Quiz: Maîtrise des limites de suites — 18 Fragen

1. Que signifie le fait qu’une suite admet une limite réelle finie égale à l ?

A. Ses termes deviennent tous égaux à l dès le rang 0

B. Ses termes oscillent sans se rapprocher d’une valeur fixe

C. Ses termes restent dans un intervalle ouvert centré en l à partir d’un certain rang

D. Ses termes sont toujours compris entre 0 et l

Answer: (C)

Erklärung

Une suite a pour limite réelle l si, à partir d’un certain rang, tous ses termes appartiennent à tout intervalle ouvert centré en l. Cela exprime que les termes se rapprochent de l quand n devient grand.

2. Quelle propriété est nécessaire pour qu’une suite ait une limite unique ?

A. Elle doit être géométrique

B. Elle doit être monotone

C. Si elle admet une limite, cette limite est unique

D. Elle doit être bornée

Answer: (C)

Erklärung

Le cours indique que dès qu’une suite admet une limite, cette limite est unique. La monotonie ou la bornitude ne suffisent pas à elles seules à garantir cette unicité.

3. Comment caractérise-t-on une suite majorée ?

A. Il existe un réel m tel que tous ses termes vérifient u_n \ge m

B. Il existe un réel M tel que tous ses termes vérifient u_n \le M

C. Ses termes finissent par être strictement positifs

D. Il existe deux réels m et M tels que m \le u_n \le M

Answer: (B)

Erklärung

Une suite est majorée s’il existe un plafond M au-dessus duquel aucun terme ne monte. La condition avec deux bornes correspond plutôt à une suite bornée.

4. Quelle affirmation décrit correctement une suite bornée ?

A. Elle est forcément convergente

B. Elle ne peut pas osciller

C. Elle tend nécessairement vers 0

D. Elle est à la fois majorée et minorée

Answer: (D)

Erklärung

Une suite bornée est encadrée entre une borne inférieure et une borne supérieure, donc elle est à la fois majorée et minorée. En revanche, elle peut très bien osciller sans converger.

5. Que conclut-on si u_n \le v_n à partir d’un certain rang et si v_n tend vers +∞ ?

A. Aucune conclusion n’est possible

B. u_n tend vers la même limite finie que v_n

C. u_n tend vers +∞

D. u_n tend vers 0

Answer: (C)

Erklärung

Par le théorème de comparaison des limites, une suite située en dessous d’une suite qui diverge vers +∞ diverge elle aussi vers +∞. Le sens de l’inégalité est compatible avec la divergence de référence.

6. Que permet de déduire le théorème de comparaison si u_n \ge v_n à partir d’un certain rang et si v_n tend vers -∞ ?

A. u_n tend vers -∞

B. u_n tend vers +∞

C. u_n converge vers une valeur finie

D. u_n est nécessairement bornée

Answer: (A)

Erklärung

Si une suite est au-dessus d’une suite qui plonge vers -∞, elle doit elle aussi tendre vers -∞. Le théorème fonctionne dans le sens de la divergence de la suite de comparaison.

7. Dans le théorème des gendarmes, quelle condition d’encadrement doit vérifier la suite u_n ?

A. u_n = v_n = w_n pour tout n

B. u_n \le v_n + w_n pour tout n

C. v_n < w_n et u_n est quelconque

D. v_n \le u_n \le w_n à partir d’un certain rang

Answer: (D)

Erklärung

Le théorème exige un encadrement double du type v_n \le u_n \le w_n à partir d’un certain rang. Sans cette inégalité des deux côtés, on ne peut pas conclure par les gendarmes.

8. Que peut-on conclure si v_n \le u_n \le w_n et si v_n et w_n convergent vers la même limite l ?

A. u_n converge aussi vers l

B. u_n converge forcément plus lentement que v_n

C. u_n diverge vers +∞

D. u_n n’a pas de limite

Answer: (A)

Erklärung

Si deux suites encadrantes convergent vers la même valeur, la suite intermédiaire converge vers cette même valeur. C’est précisément le principe du théorème des gendarmes.

