Lernzettel: Mathématiques fondamentales et géométrie

📋 Plan du Cours

1. Équations du second degré
2. Étude des fonctions
3. Dérivation et convexité
4. Suites arithmétiques et géométriques
5. Probabilités conditionnelles et Bayes
6. Variables aléatoires et lois
7. Géométrie dans le plan
8. Trigonométrie du cercle

📖 1. Équations du second degré

🔑 Notions clés & Définitions

• Forme générale : Expression ax² + bx + c = 0 avec a ≠ 0 qui modélise une équation du second degré.
• Discriminant : Quantité Δ = b² − 4ac qui détermine le nombre et la nature des solutions réelles.
• Forme canonique : Écriture ax² + bx + c = a(x − α)² + β reliant les coefficients à un sommet et une valeur β.
• Racines x₁, x₂ : Valeurs solutions notées x₁ et x₂ lorsque l’équation admet deux racines réelles distinctes.

📝 Points essentiels

• Si Δ > 0, les deux solutions réelles sont x₁,₂ = (−b ± √Δ)/(2a).
• Si Δ = 0, l’équation admet une unique solution réelle double x₀ = −b/(2a).
• Si Δ < 0, l’ensemble des solutions réelles est vide, noté S = ∅.
• Pour ax² + bx + c = 0, on a α = −b/(2a) et β = Δ/(4a) dans la forme canonique.
• Si Δ ≥ 0, la factorisation s’écrit ax² + bx + c = a(x − x₁)(x − x₂).
• Si Δ ≥ 0, on peut retrouver les racines via x₁ + x₂ = −b/a et x₁x₂ = c/a.

💡 Astuce mémo

Δ signe dit “réel ?”: Δ>0 deux, Δ=0 une double, Δ<0 aucune.

📖 2. Étude des fonctions

🔑 Notions clés & Définitions

• Ensemble de définition : Ensemble de toutes les valeurs de x pour lesquelles l’expression de la fonction possède un sens.
• Parité : Propriété d’une fonction liée à sa symétrie : f paire vérifie f(−x)=f(x) et f impaire vérifie f(−x)=−f(x).
• Extremum : Valeur maximale ou minimale prise par une fonction sur un intervalle, caractérisée par une inégalité sur tout l’intervalle.
• Intersection avec l’axe des abscisses : Point(x) où la courbe coupe l’axe des abscisses, correspondant aux solutions de f(x)=0.

📝 Points essentiels

• Pour addition et soustraction : (f+g)(x)=f(x)+g(x) et (f−g)(x)=f(x)−g(x).
• Pour produit et quotient : (fg)(x)=f(x)g(x) et (f/g)(x)=f(x)/g(x) avec g(x)≠0.
• La composition (f∘g)(x) se calcule en remplaçant x par g(x puis en appliquant f).
• Une fonction croissante sur I vérifie f(x₁) ≤ f(x₂) dès que x₁ < x₂ dans I.
• Une fonction décroissante sur I vérifie f(x₁) ≥ f(x₂) dès que x₁ < x₂ dans I.
• Max en a signifie f(a) ≥ f(x) pour tout x de l’intervalle I, et min en a signifie l’inverse.

💡 Astuce mémo

Croissante = flèche vers le haut en suivant x, décroissante = flèche vers le bas.

📖 3. Dérivation et convexité

🔑 Notions clés & Définitions

• Dérivée en un point : Limite qui mesure le taux de variation local : f'(a) = lim(h→0) [f(a+h)−f(a)]/h quand elle existe.
• Tangente : Droite passant par (a,f(a)) dont la pente est donnée par f'(a), écrite y = f'(a)(x−a)+f(a).
• Dérivées usuelles : Formules directement utilisables pour dériver des fonctions simples comme xⁿ, ln x, sin x ou eˣ.
• Convexité : Propriété géométrique contrôlée par le signe de la dérivée seconde : f convexe si f''>0 et concave si f''<0.

📝 Points essentiels

• La pente de la tangente en a est f'(a) et l’équation s’écrit y = f'(a)(x−a)+f(a).
• Si f' > 0 sur un intervalle, alors f y est croissante, et si f' < 0, alors f y est décroissante.
• Pour des polynômes : (xⁿ)' = n xⁿ−1 pour n ∈ ℕ*.
• Règle du produit : (uv)' = u'v + uv' et règle du quotient : (u/v)' = (u'v−uv')/v² avec v≠0.
• Par composition : (f∘g)'(x) = f'(g(x))×g'(x).
• Convexité : f'' change de signe au point d’inflexion, avec f''>0 convexe et f''<0 concave.

💡 Astuce mémo

f'' signe = forme : positif = “creux vers le haut” (convexe), négatif = l’inverse (concave).

