Lernzettel: Maîtrise de la factorisation et des identités remarquables

📋 Plan du Cours

1. Définition et règle de factorisation
2. Mise en facteur par facteur commun
3. Différence de deux carrés
4. Développer un produit remarquable

📖 1. Définition et règle de factorisation

🔑 Notions clés & Définitions

• Factorisation : La factorisation transforme une somme ou une différence en un produit.
• Facteur commun : Un facteur commun est un même nombre ou terme présent dans chaque terme de l’expression.

📝 Points essentiels

• La factorisation de $ka+kb$ s’écrit $ka+kb=k(a+b)$.
• La factorisation de $ka-kb$ s’écrit $ka-kb=k(a-b)$.
• Exemple : $4x-4=4(x-1)$.
• Exemple : $25-x^2= (5+x)(5-x)$.

💡 Astuce mémo

Somme → (a+b), différence → (a-b), et le facteur $k$ sort devant.

📖 2. Mise en facteur par facteur commun

🔑 Notions clés & Définitions

• Mise en facteur : Mettre en facteur consiste à extraire un même facteur présent dans plusieurs termes pour obtenir un produit.
• Produit factorisé : Une forme factorisée exprime une expression sous forme de produit de facteurs.

📝 Points essentiels

• $12x^2-15x$ se factorise par le facteur commun $3x$ : $12x^2-15x=3x(4x-5)$.
• $16x^2-144$ se factorise en $16(x^2-9)$.
• $16(x^2-9)$ prépare l’application de la différence de deux carrés.

💡 Astuce mémo

Repère d’abord le plus grand facteur commun visible (nombre et/ou $x$), puis factorise tout ce qui reste.

📖 3. Différence de deux carrés

🔑 Notions clés & Définitions

• Identité remarquable : Une identité remarquable est une formule standard que l’on reconnaît et réutilise pour factoriser ou développer.
• Différence de deux carrés : La différence de deux carrés est une expression de la forme $a^2-b^2$ qui se factorise en deux facteurs.

📝 Points essentiels

• L’identité remarquable est $a^2-b^2=(a+b)(a-b)$.
• $25-x^2$ s’identifie à $5^2-x^2$ donc $25-x^2=(5+x)(5-x)$.
• $x^2-64=x^2-8^2=(x+8)(x-8)$.
• $4x^2-49=(2x)^2-7^2=(2x+7)(2x-7)$.

💡 Astuce mémo

Carrés au départ : $+$ du même signe et $-$ du signe opposé dans $(a+b)(a-b)$.

📖 4. Développer un produit remarquable

🔑 Notions clés & Définitions

• Produit remarquable : Un produit remarquable est une multiplication de deux binômes qui donne directement un carré ou une différence de carrés.
• Développer : Développer consiste à transformer un produit de termes en une somme algébrique équivalente.

📝 Points essentiels

• Pour $G=(x+6)(x-6)$, on obtient $G=x^2-36$.
• Pour $H=(2x-5)(2x+5)$, on obtient $H=4x^2-25$.
• Dans ces exemples, on retrouve la forme $a^2-b^2$ avec $a=x$ ou $a=2x$.

💡 Astuce mémo

Si tu vois $(a+b)(a-b)$, développe en $a^2-b^2$ (et rien d’autre).

⚠️ Pièges & confusions fréquents

1. Confondre $ka+kb=k(a-b)$ au lieu de $k(a+b)$ donne un signe faux dans la factorisation.
2. Oublier que la différence de deux carrés s’écrit $(a+b)(a-b)$, pas $(a-b)(a+b)$ avec un ordre de signes incohérent.
3. Factoriser $x^2-64$ comme $x(x-8)$ au lieu de reconnaître $8^2$ pour obtenir $(x+8)(x-8)$.
4. Pour $4x^2-49$, oublier d’utiliser $(2x)^2$ et traiter $4x^2$ comme un carré déjà “tout fait”.
5. Développer $(x+6)(x-6)$ en $x^2+6x-6x+6$ au lieu de $x^2-36$ (erreur de produits de binômes).
6. Se tromper sur le signe de $b^2$ : $a^2-b^2$ signifie soustraction à la fin, pas addition.

✅ Checklist Examen

1. Écrire la règle $ka+kb=k(a+b)$ pour factoriser une somme avec facteur commun.
2. Écrire la règle $ka-kb=k(a-b)$ pour factoriser une différence avec facteur commun.
3. Factoriser $4x-4$ sous la forme d’un produit.
4. Factoriser $12x^2-15x$ en identifiant le facteur commun $3x$.
5. Factoriser $16x^2-144$ en utilisant $16(x^2-9)$.
6. Reconnaître l’identité $a^2-b^2=(a+b)(a-b)$ dans une expression.
7. Factoriser $25-x^2$ en utilisant $5^2-x^2=(5+x)(5-x)$.
8. Factoriser $x^2-64$ en utilisant $x^2-8^2=(x+8)(x-8)$.
9. Factoriser $4x^2-49$ en utilisant $(2x)^2-7^2=(2x+7)(2x-7)$.
10. Développer $(x+6)(x-6)$ en $x^2-36$.
11. Développer $(2x-5)(2x+5)$ en $4x^2-25$.