Karteikarten: Komplexe Zahlen und Funktionen verstehen — 24 Karten

Komplexe Zahlen — Darstellung?

Punkt (a, b) oder Vektor in der Ebene.

Reelle Achse — Lage?

Horizontale Achse in der komplexen Ebene.

Imaginäre Achse — Lage?

Vertikale Achse in der komplexen Ebene.

Konjugierte Zahl — Definition?

Spiegelt $z = a + bi$ an der reellen Achse.

Addition komplexer Zahlen — Mechanismus?

Komponentenweise Vektoraddition.

Multiplikation komplexer Zahlen — Formel?

$(a + bi)(c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i$.

Division komplexer Zahlen — Rationalisierung?

Mit $c - di$, $z_1/z_2 = (a + bi)(c - di)/(c^2 + d^2)$.

Betrag komplexer Zahl — Formel?

$|z| = oot{2}{a^2 + b^2}$.

Polarform — Darstellung?

$z = r ( ext{cos} heta + i ext{sin} heta)$.

Exponentialform — Formel?

$z = r e^{i heta}$.

Umrechnung in Polarform — Schritte?

Betrag $r$, Argument $ heta$ via $ an^{-1}(b/a)$.

Euler'sche Formel — Beziehung?

$e^{i heta} = ext{cos} heta + i ext{sin} heta$.

Quadratische Gleichung — Lösungsformel?

$x = rac{-b ext{±} oot{2}{b^2 - 4ac}}{2a}$.

Diskriminante — Bedeutung?

Bestimmt Art der Lösungen (reell/komplex).

Komplexe Lösungen — bei $ riangle<0$?

Zwei konjugierte komplexe Lösungen.

Kurvendiskussion — Ziel?

Graphencharakteristik durch Nullstellen, Extrema, Asymptoten.

Asymptote — Definition?

Gerade, die sich unendlich annähert.

Senkrechte Asymptote — Ursache?

Polstelle, $x=a$, $f(x) o ext{unendlich}$.

Schiefe Asymptote — Wann?

Grad des Zählers um 1 größer als Nenners.

Nullstellen — Bedeutung?

Schnittpunkte mit x-Achse, $f(x)=0$.

Funktionswerte — Bestimmung?

Einsetzen von $x$ in die Funktion.

Graph zeichnen — Schritte?

Nullstellen, Extrema, Asymptoten bestimmen, plotten.

Integral Substitution — Zweck?

Vereinfachung durch Variablenaustausch.

Partielle Integration — Formel?

$oxed{ ext{int } u dv = uv - ext{int } v du}$.