Lernzettel: Notions clés en mathématiques fondamentales

📋 Plan du Cours

1. Automatismes du DNB
2. Moyenne et effectifs
3. Programme de calcul
4. Fonctions affines et proportionnalité
5. Aires dans le carré

📖 1. Automatismes du DNB

🔑 Notions clés & Définitions

• Tiers : Le tiers d’un nombre est sa valeur divisée par 3.
• Médiane : La médiane est la valeur du milieu quand les données sont rangées, ou la moyenne des deux milieux si le nombre de données est pair.
• Abscisse sur une droite : L’abscisse d’un point est sa position sur une droite graduée, comptée depuis l’origine.

📝 Points essentiels

• Le tiers de 18 vaut 18 ÷ 3 = 6.
• Un film de 240 min dure 240 ÷ 60 = 4 h.
• Pour 5 notes rangées 6 ; 8 ; 12 ; 15 ; 19, la médiane est 12.
• Si l’intervalle entre deux traits gras vaut 1/4 d’unité, l’abscisse de E est 7/4.

📖 2. Moyenne et effectifs

🔑 Notions clés & Définitions

• Moyenne : La moyenne est le total divisé par le nombre de valeurs.
• Effectif total : L’effectif total est la somme des effectifs correspondant à toutes les catégories (toutes les distances) du diagramme.
• Pourcentage de non-participants : Le pourcentage de ceux qui ne participent pas est le reste après le pourcentage de participants.

📝 Points essentiels

• Pour 7 masses 62 ; 59 ; 74 ; 68 ; 55 ; 61 ; 71, la moyenne vaut 450 ÷ 7 ≈ 64,3 kg, donc elle ne dépasse pas 65 kg.
• Dans le diagramme, l’effectif total vaut 33 + 32 + 42 + 31 + 35 + 27 + 23 + 21 + 13 + 26 = 257 élèves.
• Plus de 5 km correspond aux distances 5, 6, 7, 8 et 9 km, ce qui donne 84 élèves sur 257, soit 84/257 × 100 ≈ 32,7% donc l’affirmation est vraie.

📖 3. Programme de calcul

🔑 Notions clés & Définitions

• Programme de calcul : Un programme de calcul décrit une suite d’opérations appliquées à un nombre de départ.
• Expression algébrique : Une expression algébrique décrit le résultat obtenu en fonction d’une variable, ici x.

📝 Points essentiels

• Pour un départ x = 4, le programme affiche 55 après application de ses étapes successives.
• Avec un nombre de départ x, le résultat du programme est 4x² + 9.
• Par identification avec les choix, l’expression correcte est C = (2x − 3)(2x + 3), car elle se développe en 4x² − 9.

📖 4. Fonctions affines et proportionnalité

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction affine : Une fonction affine s’écrit sous la forme f(x) = ax + b avec a et b réels.
• Situation de proportionnalité : Une situation de proportionnalité correspond à une fonction linéaire de la forme f(x) = ax, avec f(0) = 0.
• Antécédent : Un antécédent de y par une fonction est une valeur x telle que f(x) = y.

📝 Points essentiels

• La fonction g(x) = 6x représente une proportionnalité, car elle est de la forme ax avec b = 0.
• L’image de 0 par g est g(0) = 0.
• Le nombre x tel que f(x) = 0 pour f(x) = 4x + 3 est x = −3/4.
• L’intersection des droites (d1) et (d2) se lit graphiquement en (1,5 ; 9).

📖 5. Aires dans le carré

🔑 Notions clés & Définitions

• Aire du disque : L’aire d’un disque de rayon R vaut πR².
• Aire d’un carré : L’aire d’un carré de côté c vaut c².
• Isométrie de triangles : Des triangles isométriques ont la même aire, car ils sont superposables par déplacement/rotation.

📝 Points essentiels

• Pour un cercle de diamètre 9 cm, le rayon vaut 4,5 cm et l’aire du disque est π × 4,5² = 20,25π cm².
• La surface grisée IJKLMNOP a une aire de 63 cm².
• La différence (disque − polygone) représente moins de 1% de l’aire du disque, car (20,25π − 63)/20,25π ≈ 0,00970 < 0,01.

📊 Tableaux de synthèse

Proportionnalité vs affine

⚠️ Pièges & confusions fréquents

1. Confondre le tiers avec le tiers de 18 fois 3 : le tiers se calcule toujours en divisant par 3.
2. Oublier de trier les valeurs avant de chercher la médiane quand il y a plusieurs notes.
3. Interpréter l’abscisse comme le nombre de graduations sans tenir compte de la valeur d’une graduation.
4. Pour un cosinus dans un triangle rectangle, prendre les mauvais côtés : cos(ABC) utilise le côté adjacent et l’hypoténuse.
5. Croire qu’une fonction affine sans terme constant nul (b≠0) peut représenter une proportionnalité.
6. Se tromper dans l’aire d’un disque en utilisant le diamètre au lieu du rayon dans πR².
7. Lire une aire comme une longueur : l’aire d’un carré est c², pas 4c ou 9 (sans carré).

✅ Checklist Examen

1. Calculer le tiers d’un nombre et appliquer-le au cas 18.
2. Convertir une durée de minutes en heures à l’aide de 60 min = 1 h.
3. Trier 5 valeurs et trouver la médiane comme valeur du milieu.
4. Lire une abscisse sur une droite graduée quand l’unité est subdivisée (ex. en quarts).
5. Dans un triangle rectangle, utiliser la complémentarité des angles pour déterminer un angle manquant.
6. Savoir écrire cos(ABC) comme quotient du côté adjacent par l’hypoténuse dans un triangle rectangle.
7. Reconnaître une configuration de Thalès quand deux droites sont parallèles et des triangles sont imbriqués.
8. Calculer une moyenne sur 7 valeurs et comparer à un seuil (ex. 65 kg).
9. Additionner des effectifs sur un diagramme pour obtenir l’effectif total.
10. Calculer une proportion en pourcentage à partir de deux effectifs (puis conclure sur une affirmation).
11. Suivre les étapes d’un programme de calcul pour vérifier un résultat numérique (ex. pour x=4).
12. Exprimer le résultat d’un programme en fonction d’une variable x et choisir l’expression équivalente.
13. Identifier une fonction de proportionnalité via la forme ax (avec f(0)=0).
14. Calculer une image f(0) et un antécédent d’une valeur par résolution de f(x)=valeur (ex. pour 0).