Lernzettel: Notions fondamentales en analyse mathématique

📋 Plan du Cours

1. Notion de fonction
2. Représentation graphique
3. Sens de variation et extrema
4. Parité et périodicité
5. Fonctions rationnelles
6. Limites et continuité
7. Fonctions homographiques
8. Dérivée et nombre dérivé
9. Tangente à une courbe
10. Règles de dérivation
11. Étude de fonctions rationnelles
12. Extrema et optimisation

📖 1. Notion de fonction

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction numérique : Une fonction d’un ensemble de départ A vers un ensemble d’arrivée B associe à chaque élément x de A au plus un élément y de B.
• Image d’un élément : L’image f(x) est l’élément de l’ensemble d’arrivée qui correspond à l’élément x par la fonction f.
• Ensemble image : L’ensemble image de f regroupe toutes les valeurs obtenues f(x) quand x parcourt le domaine de définition.
• Préimage : Une préimage de y est tout x appartenant au domaine tel que f(x)=y, et plusieurs x peuvent partager la même image y.
• Domaine de définition : Le domaine de définition Df est le plus grand sous-ensemble de A pour lequel les images f(x) existent bien dans B.

📝 Points essentiels

• La fonction est une règle de correspondance : chaque x de A a au plus une image dans B.
• On note une fonction f : A → B et on écrit y = f(x), où x appartient à A et y appartient à B.
• Pour toute fonction, l’ensemble image vérifie f(A) ⊂ B.
• Si y est dans l’ensemble d’arrivée, elle peut avoir aucune, une ou plusieurs préimages, souvent notées f⁻¹(y).
• Si f n’est pas définie pour certains x de A, ils n’appartiennent pas au domaine de définition Df.

📖 2. Représentation graphique

🔑 Notions clés & Définitions

• Axe des abscisses : L’axe horizontal Ox représente l’ensemble des valeurs de la variable indépendante x.
• Axe des ordonnées : L’axe vertical Oy représente l’ensemble des valeurs dépendantes y=f(x).
• Graphe d’une fonction : Le graphe de f est l’ensemble des points (x,f(x)) du plan quand x parcourt le domaine de définition Df.
• Pôle : Un pôle est une valeur de x pour laquelle l’image f(x) n’existe pas, donc qui n’appartient pas au domaine de définition.

📝 Points essentiels

• Le repère cartésien est formé par Ox (abscisses) et Oy (ordonnées).
• Pour esquisser un graphe, on calcule f(x) pour des x choisis, on place les points (x,f(x)), puis on relie par une courbe lisse.
• Les zéros d’une fonction sont les points où la courbe coupe l’axe Ox, c’est-à-dire où f(x)=0.
• Au voisinage d’un pôle, la fonction tend vers des valeurs non bornées (croît ou décroît sans limite).

💡 Astuce mémo

Ox ↔ x (abscisses), Oy ↔ f(x) (ordonnées).

📖 3. Sens de variation et extrema

🔑 Notions clés & Définitions

• Sens de variation : Le sens de variation décrit si une fonction augmente ou diminue sur un intervalle donné.
• Fonction croissante : Une fonction est croissante sur un intervalle lorsque des abscisses plus grandes donnent des images au moins aussi grandes.
• Fonction décroissante : Une fonction est décroissante sur un intervalle lorsque des abscisses plus grandes donnent des images au plus aussi grandes.
• Extremum local : Un extremum local est un maximum local ou un minimum local atteint quand on compare aux valeurs prises sur un intervalle autour du point.

📝 Points essentiels

• f est croissante sur I si pour tous x1<x2 dans I on a f(x1) ≤ f(x2).
• f est strictement croissante sur I si pour tous x1<x2 dans I on a f(x1) < f(x2).
• f est décroissante sur I si pour tous x1<x2 dans I on a f(x1) ≥ f(x2).
• f est strictement décroissante sur I si pour tous x1<x2 dans I on a f(x1) > f(x2).
• P(a;f(a)) est un maximum local s’il existe un intervalle I contenant a tel que f(a) ≥ f(x) pour tout x∈I.
• Q(b;f(b)) est un minimum local s’il existe un intervalle J contenant b tel que f(b) ≤ f(x) pour tout x∈J.

