Lernzettel: Introduction aux représentations et variations des fonctions

📋 Plan du Cours

1. Représentations d’une fonction
2. Image, antécédent et domaine
3. Courbe représentative d’une fonction
4. Variations d’une fonction
5. Tableau de variations
6. Maximum et minimum

📖 1. Représentations d’une fonction

🔑 Notions clés & Définitions

• Expression littérale : Une fonction peut être donnée par une expression qui calcule f(x) à partir de x.
• Courbe d’équation y = f(x) : Une fonction peut être représentée graphiquement par l’ensemble des points dont l’ordonnée vaut f(x) pour chaque x du domaine.

📝 Points essentiels

• Pour toute fonction f, l’écriture x→f(x) fait apparaître le domaine de définition D de f.
• La courbe représentative correspond aux points M(x ; f(x)) avec x appartenant au domaine Df.

📖 2. Image, antécédent et domaine

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction : Une fonction associe à chaque x d’un ensemble D un nombre y, appelé image de x.
• Antécédent : Un antécédent de y est une valeur x telle que f(x)=y, si l’équation a au moins une solution.
• Ensemble de définition Df : L’ensemble de définition Df est l’ensemble des réels pour lesquels l’expression de f donne une image calculable.

📝 Points essentiels

• Un x a une seule image par une fonction, tandis qu’un y peut avoir plusieurs antécédents ou aucun.
• Une valeur interdite est une valeur de x qui rend l’expression impossible (ex. dénominateur nul).
• Pour g(x)=x²+3, g(5)=28 et les antécédents de 7 sont -2 et 2, tandis que 1 n’a pas d’antécédent.

📖 3. Courbe représentative d’une fonction

🔑 Notions clés & Définitions

• Courbe représentative Cf : La courbe représentative Cf est l’ensemble des points M(x ; f(x)) construits pour toutes les valeurs de x du domaine.

📝 Points essentiels

• Dans le repère (O, i→, j→), on trace Cf en prenant x dans Df et en plaçant M(x ; f(x)).
• Pour la fonction définie sur [−3 ; 2], la courbe est l’ensemble des points obtenus en calculant f(x) pour chaque x de cet intervalle.
• Le point (10 ; 0,5) n’appartient pas à la courbe si on a f(10)≠0,5, par exemple f(10)=0,495≠0,5.

📖 4. Variations d’une fonction

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction croissante : Une fonction est croissante sur un intervalle lorsque, quand x augmente, f(x) augmente aussi sur cet intervalle.
• Fonction décroissante : Une fonction est décroissante sur un intervalle lorsque, quand x augmente, f(x) diminue sur cet intervalle.

📝 Points essentiels

• Donner les variations d’une fonction consiste à indiquer les intervalles où elle est croissante puis ceux où elle est décroissante.
• Sur un graphique, on décrit les variations observées par lecture de la courbe sans passer par une démonstration formelle.
• Exemple graphique : f semble décroissante sur [−4 ; −2,1], croissante sur [−2,1 ; 0], décroissante sur [0 ; 4,1] puis croissante sur [4,1 ; 5].

📖 5. Tableau de variations

🔑 Notions clés & Définitions

• Tableau de variation : Un tableau de variations synthétise, à partir des informations graphiques, les intervalles où une fonction est croissante ou décroissante.

📝 Points essentiels

• Le tableau de variations regroupe en une vue unique les valeurs repères de x et le signe des variations.
• Dans l’exemple fourni, le tableau indique f augmente puis diminue selon les intervalles bornés par −4, −2,1, 0, 4,1 et 5.
• Les extrémités de variation (valeurs de x) servent de bornes pour lire les changements croissant/décroissant.

📖 6. Maximum et minimum

🔑 Notions clés & Définitions

• Extremum : Un extremum sur un intervalle est une valeur maximale et/ou minimale que la fonction y atteint.
• Maximum sur un intervalle : Le maximum sur un intervalle est la plus grande valeur de f(x) parmi les x de cet intervalle.
• Minimum sur un intervalle : Le minimum sur un intervalle est la plus petite valeur de f(x) parmi les x de cet intervalle.

📝 Points essentiels

• On détermine les maximum et minimum à partir de la courbe représentative ou du tableau de variations.
• Dans l’exemple précédent, le maximum sur [−2 ; 4] vaut 5.
• Dans l’exemple précédent, le minimum sur [−4 ; 0] vaut 4.

⚠️ Pièges & confusions fréquents

1. Confondre image et antécédent : l’image correspond à f(x), tandis que l’antécédent est une valeur x qui vérifie f(x)=y.
2. Croire que “un y a une seule image” : au contraire, plusieurs x peuvent donner le même y ou aucun.
3. Tracer une courbe avec un x hors de Df : la valeur interdite ne doit jamais produire de point sur la courbe.
4. Lire les variations dans le mauvais sens : une fonction peut être croissante puis décroissante, et il faut respecter les intervalles.
5. Penser qu’un extremum est “forcément” une valeur en bout d’intervalle : il peut provenir d’une valeur atteinte ailleurs sur la courbe.
6. Assigner un point à la courbe sans vérifier la valeur exacte de f(x) : (10 ; 0,5) n’est pas sur la courbe si f(10)≠0,5.

✅ Checklist Examen

1. Écrire une fonction sous la forme x→f(x) et identifier le domaine de définition Df.
2. Donner l’image d’un x par une fonction et résoudre f(x)=y pour trouver des antécédents.
3. Déterminer quelles valeurs sont interdites en repérant les expressions impossibles (ex. dénominateur nul).
4. Construire la courbe représentative en plaçant les points M(x ; f(x)) pour x dans le domaine.
5. Expliquer pourquoi un point (x0 ; y0) n’est pas sur la courbe si y0≠f(x0).
6. Décrire les variations d’une fonction sur des intervalles en précisant où elle est croissante puis décroissante.
7. Lire sur un graphique les intervalles de croissance/décroissance sans tenter de démonstration.
8. Interpréter un tableau de variations et relier les bornes de x aux changements de tendance.
9. Identifier un maximum ou un minimum sur un intervalle à partir du tableau ou de la courbe.
10. Comparer les extremums donnés par l’exemple : maximum 5 sur [−2 ; 4] et minimum 4 sur [−4 ; 0].