Lernzettel: Introduction aux suites numériques

📋 Plan du Cours

1. Suites définies par récurrence
2. Suites arithmétiques
3. Suites géométriques
4. Monotonie à partir d’un rang
5. Suite définie explicitement

📖 1. Suites définies par récurrence

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite : Suite : suite de valeurs indexées par $n$ (dans un ensemble d’entiers) qu’on étudie via ses règles de construction ou son expression.
• Terme initial : Terme initial : valeur donnée au rang de départ pour pouvoir démarrer le calcul de tous les termes suivants.
• Relation de récurrence : Relation de récurrence : règle qui calcule le terme $u_{n+1}$ à partir du terme précédent $u_n$.
• Calcul par itération : Calcul par itération : procédé qui applique la relation de récurrence successivement pour obtenir u_1,u_2, ts à partir du terme initial.

📝 Points essentiels

• Une suite est définie par récurrence si elle est donnée par un premier terme puis par une relation permettant de calculer un terme à partir du précédent.
• Si $u_0=2$ et $u_{n+1}=2u_n+1$, alors $u_1=5$ et $u_2=11$ en appliquant la relation successivement.

💡 Astuce mémo

Premier terme = point de départ ; récurrence = formule qui transforme le terme précédent en suivant.

📖 2. Suites arithmétiques

🔑 Notions clés & Définitions

• Raison de suite : Raison de suite : nombre réel $r$ qui mesure l’augmentation ou la diminution constante d’un terme au suivant.
• Suite arithmétique : Suite arithmétique : suite pour laquelle il existe une raison $r$ telle que chaque terme s’obtienne en ajoutant $r$ au terme précédent.

📝 Points essentiels

• Une suite arithmétique vérifie, pour tout $n$, la relation $u_{n+1}=u_n+r$.
• Une suite arithmétique de raison $r$ est croissante si $r>0$, décroissante si $r<0$ et constante si $r=0$.
• Pour tous entiers $n$ et $p$, on a $u_{n+p}=u_n+pr$.
• En particulier, pour tout entier $n$, on a $u_n=u_0+nr$.

💡 Astuce mémo

Arithmétique = même “+r” à chaque pas.

📖 3. Suites géométriques

🔑 Notions clés & Définitions

• Raison de la suite : Raison de la suite : réel non nul $q$ qui multiplie un terme pour obtenir le terme suivant.
• Suite géométrique : Suite géométrique : suite pour laquelle il existe une raison non nulle $q$ telle que chaque terme s’obtienne en multipliant le précédent par $q$.

📝 Points essentiels

• Une suite géométrique vérifie, pour tout $n$, la relation $u_{n+1}=q\,u_n$.
• Pour tout entiers $n$ et $p$, on a $u_{n+p}=u_n\,q^p$.
• En particulier, pour tout entier $n$, on a $u_n=u_0\,q^n$.
• Si tous les termes sont strictement positifs, la suite est croissante si $q>1$, décroissante si $0<q<1$ et constante si $q=1$.

💡 Astuce mémo

Géométrique = même “×q” à chaque pas, donc tout se lit via des puissances de $q$.

📖 4. Monotonie à partir d’un rang

🔑 Notions clés & Définitions

• Rang de départ : Rang de départ $n_0$ : indice à partir duquel on étudie si la suite se met à augmenter ou diminuer.
• Monotone à partir d’un rang : Monotone à partir d’un rang : suite qui devient soit croissante, soit décroissante à partir d’un certain indice.

📝 Points essentiels

• Une suite est croissante à partir du rang $n_0$ si, pour tout $n\in\mathbb{N}$, on a $u_n\le u_{n+1}$.
• Une suite est décroissante à partir du rang $n_0$ si, pour tout $n\in\mathbb{N}$, on a $u_n\ge u_{n+1}$.
• Une suite est monotone à partir du rang $n_0$ lorsqu’elle est soit croissante, soit décroissante à partir de ce rang.

