Lernzettel: Introduction aux suites géométriques

📋 Plan du Cours

1. Définition des suites géométriques
2. Reconnaissance et raison
3. Formule explicite
4. Sens de variation
5. Somme des termes
6. Exercices d'application

📖 1. Définition des suites géométriques

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite géométrique : Une suite est géométrique s’il existe un réel q tel que chaque terme soit obtenu en multipliant le précédent par q.
• Raison q : La raison q est le réel constant qui multiplie un terme par le terme suivant.
• Premier terme u0 : Le premier terme u0 est la valeur initiale qui fixe toute la suite géométrique via la raison q.

📝 Points essentiels

• Une suite (un) est géométrique s’il existe q tel que, pour tout n, on ait un+1 = q×un.
• Si q = 2 et u0 = 5, alors un = 5×2^n et la suite vaut 5, 10, 20, 40 pour n = 0 à 3.
• Si les intérêts annuels sont 4% alors le capital est multiplié par 1,04 chaque année, donc la suite est géométrique de raison 1,04.

💡 Astuce mémo

Raison = multiplicateur fixe : un+1 = q un.

📖 2. Reconnaissance et raison

🔑 Notions clés & Définitions

• Quotient un+1/un : Le quotient un+1 sur un sert à vérifier si une suite peut s’écrire avec un même facteur multiplicatif constant.
• Méthode de reconnaissance : On reconnaît une suite géométrique en calculant un+1/un et en testant si ce rapport reste constant.

📝 Points essentiels

• Pour prouver qu’une suite est géométrique, on calcule un+1/un et on montre que le résultat ne dépend pas de n.
• Pour un = 3^n/2, on obtient un+1/un = 3, donc la raison vaut q = 3.
• La suite un = 4n n’est pas géométrique, car elle correspond à une progression arithmétique et ne donne pas un rapport constant un+1/un.

📖 3. Formule explicite

🔑 Notions clés & Définitions

• Formule explicite un : La formule explicite exprime un directement à partir du premier terme et de la raison de la suite géométrique.
• Première formule avec u0 : Quand la suite a pour premier terme u0, le terme un s’écrit en utilisant q^n.
• Formule généralisée avec up : La formule généralisée relie un à un+ partir d’un autre rang p via une puissance de la raison.

📝 Points essentiels

• Si la suite géométrique a premier terme u0 et raison q, alors un = u0×q^n pour tout n.
• Si on connaît un+1 = q^n−? alors on peut aussi écrire un = up×q^(n−p) pour tous entiers n et p.
• Exemple : u0 = 10 et q = −2 donnent u5 = 10×(−2)^5 = −320.
• Exemple : u6 = 2 et u9 = 54 donnent 54 = 2×q^3, donc q = 3.

💡 Astuce mémo

Changer de rang : on remplace n par n−p et on part de up.

📖 4. Sens de variation

🔑 Notions clés & Définitions

• Sens de variation : Le sens de variation décrit si la suite augmente, diminue, ou reste constante selon les valeurs de u0 et de q.
• Cas q positif : Quand q est positif, le signe de u0 et la valeur relative de q par rapport à 1 déterminent l’évolution.
• Cas q négatif : Quand q est négatif, la suite peut alterner et n’est en général ni strictement croissante ni strictement décroissante.

📝 Points essentiels

• Si u0 > 0 et q > 1, alors la suite est strictement croissante.
• Si u0 > 0 et 0 < q < 1, alors la suite est strictement décroissante.
• Si u0 < 0 et 0 < q < 1, alors la suite est strictement croissante.
• Si q < 0, alors la suite n’est ni croissante ni décroissante.
• Exemple : un = −5×(2/3)^n a raison 2/3 dans ]0 ; 1[ et u0 < 0, donc (un) est strictement décroissante.

💡 Astuce mémo

Regarder deux choses : signe de u0 et taille de q par rapport à 1.

📖 5. Somme des termes

🔑 Notions clés & Définitions

• Somme partielle S : La somme partielle regroupe les n premiers termes d’une suite géométrique sous une seule quantité S.
• Formule 1 + q + … + q^n : La somme des puissances successives d’une raison q ≠ 1 s’écrit avec un terme correctif de q^(n+1).
• Somme des termes d’une suite géométrique : La somme d’une suite géométrique de premier terme u0 s’obtient en multipliant u0 par la somme des puissances de q.

