Lernzettel: Limites et continuité

📋 Plan du Cours

1. Continuité en un point
2. Continuité sur un intervalle
3. Opérations sur les fonctions continues
4. Images d’intervalles
5. Théorème des valeurs intermédiaires
6. Fonction réciproque
7. Racine n-ième
8. Méthode de dichotomie

📖 1. Continuité en un point

🔑 Notions clés & Définitions

• Continuité en un point : Une fonction f définie au voisinage de x₀ est continue en x₀ si $\lim_{x\to x_0}f(x)=f(x_0)$.
• Continuité à droite : Une fonction f est continue à droite en x₀ si $\lim_{\substack{x\to x_0\\x>x_0}}f(x)=f(x_0)$.
• Continuité à gauche : Une fonction f est continue à gauche en x₀ si $\lim_{\substack{x\to x_0\\x<x_0}}f(x)=f(x_0)$.

📝 Points essentiels

• Une fonction est continue en x₀ si et seulement si elle est continue à droite et à gauche en x₀.

📖 2. Continuité sur un intervalle

🔑 Notions clés & Définitions

• Continuité sur un intervalle : Une fonction est continue sur un intervalle ouvert si elle est continue en chaque point de cet intervalle.

★ À maîtriser

📌 Sur [a,b], une fonction est continue si elle est continue en tout point de ]a,b[, à droite en a et à gauche en b.

Compléments

• Pour f(1)=-2 et $f(x)=\frac{x^2-4x+3}{x-1}$ si x≠1, l’étude compare la limite en 1 avec la valeur f(1) afin de conclure sur la continuité en 1.

📖 3. Opérations sur les fonctions continues

★ À maîtriser

• Les fonctions polynômes, constantes, rationnelles, racine carrée, exponentielles, trigonométriques et leurs compositions sont continues sur tout intervalle où elles sont définies.

📌 Si f et g sont continues en a, alors fg, f+g, λf et |f| sont continues en a, où λ est réel.

📌 Si f est continue en x₀ et g est continue en f(x₀), alors g∘f est continue en x₀.

Compléments

📌 Si g(a)≠0, alors 1/g et f/g sont continues en a lorsque f et g le sont.

• Pour montrer qu’une fonction composée est continue sur I, on vérifie que f est continue sur I, que f(I) est contenu dans le domaine de g et que g est continue sur f(I).

📖 4. Images d’intervalles

🔑 Notions clés & Définitions

• Image d’un intervalle : Par une fonction continue est un intervalle.

★ À maîtriser

📌 Si f est continue sur [a,b], alors $f([a,b])=[m,M]$, où m et M sont respectivement le minimum et le maximum de f sur [a,b].

Compléments

📌 Si f est continue et strictement croissante sur un intervalle, l’image d’un intervalle se détermine à partir des images des bornes et des limites aux bornes non incluses.

• Pour f(x)=x²+1 sur [1,2], on obtient $f([1{,}2])=[2{,}5]$.

📖 5. Théorème des valeurs intermédiaires

🔑 Notions clés & Définitions

• Théorème des valeurs intermédiaires : Si f est continue sur un intervalle I, alors tout réel k compris entre f(a) et f(b) est l’image d’au moins un réel c∈[a,b], c’est-à-dire $f(c)=k$.

★ À maîtriser

📌 Si f est continue et strictement monotone sur I, alors pour tout k∈f(I), l’équation f(x)=k possède une unique solution dans I.

Compléments

• Le polynôme f(x)=x³−x+3 possède au moins une racine dans ]−2,0[ car f(−2)=−3 et f(0)=3.

💡 Astuce mémo

Continuité + valeurs encadrantes ⇒ valeur intermédiaire

📖 6. Fonction réciproque

★ À maîtriser

• Une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle I réalise une bijection de I sur J=f(I) et admet donc une fonction réciproque f⁻¹ de J vers I.

• La fonction réciproque f⁻¹ est continue et strictement monotone sur J, avec le même sens de monotonie que f.

Compléments

• L’image J d’une fonction continue strictement monotone a la même nature d’intervalle que I, et ses extrémités sont les limites de f aux extrémités de I.

📐 Formule — Si f est dérivable en x₀ et $f'(x_0)\ne0$, alors f⁻¹ est dérivable en y₀=f(x₀) et $\left(f^{-1}\right)'(y_0)=\frac{1}{f'(x_0)}=\frac{1}{f'(f^{-1}(y_0))}$.

📖 7. Racine n-ième

🔑 Notions clés & Définitions

• Racine n-ième : Pour n≥1, la fonction x↦xⁿ est continue et strictement croissante sur ℝ₊, et sa réciproque est la fonction racine n-ième x↦ⁿ√x.

★ À maîtriser

📐 Formule — Pour x,y positifs, $y=x^n\Longleftrightarrow x=\sqrt[n]{y}$ et $\sqrt[n]{a}=a^{1/n}$.

Compléments

📐 Formule — Pour a,b positifs, $\sqrt[n]{ab}=\sqrt[n]{a}\sqrt[n]{b}$ et $\sqrt[n]{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}$.

• Les valeurs particulières sont $\sqrt[n]{0}=0$ et $\sqrt[n]{1}=1$.

💡 Astuce mémo

Puissance croissante, puis fonction réciproque

📖 8. Méthode de dichotomie

🔑 Notions clés & Définitions

• Méthode de dichotomie : La dichotomie est une méthode qui approche une solution de f(x)=0 en divisant successivement par deux un intervalle où une racine est garantie.

★ À maîtriser

📌 Si f est continue sur [a,b], avec f(a)≤0 et f(b)≥0, alors il existe une racine dans [a,b] et l’étude du signe de f((a+b)/2) permet de conserver l’une des deux moitiés.

• À chaque étape, si $f\left(\frac{a_n+b_n}{2}\right)\le0$, on pose $a_{n+1}=\frac{a_n+b_n}{2}$ et $b_{n+1}=b_n$; sinon on pose $a_{n+1}=a_n$ et $b_{n+1}=\frac{a_n+b_n}{2}$.

Compléments

📐 Formule — Après n étapes, la longueur de l’intervalle conservé est $\frac{b_n-a_n}{2^n}$.

• Pour approcher √10, on applique la dichotomie à f(x)=x²−10 sur [3,4], car f(3)≤0 et f(4)≥0; après huit étapes, on obtient $3{,}160\le\sqrt{10}\le3{,}165$.

📊 Tableaux de synthèse

Types de continuité en un point

Notion	Limite utilisée	Condition
En x₀	Limite bilatérale	limite = f(x₀)
À droite en x₀	x→x₀ avec x>x₀	limite à droite = f(x₀)
À gauche en x₀	x→x₀ avec x<x₀	limite à gauche = f(x₀)