Lernzettel: Notions fondamentales des fonctions

📋 Plan du Cours

1. Courbe représentative et images
2. Fonctions croissantes et décroissantes
3. Tableau de variation d’une fonction

📖 1. Courbe représentative et images

🔑 Notions clés & Définitions

• Courbe représentative Cf : La courbe représentative Cf d’une fonction f est l’ensemble des points $M(x;f(x))$ pour $x$ appartenant au domaine D.
• Image et antécédent : Pour $x \in D$, le couple image-antécédent décrit que $y=f(x)$ et que $x$ est un antécédent de $y$.
• Ensemble de définition D : L’ensemble de définition D est l’ensemble des réels $x$ pour lesquels la fonction f est définie.

📝 Points essentiels

• Pour tout $x\in D$, dire que $y$ est l’image de $x$ par f équivaut à dire que $x$ est un antécédent de $y$ par f.
• Pour tout $x\in D$, on a $f(x)=y$ quand et seulement quand le point $M(x;y)$ appartient à la courbe $C_f$.
• Sur la courbe $C_f$, le point associé à $x$ a pour coordonnées $M(x; f(x))$.
• La notation $y=f(x)$ relie la variable d’entrée x au point de la courbe d’ordonnée y.

💡 Astuce mémo

Image ou antécédent : la flèche $x\mapsto y$ ; sur la courbe, ce couple devient le point $M(x;y)$.

📖 2. Fonctions croissantes et décroissantes

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction croissante : Une fonction est croissante sur un intervalle I si, en prenant deux réels de I dans le bon ordre, leurs images gardent le même ordre.
• Fonction décroissante : Une fonction est décroissante sur un intervalle I si, en prenant deux réels de I dans le même ordre, leurs images sont dans l’ordre contraire.

📝 Points essentiels

• Si $a<b$ et que f est croissante sur I, alors $f(a)<f(b)$.
• Si $a<b$ et que f est décroissante sur I, alors $f(a)>f(b)$.
• L’ordre de $f(a)$ et $f(b)$ suit l’ordre de $a$ et $b$ pour une fonction croissante.
• L’ordre de $f(a)$ et $f(b)$ s’inverse par rapport à celui de $a$ et $b$ pour une fonction décroissante.

💡 Astuce mémo

Croissante = même signe d’ordre ; décroissante = ordre inversé : $a<b$ donne $f(a)$ et $f(b)$ dans le même ordre ou dans l’ordre contraire.

📖 3. Tableau de variation d’une fonction

🔑 Notions clés & Définitions

• Tableau de variation : Un tableau de variation résume le sens de variation d’une fonction sur son domaine découpé en intervalles.
• Bornes du domaine D : Les bornes du domaine D sont les valeurs extrêmes indiquées sur la première ligne du tableau de variation.
• Changement de sens : Un changement de sens correspond aux abscisses $x_1,x_2,\dots$ où la fonction passe par exemple de décroissante à croissante, puis à décroissante.

📝 Points essentiels

• Dans le tableau, la première ligne contient les bornes de D et les valeurs où f change de sens de variation.
• La deuxième ligne du tableau contient les images associées aux abscisses écrites sur la première ligne.
• On relie les valeurs par des flèches : flèche vers le haut si la fonction est croissante, flèche vers le bas sinon.
• Un exemple de découpage donné : sur $[a;x_1]$, f est décroissante ; sur $[x_1;x_2]$, f est croissante ; sur $[x_2;b]$, f est décroissante.
• Le tableau associe aussi chaque borne : $x=a,x_1,x_2,b$ avec $f(a),f(x_1),f(x_2),f(b)$.

💡 Astuce mémo

Le tableau = deux lignes (x puis f(x)) + des flèches qui disent le sens : haut pour croissant, bas pour décroissant.

📊 Tableaux de synthèse

Ordre des images pour une variation

⚠️ Pièges & confusions fréquents

1. Confondre image et antécédent : antécédent correspond à l’entrée x, image correspond à la sortie y via $y=f(x)$.
2. Dire qu’une fonction croissante peut donner $f(a)>f(b)$ quand $a<b$ ; cela correspond à une décroissance.
3. Inverser la lecture de $f(a)$ et $f(b)$ : le critère dépend toujours de la relation $a<b$.
4. Remplir un tableau de variation avec les mauvaises flèches : une section croissante doit être reliée par une flèche vers le haut.
5. Oublier que les points du graphe s’écrivent sous la forme $M(x;f(x))$, pas $M(f(x);x)$.
6. Écrire un tableau sans les valeurs où f change de sens : les abscisses $x_1,x_2,\dots$ servent à marquer les changements.
7. Utiliser l’équivalence $f(x)=y$ hors du domaine : les relations portent sur $x\in D$ uniquement.

✅ Checklist Examen

1. Savoir associer un réel $x\in D$ à l’ordonnée y par la relation $y=f(x)$.
2. Savoir interpréter $x$ comme antécédent de y si et seulement si $f(x)=y$.
3. Savoir relier l’égalité $f(x)=y$ à l’appartenance du point $M(x;y)$ à la courbe $C_f$.
4. Savoir écrire que sur un intervalle I, $a<b$ implique $f(a)<f(b)$ pour une fonction croissante.
5. Savoir écrire que sur un intervalle I, $a<b$ implique $f(a)>f(b)$ pour une fonction décroissante.
6. Savoir construire le tableau de variation : première ligne avec bornes de D et points $x_1,x_2,\dots$.
7. Savoir remplir la deuxième ligne avec les valeurs correspondantes de $f(a),f(x_1),f(x_2),\dots$.
8. Savoir placer le sens de variation avec des flèches : vers le haut pour croissant, vers le bas pour décroissant.
9. Savoir utiliser un découpage en intervalles $[a;x_1]$, $[x_1;x_2]$, $[x_2;b]$ pour indiquer décroissance puis croissance puis décroissance.
10. Vérifier la cohérence d’un tableau : les flèches doivent correspondre aux inégalités attendues pour chaque intervalle.