💡 Astuce mémo

À partir de $n_0$, on compare seulement chaque paire consécutive : $u_n\le u_{n+1}$ (croissante) ou $u_n\ge u_{n+1}$ (décroissante).

📖 5. Suite définie explicitement

🔑 Notions clés & Définitions

• Expression du terme général : Expression du terme général : formule qui donne directement $u_n$ en fonction de $n$, sans calcul successif via une relation précédente.
• Suite définie explicitement : Suite définie explicitement : suite dont on fournit $u_n$ directement comme fonction de l’index $n$.

📝 Points essentiels

• Une suite est dite définie explicitement lorsqu’on donne l’expression du terme général de la suite en fonction de $n$.
• Dans l’exemple, la suite vérifie $u_n=2n+1$ et on calcule par substitution, par exemple $u_4=9$.

💡 Astuce mémo

Explicite = direct : je remplace $n$ dans la formule pour obtenir $u_n$.

📊 Tableaux de synthèse

Arithmétique vs géométrique

Type	Relation de récurrence	Forme de $u_n$
Arithmétique	$u_{n+1}=u_n+r$	$u_n=u_0+nr$
Géométrique	$u_{n+1}=q\,u_n$	$u_n=u_0\,q^n$

⚠️ Pièges & confusions fréquents

1. Confondre les signes : une suite arithmétique est croissante si $r>0$ mais décroissante si $r<0$, et constante seulement si $r=0$.
2. Oublier la condition “strictement positifs” quand on décide le sens de variation d’une suite géométrique en fonction de $q$.
3. Croire que “monotone” signifie globalement : ici on parle de monotonie seulement à partir d’un rang $n_0$.
4. Mélanger les relations : arithmétique implique une addition de $r$, géométrique implique une multiplication par $q$.
5. Penser qu’une suite définie par récurrence a forcément une formule explicite fournie : dans le cours, “explicite” signifie qu’on donne directement $u_n(n)$.
6. Confondre l’inégalité de monotonie croissante et décroissante : croissante correspond à $u_n\le u_{n+1}$, décroissante à $u_n\ge u_{n+1}$.
7. Utiliser une formule de type $u_n=u_0+nr$ pour une suite géométrique (ou l’inverse) au lieu d’appliquer la bonne structure (puissance de $q$ vs multiple de $r$).

✅ Checklist Examen

1. Savoir ce qu’est une suite définie par récurrence : premier terme et relation calculant le suivant à partir du précédent.
2. Être capable de calculer $u_1$ et $u_2$ à partir du premier terme et d’une relation du type $u_{n+1}=2u_n+1$.
3. Reconnaître une suite arithmétique à partir de la relation $u_{n+1}=u_n+r$.
4. Déterminer le sens de variation d’une suite arithmétique à partir du signe de $r$ : $r>0$, $r<0$, $r=0$.
5. Utiliser la formule $u_{n+p}=u_n+pr$ pour passer d’un rang à un autre en arithmétique.
6. Utiliser la formule $u_n=u_0+nr$ pour obtenir directement le terme général d’une suite arithmétique.
7. Reconnaître une suite géométrique à partir de la relation $u_{n+1}=q\,u_n$.
8. Calculer $u_{n+p}$ et $u_n$ en géométrique via $u_{n+p}=u_n\,q^p$ et $u_n=u_0\,q^n$.
9. Donner le sens de variation d’une suite géométrique à partir du signe/valeur de $q$ en supposant tous les termes strictement positifs.
10. Définir “croissante à partir de $n_0$” et “décroissante à partir de $n_0$” avec les bonnes inégalités entre $u_n$ et $u_{n+1}$.
11. Savoir ce que signifie “monotone à partir d’un rang” : soit croissante, soit décroissante à partir de $n_0$.
12. Reconnaître une suite définie explicitement et savoir calculer un terme en remplaçant $n$ dans la formule donnée.