9. Quelle est la limite de q^n lorsque q > 1 ?

A. +∞

B. 0

C. 1

D. La suite ne converge pas

Answer: (A)

Erklärung

Quand q est strictement supérieur à 1, les puissances q^n grandissent sans borne. La limite est donc +∞.

10. Quel comportement a la suite q^n lorsque q \le -1 ?

A. Elle converge vers 1

B. Elle ne converge pas

C. Elle converge vers 0

D. Elle converge vers une valeur négative

Answer: (B)

Erklärung

Pour q \le -1, la suite géométrique ne converge pas, notamment à cause des alternances de signe et d’amplitude. Le cas q = -2 illustre cette absence de limite.

11. Quelle conclusion s’impose pour une suite croissante qui n’est pas majorée ?

A. Elle diverge vers +∞

B. Elle diverge vers −∞

C. Elle converge vers 0

D. Elle converge vers une limite finie

Answer: (A)

Erklärung

Une suite croissante non majorée ne peut pas se stabiliser vers une valeur finie ; elle tend vers +∞. La majoration est donc la condition qui distingue convergence et divergence vers +∞ pour une suite croissante.

12. Si une suite croissante admet une limite finie l, quelle propriété vérifie-t-elle pour tout n ?

A. On a u_n = l pour tout n

B. On a u_n < 0 pour tout n

C. On a u_n ≥ l pour tout n

D. On a u_n ≤ l pour tout n

Answer: (D)

Erklärung

Pour une suite croissante convergente vers l, tous ses termes restent inférieurs ou égaux à la limite. Cela traduit le fait qu’une suite croissante qui converge est nécessairement majorée par sa limite.

13. Que vaut la limite de la somme de deux suites quand u_n → l et v_n → l' ?

A. l − l'

B. l / l'

C. l × l'

D. l + l'

Answer: (D)

Erklärung

Lorsque les deux limites existent et qu’il n’y a pas de forme indéterminée, la limite de la somme est la somme des limites. On obtient donc l + l'.

14. Dans quel cas peut-on conclure que u_n / v_n tend vers l / l' ?

A. Quand v_n tend vers 0

B. Quand u_n et v_n sont seulement bornées

C. Quand u_n tend vers +∞

D. Quand v_n tend vers une valeur non nulle

Answer: (D)

Erklärung

La règle du quotient s’applique lorsque le dénominateur converge vers une valeur non nulle. Si v_n tend vers 0, on tombe au contraire dans une situation potentiellement indéterminée ou divergente.

15. Quelle forme est une forme indéterminée classique pour un produit de suites ?

A. l / l'

B. l + l'

C. 1 × 1

D. 0 × ∞

Answer: (D)

Erklärung

Le produit 0 × ∞ ne permet pas de conclure directement, car l’expression peut donner des comportements différents selon les suites. C’est l’une des formes indéterminées à reconnaître avant d’appliquer une règle de limites.

16. Quelle technique est la plus adaptée pour calculer la limite d’un quotient de polynômes en n ?

A. Multiplier par le plus petit degré

B. Additionner les termes constants

C. Remplacer n par 0

D. Factoriser par le terme de plus haut degré

Answer: (D)

Erklärung

Pour lever l’indétermination d’un quotient de polynômes, on factorise par le terme dominant, c’est-à-dire le terme de plus haut degré. Les termes de plus faible degré deviennent alors négligeables pour la limite.

17. Quelle est la limite de e^x lorsque x tend vers +∞ ?

A. +∞

B. 1

C. 0

D. −∞

Answer: (A)

Erklärung

La fonction exponentielle croît sans borne quand x augmente, donc e^x tend vers +∞. Cette propriété est centrale dans l’étude des limites de l’exponentielle.

18. Quelle est la limite de e^x lorsque x tend vers −∞ ?

A. 1

B. Aucune limite

C. 0

D. +∞

Answer: (C)

Erklärung

Quand x tend vers −∞, l’exponentielle décroît vers 0. On peut le comprendre en reliant e^x à une puissance d’une quantité de module inférieur à 1.