📖 4. Suites arithmétiques et géométriques

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite : Fonction de ℕ vers les nombres qui décrit une succession de termes (uₙ) à partir d’un rang ou sur tout ℕ.
• Suite arithmétique : Suite où la différence entre deux termes consécutifs est constante, notée r.
• Suite géométrique : Suite où le rapport entre deux termes consécutifs est constant, noté q.
• Somme partielle : Somme des termes d’une suite sur un intervalle {0,…,n}, notée Sₙ dans le cours.

📝 Points essentiels

• Pour une suite arithmétique : uₙ₊₁ = uₙ + r et uₙ = u₀ + nr.
• La somme arithmétique vérifie Sₙ = (n+1)(u₀+uₙ)/2.
• Pour une suite géométrique : uₙ₊₁ = q uₙ et uₙ = u₀ qⁿ.
• La somme géométrique pour q≠1 est Sₙ = u₀(1−qⁿ⁺¹)/(1−q).
• Si uₙ₊₁ ≥ uₙ pour tout n alors la suite est croissante, et si uₙ₊₁ ≤ uₙ elle est décroissante.
• Majorée signifie uₙ ≤ M pour tout n et minorée signifie uₙ ≥ m pour tout n.

💡 Astuce mémo

Arithmétique = “+r” (différence), Géométrique = “×q” (rapport).

📖 5. Probabilités conditionnelles et Bayes

🔑 Notions clés & Définitions

• Probabilité conditionnelle : Mesure de P(B) sachant que A est réalisé, donnée par P_A(B)=P(A∩B)/P(A) quand P(A)>0.
• Indépendance : Situation où le fait de savoir A n’influence pas la probabilité de B, caractérisée par P(A∩B)=P(A)P(B).
• Formule des probabilités totales : Décomposition de P(B) à partir d’une partition de Ω en événements A_i et des probabilités conditionnelles P_{A_i}(B).
• Formule de Bayes : Relation qui réexprime P_A(B) à partir de P(A), P_A(B) et d’une somme de termes pondérés par la partition.

📝 Points essentiels

• On a P(Ā)=1−P(A), et si A∩B=∅ alors P(A∪B)=P(A)+P(B).
• Pour deux événements : P(A∩B)=P(A)P_A(B)=P(B)P_B(A).
• Si A₁,…,Aₙ forment une partition de Ω, alors P(B)=∑{i=1}^n P(A_i)P{A_i}(B).
• A et B sont indépendants si et seulement si P(A∩B)=P(A)P(B).
• La formule de Bayes s’écrit P_A(B)=(P(A)P_A(B))/∑{i=1}^n P(A_i)P{A_i}(B).
• Si P(A)>0, alors P_A(B) est bien définie, sinon le cours ne donne pas de formule.

💡 Astuce mémo

Bayes = “retour” avec une partition : un même B se redistribue selon les A_i.

📖 6. Variables aléatoires et lois

🔑 Notions clés & Définitions

• Variable aléatoire : Fonction X : Ω → ℝ qui associe à chaque issue un nombre réel.
• Loi de X : Description de X par la probabilité que X prenne chaque valeur x, notée P(X=x) pour les valeurs réelles pertinentes.
• Espérance : Mesure moyenne d’une variable aléatoire, calculée par une somme pour le discret et une intégrale pour le continu.
• Variance : Mesure de dispersion : Var(X)=E[(X−E(X))²] et σ(X)=√Var(X).
• Lois usuelles : Familles de distributions standard listées dans le cours, avec leurs paramètres et leurs valeurs d’espérance et de variance.

📝 Points essentiels

• Dans le discret : E(X)=∑ x_i P(X=x_i) et Var(X)=E(X²)−(E(X))².
• Dans le continu : E(X)=∫_ℝ x f_X(x) dx.
• Par linéarité : E(aX+b)=aE(X)+b.
• Variance : Var(aX+b)=a²Var(X).
• Si X et Y sont indépendantes : E(X+Y)=E(X)+E(Y) et Var(X+Y)=Var(X)+Var(Y).
• Pour une loi normale N(μ,σ²), l’espérance vaut μ et la variance vaut σ².

💡 Astuce mémo

Variance suit “l’écart à la moyenne au carré”, donc l’échelle au facteur a devient a².

📖 7. Géométrie dans le plan

🔑 Notions clés & Définitions

• Produit scalaire : Quantité u·v qui relie composantes et angle : u·v=x_ux_v+y_uy_v et aussi u·v=||u|| ||v|| cosθ.
• Orthogonalité : Relation entre vecteurs où u⊥v équivaut à u·v=0.
• Équation cartésienne d’une droite : Représentation ax+by+c=0 avec (a,b)≠(0,0) pour une droite du plan.
• Cercle : Ensemble des points vérifiant (x−a)²+(y−b)²=R², où (a,b) est le centre et R le rayon.

