi observée k fois sur n expériences, fi=k/n et chaque fréquence est entre 0 et 1.
• La somme des fréquences des issues w1 à wN vaut 1.
• Pour une loi de probabilité : pi≥0 et p1+p2+...+pN=1.
• Urne jaune/bleu/rouge : Ω={J,B,R} et les probabilités sont p(J)=1/6, p(B)=1/3, p(R)=1/2.
• Sommes de deux dés : Ω={2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12} et le second modèle donne pi = 1/36, 2/36, 3/36, 4/36, 5/36, 6/36, puis 5/36, 4/36, 3/36, 2/36, 1/36.

⚠️ Pièges & confusions fréquents

1. Confondre un événement élémentaire {wi} avec l’univers Ω : un élémentaire contient une seule issue alors qu’Ω contient toutes les issues.
2. Inverser A et Ā : le contraire Ā contient les issues qui ne sont pas dans A, pas celles qui ajoutent des issues à A.
3. Oublier le terme −P(A∩B) dans P(A∪B) : utiliser P(A∪B)=P(A)+P(B) n’est vrai que si A∩B=Ø.
4. Se tromper de modèle : utiliser la formule de l’équiprobabilité P(A)=|A|/|Ω| alors que la loi n’est pas équiprobable.
5. Prendre les fréquences fi comme exactes : elles sont statistiques et ne coïncident pas forcément avec pi pour un nombre d’expériences limité.
6. Mélanger fréquence et probabilité : fi=k/n est observé, alors que pi est fixé par le modèle mathématique.
7. Mal compter une intersection : A∩B ne rassemble que les issues communes et pas l’ensemble A ou l’ensemble B.

✅ Checklist Examen

1. Savoir définir une expérience aléatoire finie et identifier l’univers Ω comme ensemble fini des issues possibles.
2. Savoir associer un événement A à une partie de Ω et reconnaître un événement élémentaire à partir de sa définition.
3. Calculer ou énoncer les relations de base A∩Ā=Ø et A∪Ā=Ω pour un événement A.
4. Identifier l’événement impossible Ø et l’événement certain Ω dans le vocabulaire du cours.
5. Utiliser la définition P(A) comme somme des probabilités pi des issues wi appartenant à A.
6. Appliquer la formule d’union P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(A∩B) et l’utiliser aussi dans le cas A∩B=Ø.
7. Calculer P(Ā) à partir de P(A) via P(Ā)=1−P(A).
8. Reconnaître un modèle d’équiprobabilité à partir des mots “équilibré”, “indiscernables au toucher” ou “choix au hasard”.
9. Calculer P(A) en équiprobabilité avec P(A)=Nombre d’issues de A / Nombre total d’issues.
10. Être capable de déterminer des événements via contraires sur un exemple de cartes (ex : Ā, B̅, A∩B, A∩B̅, Ā∩B) et donner le nombre de cartes correspondant quand il est fourni.
11. Calculer une fréquence fi=k/n à partir d’un nombre d’essais n et de réalisations k.
12. Savoir les contraintes d’une loi de probabilité : pi≥0 et p1+...+pN=1, puis vérifier sur un tableau fourni.
13. Savoir exploiter un tableau de probabilités pi (ex : dé pipé) pour calculer des probabilités d’événements comme “pair”, “4 ou 5” et leurs combinaisons.