Lernzettel: Notions clés en calcul et suites

📋 Plan du Cours

1. Automatismes de calcul
2. Proportionnalité et pourcentages
3. Tableur et ventes d’une buvette
4. Suites arithmétiques et géométriques
5. Fonction du second degré

📖 1. Automatismes de calcul

🔑 Notions clés & Définitions

• Développement d’un carré : On développe une expression du type $(a-b)^2$ en utilisant l’identité algébrique correspondante.
• Notation scientifique : La notation scientifique écrit un nombre sous la forme $a\times 10^n$ avec $1\le a<10$.
• Équation du premier membre : Une égalité se résout ou se vérifie en simplifiant chaque membre pour comparer des expressions équivalentes.
• Tableau de signes : Un tableau de signes indique, pour chaque intervalle, le signe d’une expression selon $x$.
• Puissances fractionnaires : Une expression avec exposant fractionnaire se calcule en séparant le numérateur et le dénominateur via une racine et une puissance.

📝 Points essentiels

• $\,(2x-3)^2$ se développe en $4x^2-12x+9$.
• Si $M=\frac{7}{9}$ et $L=\frac{5}{6}$ alors $M>L$.
• Pour une épaisseur $90\times 10^{-3}$ mm, une pile de 5 000 feuilles a une épaisseur de 45 cm.
• $0{,}00045$ s’écrit en notation scientifique sous la forme $4{,}5\times 10^{-4}$.
• Une vitesse de 72 km/h correspond à 20 m/s.
• Parmi les choix proposés, l’égalité vraie est $(4-7)^2=9$.

📖 2. Proportionnalité et pourcentages

🔑 Notions clés & Définitions

• Coefficient multiplicateur : Un pourcentage correspond à un coefficient multiplicateur obtenu en ajoutant ou en retirant la part exprimée en centièmes.
• Réduction en pourcentage : Une réduction de $p\%$ diminue un prix de la proportion $p\%$ du prix initial.
• Augmentation en pourcentage : Une augmentation de $p\%$ multiplie un prix par $1+\frac{p}{100}$.
• Pourcentage d’une partie : Un pourcentage d’un sous-ensemble se calcule à partir du nombre total de cet ensemble.

📝 Points essentiels

• Un article à 80 euros avec une hausse de 15% coûte 92 euros.
• Un article à 120 euros après une réduction de 20% vient d’un prix initial de 150 euros.
• Dans une élection, le quart de voix pour A, 20% pour B, un tiers pour C et le reste pour D donne le minimum pour B.
• Dans une classe, si 60% sont des filles et que 30% des filles font du sport en club, la proportion de filles sportives en club est 18%.
• Dans l’énoncé, le pourcentage du reste se déduit par différence avec 100%.
• La question sur les pourcentages de l’exercice 1 se traduit en nombres à partir de 200 boissons vendues.

📖 3. Tableur et ventes d’une buvette

🔑 Notions clés & Définitions

• Feuille de calcul : Une feuille de calcul organise des valeurs en cellules, dont certaines sont calculées à partir d’autres via des formules.
• Recopie vers le bas : La recopie vers le bas adapte automatiquement une formule pour calculer une ligne entière avec les valeurs correspondantes.
• Pourcentage de répartition : Une répartition en pourcentages convertit une quantité totale en quantités partielles.
• Partie petite et grande taille : Les ventes se décomposent en deux catégories de tailles, petite et grande, selon des pourcentages différents.

📝 Points essentiels

• Hier, 200 boissons ont été vendues, dont 40% de cafés (80), 35% de thés (70) et 25% de chocolats chauds (50).
• Les cafés en petite taille représentent 70% de 80, donc 56 cafés ; il reste 24 cafés en grande taille.
• Les thés en petite taille représentent 50% de 70, donc 35 thés ; il y a donc 35 thés en grande taille.
• Pour les chocolats chauds, 60% sont en grande taille, donc 30 chocolats en grande taille.
• Le total des boissons en grande taille vaut 24+35+30=89.
• Le pourcentage du total correspondant aux cafés en grande taille vaut 24/200=12%.

📖 4. Suites arithmétiques et géométriques

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite arithmétique : Une suite arithmétique possède une différence constante entre deux termes consécutifs.
• Suite géométrique : Une suite géométrique possède un même facteur constant entre deux termes consécutifs.
• Raison d’une suite géométrique : La raison est le facteur multiplicatif qui transforme un terme en le terme suivant.

