Lernzettel: Nombres complexes et polynômes

📋 Plan du Cours

1. Formules d’Euler et de Moivre
2. Équations du second degré complexes
3. Racines n-ièmes de l’unité
4. Arithmétique des polynômes
5. Relations de Viète et fractions rationnelles

📖 1. Formules d’Euler et de Moivre

★ À maîtriser

📐 Formule — La formule d’Euler est $e^{i\theta}=\cos(\theta)+i\sin(\theta)$.

📐 Formule — Les formules réciproques sont $\cos(\theta)=\frac{e^{i\theta}+e^{-i\theta}}{2}$ et $\sin(\theta)=\frac{e^{i\theta}-e^{-i\theta}}{2i}$.

📐 Formule — La formule de Moivre est $(\cos\theta+i\sin\theta)^n=\cos(n\theta)+i\sin(n\theta)$.

Compléments

• Pour linéariser une puissance de cosinus ou de sinus, on utilise d’abord la formule d’Euler, puis on développe avec le binôme de Newton.

💡 Astuce mémo

Exponentielle complexe → cosinus et sinus → angle multiplié

📖 2. Équations du second degré complexes

★ À maîtriser

📐 Formule — Pour $az^2+bz+c=0$ avec $a,b,c\in\mathbb C$, le discriminant est $\Delta=b^2-4ac$.

• Pour résoudre le trinôme complexe, on cherche $\delta=x+iy$ tel que $\delta^2=\Delta$.

📐 Formule — Les solutions de $az^2+bz+c=0$ sont $z=\frac{-b\pm\delta}{2a}$.

Compléments

📐 Formule — Si $\delta=x+iy$ vérifie $\delta^2=\Delta$, alors $x^2-y^2=\operatorname{Re}(\Delta)$, $2xy=\operatorname{Im}(\Delta)$ et $x^2+y^2=|\Delta|$.

💡 Astuce mémo

Discriminant complexe → racine δ → solutions

📖 3. Racines n-ièmes de l’unité

🔑 Notions clés & Définitions

• Racines n-ièmes de l’unité : Les racines n-ièmes de l’unité sont les éléments de $U_n=\left\{e^{2ik\pi/n}\mid k\in\llbracket0,n-1\rrbracket\right\}$.

★ À maîtriser

📐 Formule — Pour $n\ge 2$, la somme des racines n-ièmes de l’unité est $\sum_{\omega\in U_n}\omega=0$.

Compléments

• L’ensemble $U_n$ contient les racines obtenues pour les entiers $k$ de 0 à $n-1$.

💡 Astuce mémo

Les racines sont régulièrement réparties sur le cercle unité

📖 4. Arithmétique des polynômes

🔑 Notions clés & Définitions

• Division euclidienne : La division euclidienne des polynômes s’écrit $A=BQ+R$ avec $\deg(R)<\deg(B)$.
• Théorème de Bézout : Le théorème de Bézout affirme que $A\wedge B=1$ si et seulement s’il existe $U,V\in K[X]$ tels que $AU+BV=1$.
• Racine de multiplicité k : Un nombre a est racine de multiplicité k de P si $P(a)=P'(a)=\cdots=P^{(k-1)}(a)=0$ et $P^{(k)}(a)\ne0$.

📖 5. Relations de Viète et fractions rationnelles

🔑 Notions clés & Définitions

• Décomposition en éléments simples : Une fraction rationnelle se décompose sous la forme $F(X)=\frac{P(X)}{Q(X)}=E(X)+\sum\frac{A_{i,k}}{(X-a_i)^k}$, avec des termes du second degré supplémentaires sur ℝ.

★ À maîtriser

📐 Formule — Un polynôme se factorise sous la forme $P(X)=a_nX^n+a_{n-1}X^{n-1}+\cdots+a_0=a_n\prod_i(X-x_i)$.

📐 Formule — Les relations de Viète donnent $\sum_i x_i=-\frac{a_{n-1}}{a_n}$ et $\prod_i x_i=(-1)^n\frac{a_0}{a_n}$.

• Lorsque $\deg P\ge\deg Q$, il faut effectuer la division euclidienne et déterminer la partie entière $E(X)$ avant d’exprimer les éléments simples.

Compléments

📐 Formule — Si $Q(a)=0$ et $Q'(a)\ne0$, le coefficient de $\frac1{X-a}$ est $\frac{P(a)}{Q'(a)}$.

💡 Astuce mémo

Division → partie entière → éléments simples