Logarithme décimal : propriétés et résolution

📋 Plan du Cours

1. Définition du logarithme décimal
2. Fonction logarithme : variations et limites
3. Relation fondamentale du logarithme décimal
4. Propriétés du logarithme décimal
5. Résolution d’équations et inéquations avec logarithmes

📖 1. Définition du logarithme décimal

🔑 Notions clés & Définitions

• Logarithme décimal : Le logarithme décimal est la valeur $x$ telle que $10^x=b$ pour un réel $b>0$, notée $\log(b)$.
• Fonction log : La fonction logarithme décimal associe à tout $b>0$ le réel $\log(b)$ défini par $10^{\log(b)}=b$.

📝 Points essentiels

• Pour $b>0$, $\log(b)$ est l’unique solution de l’équation $10^x=b$.
• On a l’équivalence $x=\log(b) \Leftrightarrow 10^x=b$.
• Le domaine de la fonction $\log$ est $]0,+\infty[$ et l’image est $\mathbb{R}$.
• $\log(10)=1$ et $\log(1)=0$.
• Exemples : $\log(2)$ vérifie $10^{\log(2)}=2$ et $\log(0{,}02)$ vérifie $10^{\log(0{,}02)}=0{,}02$.

💡 Astuce mémo

Penser à l’égalité clé : $10^{\log(b)}=b$ (le log “défait” la puissance de base 10).

📖 2. Fonction logarithme : variations et limites

🔑 Notions clés & Définitions

• Croissance de $\log$ : La fonction logarithme décimal est strictement croissante sur $]0,+\infty[$.
• Asymptote verticale : La courbe de $y=\log(x)$ admet une asymptote verticale en $x=0$.

📝 Points essentiels