Lernzettel: Maîtrise des nombres relatifs et du plan

📋 Plan du Cours

1. Nombres relatifs et opposés
2. Abscisses sur une droite
3. Comparaison des nombres relatifs
4. Repérage dans le plan
5. Addition des nombres relatifs
6. Expressions algébriques et priorités
7. Tester une égalité

📖 1. Nombres relatifs et opposés

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombre relatif : Un nombre relatif appartient à l’ensemble des nombres positifs et négatifs.
• Nombre positif : Un nombre positif est un nombre plus grand que 0.
• Nombre négatif : Un nombre négatif est un nombre plus petit que 0.
• Nombres relatifs opposés : Des nombres opposés ont la même distance à 0 et des signes différents.

📝 Points essentiels

• Un nombre sans signe est considéré comme positif.
• Le zéro est à la fois positif et négatif.
• Un nombre relatif est déterminé par son signe et sa distance à 0.
• L’opposé de +5 est -5 et l’opposé de -6,2 est +6,2.

💡 Astuce mémo

Opposé = même distance à 0, signe inversé.

📖 2. Abscisses sur une droite

🔑 Notions clés & Définitions

• Droite graduée : Une droite graduée est une droite munie de repères permettant d’y lire des positions par un nombre.
• Abscisse : L’abscisse est le nombre associé à un point d’une droite graduée.
• Origine : L’origine d’une graduation correspond au point de valeur 0.

📝 Points essentiels

• L’abscisse d’un point est son nombre sur la droite graduée.
• Deux points symétriques par rapport à l’origine ont des abscisses opposées.
• Dans l’exemple, le point A a une abscisse positive et le point B a une abscisse négative.

💡 Astuce mémo

À gauche de 0 : abscisse négative ; à droite de 0 : abscisse positive.

📖 3. Comparaison des nombres relatifs

🔑 Notions clés & Définitions

• Comparaison : Comparer deux nombres relatifs consiste à déterminer lequel est plus grand que l’autre.
• Règle des nombres positifs : La comparaison de deux positifs suit simplement leur valeur numérique.
• Règle des signes contraires : La comparaison dépend d’abord du signe de chaque nombre.
• Règle des nombres négatifs : Pour deux négatifs, le plus grand est celui qui est le plus proche de 0.

📝 Points essentiels

• Si les deux nombres sont positifs, on les compare comme des nombres ordinaires.
• Si l’un est positif et l’autre négatif, le positif est toujours plus grand que le négatif.
• Si les deux nombres sont négatifs, le plus grand est celui qui est le plus proche de 0.
• Exemple : -6 < -4 car -6 est plus loin de 0 que -4, tout comme -5,3 > -5,15.

💡 Astuce mémo

Négatifs : plus près de 0 = plus grand.

📖 4. Repérage dans le plan

🔑 Notions clés & Définitions

• Repère orthogonal : Un repère orthogonal du plan est formé de deux droites graduées perpendiculaires qui se croisent à l’origine.
• Axe des abscisses : L’axe des abscisses est la droite horizontale du repère.
• Axe des ordonnées : L’axe des ordonnées est la droite verticale du repère.
• Coordonnées d’un point : Les coordonnées d’un point sont une abscisse et une ordonnée associées à sa position dans le repère.

📝 Points essentiels

• L’origine du repère est le point d’intersection des deux axes.
• Dans une écriture (x ; y), x est l’abscisse et y est l’ordonnée.
• L’exemple donne D(-3 ; 2) et C(3 ; 3).
• L’exercice demande de placer S(-5 ; -2), T(-3 ; 5), U(6 ; -2), V(0 ; -2) et W(-2 ; 0).

💡 Astuce mémo

Dans (x ; y), x horizontal et y vertical.

📖 5. Addition des nombres relatifs

🔑 Notions clés & Définitions

• Addition de deux nombres de même signe : Une addition de deux nombres de même signe conserve le signe commun et combine leurs distances à 0.
• Addition de deux nombres de signes contraires : Une addition de signes contraires conserve le signe du nombre le plus éloigné de 0 et transforme l’opération en soustraction.
• Distance à 0 : La distance à 0 est la valeur absolue utilisée pour décider de l’addition de nombres relatifs.

📝 Points essentiels

• Pour ajouter deux nombres de même signe, on garde le signe des deux nombres et on additionne les distances à 0.
• (+3,6) + (+6,4) = (+10) et (-3,6) + (-6,4) = (-10).
• Pour ajouter deux nombres de signes contraires, on garde le signe de celui qui a la plus grande distance à 0 et on soustrait.
• La règle “signes contraires” revient à transformer l’addition en une soustraction de distances à 0.

