Lernzettel: Introduction aux suites mathématiques

📋 Plan du Cours

1. Généralités et notation
2. Suites explicites et récurrentes
3. Représentation graphique des suites
4. Suites arithmétiques et géométriques
5. Formules des suites arithmétiques
6. Formules des suites géométriques
7. Séries numériques
8. Nature d’une suite
9. Changement de variable
10. Applications

📖 1. Généralités et notation

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite réelle : Une suite réelle sur N est une fonction qui associe à chaque entier naturel un nombre réel.
• Rang d’un terme : Le rang d’un terme est l’entier n qui indique à quelle position appartient ce terme dans la suite.
• Notation u_n : La notation u_n désigne le terme de rang n de la suite (u_n).
• Suite entière : Pour parler de toute la suite, on utilise souvent une notation qui regroupe les termes sans préciser un seul rang.

📝 Points essentiels

• Définir une suite (u_n) sur N revient à définir une fonction N→R qui associe u(n) à chaque n.
• Le nombre u_n est le terme de rang n, tandis que la notation (u_n) désigne l’ensemble des termes de la suite.
• Toutes les suites ne commencent pas forcément à 0, certaines sont définies seulement à partir d’un rang minimal.
• Dans les notations, attention à ne pas confondre U(n) avec (U_n) ou U_n avec U×n.

💡 Astuce mémo

Fonction N→R : à chaque rang n correspond exactement une valeur réelle u_n.

📖 2. Suites explicites et récurrentes

🔑 Notions clés & Définitions

• Définition explicite : Une suite est définie de manière explicite quand son terme u_n s’écrit directement en fonction de n sans utiliser les termes précédents.
• Définition par récurrence : Une suite est définie par récurrence quand un procédé permet d’obtenir u_{n+1} à partir des termes précédents, avec au moins un premier terme.
• Relation de récurrence : Une relation de récurrence donne une formule reliant un terme à des termes antérieurs de la même suite.

📝 Points essentiels

• Pour un calcul direct, une définition explicite permet d’évaluer u_3 en remplaçant n par 3 dans la formule.
• En récurrence, il faut donner le premier terme pour pouvoir dérouler les suivants à partir de la relation.
• Si u_{n+1}= (n+1)u_n avec u_0=2, alors u_1=2 et u_2=6.
• Pour une suite géométrique comme S_n où S_{n+1}=3S_n et S_0=1, la définition récursive est S_0=1 et S_{n+1}=3S_n.

💡 Astuce mémo

Explicite : je remplace n. Récurrence : je passe de n à n+1.

📖 3. Représentation graphique des suites

🔑 Notions clés & Définitions

• Courbe représentative de f : La courbe de f représente les valeurs possibles de f(x) pour différentes abscisses x.
• Droite d’équation y = x : La droite y=x sert à refléter l’identité pour relier une abscisse donnée à sa valeur en ordonnée.
• Points aux abscisses entières : Pour une suite, on place les termes aux abscisses entières correspondant aux rangs entiers.

📝 Points essentiels

• Pour une suite définie par un=f(n), le graphique se lit en plaçant les points de coordonnées (n,u_n) pour n entiers.
• Dans le cas récursif u_{n+1}=f(u_n), on part de u_0 sur l’axe des abscisses puis on lit f(u_0) sur la courbe.
• Pour obtenir u_{n+1} à l’axe des ordonnées, on utilise la droite y=x pour ramener la valeur de f(u_n) au bon niveau.
• Le graphique de suite correspond aux points obtenus en itérant l’image par f à partir du point initial.

💡 Astuce mémo

Graphique : n sur l’abscisse quand c’est explicite, u_n sur l’abscisse quand c’est récursif.

📖 4. Suites arithmétiques et géométriques

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite arithmétique : Une suite arithmétique est une suite où la différence entre deux termes consécutifs est constante.
• Raison d’une suite arithmétique : La raison d’une suite arithmétique est le réel ajouté entre deux termes successifs.
• Suite géométrique : Une suite géométrique est une suite où le rapport entre deux termes consécutifs est constant.
• Raison d’une suite géométrique : La raison d’une suite géométrique est le réel par lequel on multiplie pour passer d’un terme au suivant.

📝 Points essentiels

• Une suite arithmétique vérifie u_{n+1}=u_n+r pour tout n entier, où r est la raison.
• Une suite géométrique vérifie v_{n+1}=v_n×q pour tout n entier, où q est la raison.
• La suite des multiples de 2 est arithmétique de raison 2 car on ajoute 2 à chaque rang.
• La suite des puissances de 3 est géométrique de raison 3 car on multiplie par 3 à chaque rang.