📝 Points essentiels

• Pour q ≠ 1, on a 1 + q + q^2 + … + q^n = (1 − q^(n+1)) / (1 − q).
• Si (un) est géométrique de raison q ≠ 1, alors S = u0 + u1 + … + un = u0×(1 − q^(n+1)) / (1 − q).
• Exemple : 1 + 2^2 + … + 2^9 = (1 − 2^10)/(1 − 2) = 1023.
• Exemple : u4 = 6 et q = 1/2 donnent u0 = 6×(2^4) = 96 puis S = 96×(1 − (1/2)^5)/(1 − 1/2) = 1864/4 = 186.

💡 Astuce mémo

Somme fermée : 1− q^(n+1) sur 1−q.

📖 6. Exercices d'application

🔑 Notions clés & Définitions

• Reconnaître une suite géométrique : Dans les exercices, on valide la géométrie en repérant un rapport constant entre deux termes consécutifs.
• Utiliser la formule du terme général : Pour calculer un terme précis, on remplace un par la formule un = u0×q^n ou un = up×q^(n−p).
• Calculer une somme géométrique : Pour additionner des termes, on applique S = u0×(1 − q^(n+1)) / (1 − q) avec q ≠ 1.

📝 Points essentiels

• Exercice 1 : un = −3×0,5^n est géométrique de raison q = 0,5 et premier terme u0 = −3.
• Exercice 2 : si v4 = 5 et v5 = −7,5 alors q = v5/v4 = −1,5.
• Exercice 4 : avec u0 = 250 et un+1 = 1,1×un, la suite est géométrique de raison q = 1,1 et u27 = 250×1,1^27 ≈ 3277.
• Exercice 7 : avec u0 = 20 et un+1 = 0,8×un + 1, la suite n’est ni arithmétique ni géométrique, mais en posant vn = un − 5 on obtient vn+1 = 0,8×vn donc un = 5 + 15×0,8^n.

⚠️ Pièges & confusions fréquents

1. Confondre progression arithmétique et géométrique : une suite géométrique vérifie un+1/un constant, pas un+1−un constant.
2. Oublier que la formule explicite dépend de la raison q : un = u0×q^n, pas u0 + q^n.
3. Se tromper de puissance lors de la formule avec un = up×q^(n−p), notamment quand on utilise des indices comme n = 9 et p = 6.
4. Étudier le sens de variation sans tenir compte du signe de u0 : selon u0 et q, on peut obtenir croissance ou décroissance inversées.
5. Chercher un comportement de somme quand q = 1 : la formule donnée impose q ≠ 1.
6. Dans l’exercice du médicament, essayer d’imposer directement une forme géométrique à u_n sans transformer u_n − 5 en suite géométrique.

✅ Checklist Examen

1. Savoir donner la définition d’une suite géométrique via l’existence d’une raison q telle que un+1 = q×un.
2. Savoir reconnaître une suite géométrique en calculant le quotient un+1/un et en vérifiant qu’il est constant.
3. Être capable d’indiquer u0 et la raison q à partir d’une expression de un comme a×b^n ou comme produit avec un+1/un constant.
4. Savoir utiliser un = u0×q^n pour calculer un terme comme u5 ou u7.
5. Savoir utiliser la relation un = up×q^(n−p) quand on connaît un terme d’indice différent.
6. Savoir déterminer le sens de variation selon les cas en fonction de u0 et de q par rapport à 1.
7. Savoir traiter le cas q < 0 : conclure “ni croissante ni décroissante”.
8. Savoir appliquer la formule de somme 1 + q + … + q^n = (1 − q^(n+1))/(1 − q) quand q ≠ 1.
9. Savoir en déduire la somme S = u0 + … + un = u0×(1 − q^(n+1))/(1 − q).
10. Savoir résoudre des situations concrètes à taux multiplicatif constant (intérêts, augmentation annuelle) et identifier q (ex. 1,04 ou 1,1).
11. Savoir gérer un terme avec ajout constant (ex. médicament) en introduisant une nouvelle suite (ici v_n = u_n − 5) pour obtenir une géométrique.
12. Savoir conclure sur la décroissance et la limite dans le cas de la suite médicament via un = 5 + 15×0,8^n.