📝 Points essentiels

• Si le chiffre d’affaires augmente de 5% chaque année, la suite est géométrique et n’est pas arithmétique.
• Pour une suite arithmétique, avec $u_4=18$ et $u_6=10$, on obtient une raison $r=-4$ puis $u_0=34$.
• Pour une suite géométrique, avec $t_1=81$ et $t_4=3$, on a $81\,q^3=3$ donc $q=\frac{1}{3}$.
• Avec $t_n=t_1\,q^{n-1}$, le passage de $t_1$ à $t_4$ multiplie par $q^3$.
• Les affirmations 2 et 3 sont vraies, tandis que l’affirmation 1 est fausse.

📖 5. Fonction du second degré

🔑 Notions clés & Définitions

• Parabole : Une parabole est une courbe associée à une fonction polynomiale de degré 2.
• Factorisation : Factoriser une expression consiste à l’écrire sous forme de produit de facteurs plus simples.
• Sommet d’une parabole : Le sommet correspond au point de la parabole où la valeur de la fonction atteint un maximum ou un minimum.
• Forme canonique : La forme canonique s’écrit $a(x-h)^2+k$, ce qui donne directement l’axe et la valeur au sommet.

📝 Points essentiels

• Avec $f(x)=-x^2+4x-3$, on a $f(0)=-3$ et $f(-1)=-8$.
• On peut écrire $-(x-1)(x-3)=-x^2+4x-3$, ce qui donne la factorisation de la fonction.
• Les antécédents de 0 sont les solutions de $-(x-1)(x-3)=0$, donc $x=1$ et $x=3$.
• La parabole admet un sommet de coordonnées $(2,1)$ car $f(2)=1$.
• On obtient $f(x)=1-(x-2)^2$, donc aucun réel ne vérifie $f(x)>1$.

⚠️ Pièges & confusions fréquents

1. Confondre une hausse de 15% avec une multiplication par 0,15 au lieu de $1+0,15$.
2. Utiliser une réduction comme une soustraction de 20 plutôt que de retrancher 20% du prix initial.
3. Inverser les liens en suite arithmétique : c’est la différence qui est constante, pas le ratio.
4. Prendre une suite géométrique pour une arithmétique en regardant seulement deux termes, sans vérifier le facteur commun.
5. Oublier que l’écriture $f(x)=1-(x-2)^2$ impose $f(x)\le 1$ puisque $(x-2)^2\ge 0$.
6. Mélanger le signe des termes lors de la factorisation de $-x^2+4x-3$ sous la forme $-(x-1)(x-3)$.
7. Se tromper d’un cran sur la conversion 72 km/h en m/s en oubliant le facteur 3,6.

✅ Checklist Examen

1. Développer correctement $(2x-3)^2$ et donner le polynôme final.
2. Comparer des fractions comme $7/9$ et $5/6$ pour déterminer le plus grand.
3. Calculer une hausse de prix de 15% et une réduction de 20% avec les bons coefficients multiplicateurs.
4. Transformer un problème de pourcentages en nombres concrets (exemple : 200 boissons et 40%/35%/reste).
5. Calculer des parties selon des pourcentages conditionnels (petite vs grande taille) puis en déduire un total.
6. Calculer un pourcentage final à partir d’un rapport sur le total (exemple : cafés en grande taille sur 200).
7. Résoudre une égalité de type $x^2=\ldots$ ou vérifier quelle égalité est vraie après simplification.
8. Écrire un nombre décimal en notation scientifique sous la forme $a\times 10^n$.
9. Convertir une vitesse de km/h à m/s avec le bon facteur.
10. Pour une suite arithmétique, déterminer la raison à partir de $u_4$ et $u_6$ puis en déduire $u_0$.
11. Pour une suite géométrique, déterminer la raison à partir de $t_1$ et $t_4$ en utilisant la puissance de la raison.
12. Factoriser $-x^2+4x-3$ puis en déduire les antécédents de 0.
13. Passer à la forme $1-(x-2)^2$ pour identifier sommet et inégalité $f(x)>1$.
14. Identifier et placer sur un schéma : $f(0)$, $f(-1)$, les antécédents de 0 et le sommet.