💡 Astuce mémo

Arithmétique : +r. Géométrique : ×q.

📖 5. Formules des suites arithmétiques

🔑 Notions clés & Définitions

• Formule récursive arithmétique : La formule récursive d’une suite arithmétique donne u_n à partir de u_{n-1} en ajoutant la raison.
• Formule transitive arithmétique : La formule transitive relie deux termes u_n et u_p avec n≥p en comptant le nombre d’additions de la raison.
• Formule explicite arithmétique : La formule explicite exprime directement u_n en fonction de n, de la raison et du premier terme.

📝 Points essentiels

• Pour une suite arithmétique de premier terme U_0 et de raison r, on a u_n=u_{n-1}+r pour tout n≥1.
• Pour tout n et p avec n≥p, on a u_n=(n−p)r+u_p dans une suite arithmétique.
• Pour tout n≥1, la formule explicite est u_n=n×r+U_0 dans une suite arithmétique.
• Avec u_0=5 et r=2, on obtient u_1=7 et u_2=9 via la relation u_{n+1}=u_n+r.

💡 Astuce mémo

Arithmétique : u_n = U_0 + n×r (avec la version exacte donnée pour n≥1).

📖 6. Formules des suites géométriques

🔑 Notions clés & Définitions

• Formule récursive géométrique : La formule récursive d’une suite géométrique donne V_n à partir de V_{n-1} en multipliant par la raison.
• Formule transitive géométrique : La formule transitive relie V_n et V_p avec n≥p en tenant compte du nombre de multiplications.
• Formule explicite géométrique : La formule explicite exprime directement V_n en fonction de n, de la raison et du premier terme.

📝 Points essentiels

• Pour une suite géométrique de premier terme V_0 et de raison q, on a V_n=V_{n-1}×q pour tout n≥1.
• Pour n≥p, la relation transitive est V_n=q^{n-p}×V_p dans une suite géométrique.
• Pour tout n≥1, on obtient la forme explicite V_n=q^n×V_0.
• Avec a_0=8192 et q=1/2, on a a_1=4096 et a_2=2048.

💡 Astuce mémo

Géométrique : on multiplie, donc V_n = V_0×q^n (pour n≥1 dans le cours).

📖 7. Séries numériques

🔑 Notions clés & Définitions

• Série de terme U_n : Une série de terme U_n est la suite des sommes successives des termes de la suite (U_n).
• Somme d’une suite arithmétique : Dans une suite arithmétique, la somme de termes consécutifs se calcule avec le nombre de termes et la moyenne du premier et du dernier.
• Somme d’une suite géométrique : Dans une suite géométrique, la somme de termes consécutifs s’exprime via U_0, U_{n+1} et le facteur 1−q.

📝 Points essentiels

• La série associée à (U_n) consiste en sommes des termes consécutifs, et on la note par une écriture Σ(U_n).
• Si (U_n) est arithmétique de raison r, alors Σ(U_n)=(n+1)×U_0 + U_n à partir de la formule donnée.
• La formule géométrique donnée est Σ(U_n)= (U_0−U_{n+1})/(1−q) sous la notation du cours.
• Si U_0=7 et q=2, la suite géométrique impose des quotients par 1−2 dans la formule de somme.

💡 Astuce mémo

Arithmétique : “moyenne” (ici via la formule). Géométrique : fraction avec 1−q.

📖 8. Nature d’une suite

🔑 Notions clés & Définitions

• Progression arithmétique : Une progression arithmétique correspond au cas où la différence u_{n+1}−u_n est constante.
• Progression géométrique : Une progression géométrique correspond au cas où le quotient u_{n+1}/u_n est constant.
• Contre-exemple : Un contre-exemple est un cas où l’égalité attendue échoue, ce qui suffit à conclure “pas arithmétique” ou “pas géométrique”.

📝 Points essentiels

• Pour tester une nature, on compare trois termes successifs comme u_0, u_1 et u_2.
• Si u_{n+1}−u_n est constant, alors la suite est arithmétique, sinon elle ne l’est pas.
• Si u_{n+1}/u_n est constant, alors la suite est géométrique, sinon elle ne l’est pas.
• Si la suite n’est ni arithmétique ni géométrique avec ce test, le cours conclut qu’un contre-exemple suffit pour disqualifier une nature.

💡 Astuce mémo

Test simple : différence = constant (arithmétique) ; quotient = constant (géométrique).

📖 9. Changement de variable

🔑 Notions clés & Définitions

• Changement de variable : Le changement de variable consiste à remplacer n par une autre expression dans la formule de la suite pour obtenir une nouvelle relation.
• Remplacement prioritaire : Quand le remplacement est écrit entre parenthèses, il est traité avant les autres opérations dans le calcul.