💡 Astuce mémo

Même signe : on additionne. Signes contraires : on soustrait en gardant le signe du plus grand éloigné de 0.

📖 6. Expressions algébriques et priorités

🔑 Notions clés & Définitions

• Parenthèses : Les parenthèses indiquent une partie d’expression à traiter avant le reste.
• Priorités de calcul : Les priorités fixent l’ordre dans lequel on effectue les opérations dans une expression.
• Simplification d’une expression : Simplifier une expression consiste à supprimer les parenthèses, regrouper les + et les - et appliquer les règles d’addition.

📝 Points essentiels

• Pour réécrire des sommes, remplacer une expression de type -3 par (-3) et +2 par (+2) aide à garder le signe attaché aux nombres.
• Avant de calculer, on supprime les parenthèses, on regroupe les signes + et - puis on applique les règles d’addition.
• L’ordre des priorités est : parenthèses, multiplications et divisions, puis additions et soustractions.
• Exemple : A = (-2 - (+3)) - (+5 + (-7)) donne -3 après simplification des signes et des additions.

💡 Astuce mémo

Parenthèses d’abord, puis “fois/divisé”, puis “plus/moins”.

📖 7. Tester une égalité

🔑 Notions clés & Définitions

• Égalité : Une égalité est vraie si, en remplaçant les valeurs, les deux membres donnent le même résultat.
• Valeur de test : La valeur de test est une valeur choisie pour remplacer l’inconnue afin de vérifier une égalité.
• 1er membre et 2nd membre : Les deux expressions séparées par le signe “=” constituent le 1er membre et le 2nd membre.

📝 Points essentiels

• Pour tester y - 2 = -6 - y pour y = -1, on obtient -3 au 1er membre et -5 au 2nd membre, donc l’égalité est fausse.
• Pour tester y - 2 = -6 - y pour y = -2, on obtient -4 au 1er membre et -4 au 2nd membre, donc l’égalité est vraie.
• On remplace la valeur test directement dans chaque membre avant de calculer.
• Le résultat final de comparaison (même nombre ou non) décide de la vérité de l’égalité.

💡 Astuce mémo

Égalité : tu calcules les deux membres avec la même valeur, puis tu compares.

⚠️ Pièges & confusions fréquents

1. Oublier que “sans signe” signifie positif et donc traiter un nombre comme négatif par erreur.
2. Confondre opposés et nombres simplement “différents” : il faut la même distance à 0 et des signes contraires.
3. Pour deux nombres négatifs, croire que “le plus grand en valeur absolue est plus grand” ; en réalité, le plus proche de 0 est le plus grand.
4. Mélanger abscisse et ordonnée dans (x ; y) en échangeant horizontal et vertical.
5. Dans un calcul, perdre le signe attaché aux nombres lors de la suppression des parenthèses.
6. Appliquer les priorités dans le mauvais ordre (par exemple faire une addition avant une parenthèse).
7. Tester une égalité en calculant seulement un des deux membres au lieu des deux.

✅ Checklist Examen

1. Définir ce qu’est un nombre relatif, un nombre positif et un nombre négatif.
2. Donner la condition pour deux nombres relatifs opposés.
3. Identifier le rôle du signe et de la distance à 0 dans la détermination d’un nombre relatif.
4. Lire l’abscisse d’un point sur une droite graduée et donner une abscisse négative/positive correspondante.
5. Expliquer ce que signifie “symétrique par rapport à l’origine” en termes d’abscisses opposées.
6. Comparer deux nombres relatifs en distinguant positifs/positif-négatif/négatifs.
7. Comparer deux nombres négatifs en utilisant la règle du plus proche de 0.
8. Définir un repère orthogonal et nommer ses deux axes.
9. Associer correctement (x ; y) : x abscisse et y ordonnée.
10. Placer ou vérifier la position de points du type S(-5 ; -2), T(-3 ; 5), U(6 ; -2), V(0 ; -2), W(-2 ; 0).
11. Effectuer une addition de relatifs de même signe en gardant le signe et en additionnant les distances à 0.
12. Effectuer une addition de relatifs de signes contraires en soustrayant et en gardant le signe du plus éloigné de 0.
13. Réécrire une expression en attachant les signes aux nombres via des parenthèses pour éviter les erreurs.
14. Simplifier une expression : supprimer les parenthèses, regrouper les + et les -, puis appliquer les règles d’addition.