Lernzettel: Introduction aux suites numériques

📋 Plan du Cours

1. Définition et modes de génération des suites
2. Suites arithmétiques : terme général et somme
3. Suites géométriques : terme général et somme
4. Sens de variation des suites
5. Notion intuitive de limite et convergence

📖 1. Définition et modes de génération des suites

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite numérique : Une suite numérique est une fonction qui associe à chaque entier naturel n un réel noté u_n.
• Génération explicite : Une suite est générée de façon explicite quand u_n est donné directement comme une fonction f(n).
• Génération par récurrence : Une suite est générée par récurrence quand u_{n+1} est relié à un ou plusieurs termes précédents.

📝 Points essentiels

• En génération explicite, pour obtenir u_10 on remplace n par 10 dans l’expression de u_n.
• En récurrence, pour calculer u_10 il faut remonter jusqu’aux valeurs initiales (u_0 ou u_1).
• Exemples de formes explicites : u_n=3n-5, u_n=n^2+2n-3, u_n=1/n.

💡 Astuce mémo

Explicite = “je remplace n”. Récurrence = “je remonte depuis le début”.

📖 2. Suites arithmétiques : terme général et somme

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite arithmétique : Une suite arithmétique est une suite dont la différence u_{n+1}-u_n est constante et vaut r.
• Raison r : La raison r est la constante qui donne l’écart entre deux termes consécutifs d’une suite arithmétique.

📝 Points essentiels

• Terme général : pour tout n, u_n=u_0+nr.
• Forme plus générale : u_n=u_p+(n-p)r pour tout p et tout n.
• Somme des n premiers entiers : S_n=1+2+...+n=n(n+1)/2.

💡 Astuce mémo

Arithmétique = “on ajoute r à chaque pas”.

📖 3. Suites géométriques : terme général et somme

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite géométrique : Une suite géométrique est une suite dont le rapport u_{n+1}/u_n est constant et vaut q.
• Raison q : La raison q est le multiplicateur constant qui transforme un terme en le terme suivant.

📝 Points essentiels

• Terme général : pour tout n, u_n=u_0 q^n.
• Forme plus générale : u_n=u_p q^{n-p}.
• Somme S_n=1+q+q^2+...+q^n : si q=1 alors S_n=n+1 (sinon, formule non détaillée ici).

💡 Astuce mémo

Géométrique = “on multiplie par q”.

📖 4. Sens de variation des suites

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite croissante : Une suite est croissante si chaque terme est strictement inférieur au suivant : u_n<u_{n+1} pour tout n.
• Suite décroissante : Une suite est décroissante si chaque terme est strictement supérieur au suivant : u_{n+1}<u_n pour tout n.

📝 Points essentiels

• Méthode pratique : calculer u_{n+1}-u_n ; si >0 la suite est croissante, si <0 elle est décroissante.
• Suite arithmétique : u_{n+1}-u_n=r, donc r>0 croissante et r<0 décroissante.
• Suite géométrique : si q<0 suite alternée ; si 0<q<1 décroissante ; si q=1 constante ; si q>1 croissante (et le signe de u_0 fixe le sens quand u_0≠0).

💡 Astuce mémo

Signe de u_{n+1}-u_n = sens de variation.

📖 5. Notion intuitive de limite et convergence

🔑 Notions clés & Définitions

• Limite d’une suite : Une suite admet une limite L quand ses termes se rapprochent de L pour n de plus en plus grand.
• Convergence : Une suite est convergente si elle admet une limite finie L.

📝 Points essentiels

• Notation : on écrit lim_{n→+∞} u_n = L (dans le cours, la limite est notée L).
• Exemple : u_n=(1/2)^n tend vers 0, donc la suite converge vers 0.
• Les suites arithmétiques ne convergent pas ; les suites géométriques ne convergent que si q∈(-1,1) et alors la limite vaut L=0.

💡 Astuce mémo

|q|<1 ⇒ géométrique vers 0.

⚠️ Pièges & confusions fréquents

1. Confondre génération explicite et récurrence : en récurrence on ne peut pas “remplacer n”, on doit remonter aux valeurs initiales.
2. Mélanger sens de variation : pour une suite croissante il faut u_n<u_{n+1}, pas l’inverse.
3. Penser que toutes les suites géométriques convergent : elles ne convergent que pour q entre -1 et 1 (et la limite vaut 0).

✅ Checklist Examen

1. Savoir définir une suite numérique comme fonction u(n)=u_n et distinguer génération explicite f(n) et génération par récurrence.
2. Savoir calculer u_n d’une suite arithmétique avec u_n=u_0+nr et utiliser la forme u_n=u_p+(n-p)r.
3. Savoir déterminer la somme demandée dans le cas donné : S_n=1+2+...+n=n(n+1)/2.
4. Savoir calculer u_n d’une suite géométrique avec u_n=u_0 q^n et u_n=u_p q^{n-p}.
5. Savoir déterminer le sens de variation d’une suite à partir de u_{n+1}-u_n et appliquer les cas arithmétiques (r) et géométriques (q).
6. Savoir expliquer intuitivement la limite et reconnaître : (1/2)^n converge vers 0, les suites arithmétiques ne convergent pas, et les suites géométriques convergent seulement si q∈(-1,1) avec limite 0.