📝 Points essentiels

• On peut reformuler une suite en remplaçant n par n+1, 2n, n−1 ou 2(n−1) dans la formule initiale pour obtenir U_{n+1} ou U_{2n}.
• Si U_n=6+5n, alors en remplaçant n par n+1 on obtient U_{n+1}=6+5(n+1).
• Si U_n=6+5n, alors en remplaçant n par 2n on obtient U_{2n}=6+10n.
• Si V_{n+1}=2V_n−3 et qu’on remplace n par n−1, on obtient une relation entre V_n et V_{n-1}.

💡 Astuce mémo

Je remplace n, puis je “réindexe” pour viser le terme voulu (n+1, 2n, etc.).

📖 10. Applications

🔑 Notions clés & Définitions

• Emprunt : Un emprunt peut induire une suite d’évolution des coûts ou montants à rembourser selon les règles de calcul proposées par la banque.
• Débit gouttes : Le débit d’un goutteur peut être décrit par une suite de temps entre deux gouttes consécutives.
• Variation d’une suite : La variation décrit l’évolution entre termes successifs, utile pour vérifier si une suite est arithmétique ou géométrique.

📝 Points essentiels

• Avec Banque A, la différence annuelle de coût correspond à un ajout constant, donc on attend une suite arithmétique pour le coût.
• Avec Banque B, le coût augmente en ajoutant 2% de la somme initiale à chaque année, ce qui conduit à une modélisation différente de Banque A.
• Dans l’exemple des gouttes, on a T_1 correspondant au temps entre la 1re et la 2e goutte, et T_50 au temps entre la 50e et la 51e goutte.
• Après la 50e goutte, il s’écoule 25 secondes jusqu’à la suivante, ce qui donne la valeur de T_50=25 secondes dans le texte.

📊 Tableaux de synthèse

Arithmétique vs géométrique

Type	Règle de passage	Paramètre constant
Arithmétique	u_{n+1}=u_n+r	la différence r
Géométrique	v_{n+1}=v_n×q	le rapport q

⚠️ Pièges & confusions fréquents

1. Confondre U(n) avec (U_n), ou encore confondre U_n avec U×n : dans ces trois écritures, on ne parle pas de la même chose.
2. Penser qu’une suite définie par récurrence se calcule sans premier terme : sans u_0 donné, on ne peut pas dérouler les valeurs.
3. Confondre une suite explicite (formule directe en fonction de n) et une suite récursive (itération à partir d’un terme précédent).
4. Croire que le graphique d’une suite correspond à une courbe continue : on place des points aux abscisses entières (n entiers).
5. Comparer nature arithmétique en testant un quotient ou nature géométrique en testant une différence : le test correct utilise respectivement u_{n+1}−u_n ou u_{n+1}/u_n.
6. Confondre r et q : dans le cours, r correspond aux additions, q aux multiplications.

✅ Checklist Examen

1. Donner la définition d’une suite réelle sur N comme fonction N→R et identifier le rôle du rang n.
2. Savoir interpréter u_n, (u_n), et repérer les erreurs d’écriture U(n), (U_n), U_n et U×n.
3. Reconnaître une définition explicite et savoir calculer u_3 (ou u_n) par substitution de n dans la formule.
4. Reconnaître une définition par récurrence et savoir utiliser l’existence d’un premier terme pour calculer les premiers termes.
5. Construire la lecture graphique d’une suite explicite avec points (n,u_n) aux abscisses entières.
6. Construire la lecture graphique d’une suite définie par u_{n+1}=f(u_n) en itérant avec la courbe de f et la droite y=x.
7. Identifier une suite arithmétique ou géométrique à partir de la règle de passage u_{n+1}=u_n+r ou v_{n+1}=v_n×q.
8. Savoir écrire les formules arithmétiques : récurcive, transitive, explicite (avec les conditions sur n et p du cours).
9. Savoir écrire les formules géométriques : récurcive, transitive, explicite (avec les conditions du cours).
10. Calculer une somme Σ(U_n) d’une suite arithmétique ou géométrique avec les formules données et les bons indices.
11. Déterminer la nature d’une suite en testant la constance de u_{n+1}−u_n puis u_{n+1}/u_n sur trois termes successifs.
12. Reformuler une suite par changement de variable en remplaçant n par (n+1), 2n, (n−1), etc., puis réindexer le résultat.
13. Appliquer le modèle suite à une situation donnée (emprunt ou gouttes) et relier le type de progression à la règle d’évolution décrite.