📝 Points essentiels

• Pour u=(x_u,y_u) et v=(x_v,y_v), le produit scalaire vaut u·v=x_ux_v+y_uy_v.
• u ⟂ v équivaut à u·v=0 et à la condition d’orthogonalité dans le plan.
• Une droite en vecteur directeur u s’écrit OM = OA + t u, avec t∈ℝ.
• La distance point-droite d(M,(d)) est |ax_n+by_m+c|/√(a²+b²).
• La distance entre points est AB=√((x_B−x_A)²+(y_B−y_A)²).
• Pour un cercle de rayon R : longueur=2πR et aire=πR².

💡 Astuce mémo

Distance point-droite : valeur absolue sur √(a²+b²), même “mécanique” que la norme du vecteur (a,b).

📖 8. Trigonométrie du cercle

🔑 Notions clés & Définitions

• Cercle trigonométrique : Cercle utilisé pour relier un angle θ aux coordonnées du point associé, donnant cosθ et sinθ.
• Identité fondamentale : Relation liant sin et cos : sin²x + cos²x = 1 pour tout x où l’expression est définie.
• Formules d’addition : Règles exprimant sin(a±b) et cos(a±b) en fonction de sin a, cos a, sin b et cos b.
• Formules de duplication : Formules donnant cos(2a) et sin(2a) à partir de cos a et sin a.
• Valeurs remarquables : Valeurs standard de sin, cos et tan pour certains angles comme 0, π/6, π/4, π/3 et π.

📝 Points essentiels

• Les identités imposent sin²x+cos²x=1 et 1+tan²x=1/cos²x et 1+cot²x=1/sin²x.
• Addition : cos(a+b)=cos a cos b−sin a sin b et sin(a+b)=sin a cos b+cos a sin b.
• Soustraction : cos(a−b)=cos a cos b+sin a sin b et sin(a−b)=sin a cos b−cos a sin b.
• Duplication : cos(2a)=1−2sin²a et sin(2a)=2sin a cos a.
• Linéarisation : sin²a=(1−cos(2a))/2.
• Valeur : sin(π/4)=√2/2, cos(π/3)=1/2, tan(π/6)=√3/3, et tan(π/2) est n.d.

💡 Astuce mémo

Addition ressemble à “cos cos − sin sin” et sin(a+b) garde les deux “croisés” avec plus.

⚠️ Pièges & confusions fréquents

1. Avec Δ=0, on a une unique racine réelle mais elle est double, donc pas deux valeurs distinctes à fournir.
2. En forme canonique, confondre α=−b/(2a) et β=Δ/(4a) conduit à des erreurs sur le sommet S(α,β).
3. Pour le quotient de fonctions, oublier la condition g(x)≠0 rend la formule invalide.
4. Un extremum n’est pas seulement un point où la dérivée change : le cours le relie à la comparaison valeur/ensemble sur l’intervalle.
5. En dérivation, la règle de composition est (f∘g)'(x)=f'(g(x))×g'(x), pas l’inverse.
6. En probabilités, confondre indépendance (P(A∩B)=P(A)P(B)) et la définition de conditionnelle P_A(B)=P(A∩B)/P(A).
7. Pour les distances en géométrie, mélanger la formule point-droite avec la distance entre deux points donne des résultats incohérents.

✅ Checklist Examen

1. Résoudre ax²+bx+c=0 en utilisant le discriminant Δ et distinguer Δ>0, Δ=0, Δ<0.
2. Établir α et β dans la forme canonique ax²+bx+c=a(x−α)²+β puis lire le sommet S(α,β).
3. Factoriser ax²+bx+c en a(x−x₁)(x−x₂) quand Δ≥0 et utiliser somme/produit des racines pour vérifier.
4. Déterminer l’ensemble de définition d’une fonction à partir de la condition de sens des expressions.
5. Calculer des opérations sur fonctions : (f±g)(x), (fg)(x), (f/g)(x) avec g(x)≠0, puis composer (f∘g)(x).
6. Décrire par parité si f est paire ou impaire et déduire les variations via les définitions de croissante/décroissante.
7. Déterminer la tangente en a à partir de f'(a) et savoir utiliser les règles de dérivation (linéarité, produit, quotient, composition).
8. Utiliser le signe de f' pour la variation, puis le signe de f'' pour convexité/concavité et repérer l’inflexion via changement de signe.
9. Reconnaître une suite arithmétique ou géométrique et appliquer les formules de uₙ et Sₙ correspondantes.
10. Utiliser les probabilités : opérations sur événements, formule des probabilités conditionnelles, indépendance et probabilités totales avec une partition.
11. Appliquer la formule de Bayes avec les termes P(A_i) et P_{A_i}(B) fournis.
12. Calculer espérance, variance et écart-type pour une loi discrète ou continue en mobilisant les formules du cours, et utiliser les propriétés sous indépendance.
13. En géométrie, calculer un produit scalaire puis tester orthogonalité, déterminer une droite (forme paramétrique ou cartésienne) et calculer des distances.
14. En trigonométrie, utiliser identités fondamentales, formules d’addition et de duplication, puis calculer avec les valeurs remarquables du tableau.