💡 Astuce mémo

Croissant : < (ou ≤) quand x monte ; Décroissant : > (ou ≥) quand x monte ; Max : f(a) domine près de a ; Min : f(b) est dominé près de b.

📖 4. Parité et périodicité

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction paire : Une fonction paire vérifie l’égalité f(-x)=f(x) pour tout x de son ensemble de définition.
• Fonction impaire : Une fonction impaire vérifie l’égalité f(-x)=-f(x) pour tout x de son ensemble de définition.
• Fonction périodique : Une fonction périodique vérifie qu’il existe un réel T>0 tel que f(x+kT)=f(x) pour tout x de son domaine et tout k∈Z.
• Période d’une fonction : La période d’une fonction est le plus petit nombre T>0 qui satisfait l’égalité f(x+kT)=f(x) pour tout x et tout k∈Z.

📝 Points essentiels

• Le graphe d’une fonction paire est symétrique par rapport à l’axe vertical Oy.
• Le graphe d’une fonction impaire est symétrique par rapport à l’origine.
• sin(x) et cos(x) sont périodiques de période 2π, tandis que tan(x) est périodique de période π.
• Toute fonction paire vérifie f(x)=f(-x), donc elle a le même comportement sur les deux côtés de Oy.
• Les fonctions bicarrées de la forme ax4+bx2+c sont des fonctions paires car x2 et x4 restent identiques pour x et -x.

💡 Astuce mémo

Pairé→symétrie verticale (Oy) ; Impair→symétrie centrale (origine).

📖 5. Fonctions rationnelles

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction rationnelle : Une fonction rationnelle est une fonction écrite sous la forme d’un quotient de deux polynômes $f(x)=\dfrac{p(x)}{q(x)}$.
• Pôle d’une fonction : Un pôle d’une fonction rationnelle est une valeur de $x$ qui annule le dénominateur $q(x)$ et donc rend la fonction non définie.
• Asymptote verticale : Une asymptote verticale est la droite $x=a$ telle que $|f(x)|$ diverge vers $+\infty$ quand $x$ tend vers $a$ par la gauche et par la droite.
• Asymptote horizontale : Une asymptote horizontale est une droite $y=h$ telle que $f(x)$ tend vers $h$ quand $x$ tend vers $+\infty$ ou vers $-\infty$ selon le cas.
• Asymptote oblique : Une asymptote oblique est une droite $y=cx+d$ telle que la fonction rationnelle se rapproche de cette droite quand $|x|$ devient grand (cas obtenu après division polynomiale).

📝 Points essentiels

• Le domaine d’une fonction rationnelle $f(x)=\dfrac{p(x)}{q(x)}$ exclut toutes les valeurs où $q(x)=0$.
• La fonction $f(x)=\dfrac{1}{x}$ n’est pas définie en $x=0$ et admet une asymptote verticale d’équation $x=0$.
• La fonction $f(x)=\dfrac{x^2}{x^2-4}$ admet deux pôles en $x=\pm2$ et deux asymptotes verticales d’équations $x=2$ et $x=-2$.
• La fonction $f(x)=\dfrac{1}{x}-1$ admet une asymptote verticale en $x=1$ et son comportement de loin peut conduire à une asymptote horizontale.
• Pour une asymptote horizontale $y=c$, le critère donné est : elle existe quand le quotient de la division $p(x)$ par $q(x)$ est une constante (donc degré du numérateur $\le$ degré du dénominateur).

💡 Astuce mémo

Pôles $\Rightarrow$ $x$ impossible, et asymptote verticale : $|f(x)|\to+\infty$ ; loin de l’origine : asymptote horizontale $y=h$.

📖 6. Limites et continuité

🔑 Notions clés & Définitions

• Limite d’une fonction : La limite d’une fonction en un point décrit vers quelle valeur la fonction se rapproche quand la variable s’approche de ce point.
• Limite à gauche : La limite à gauche est la valeur vers laquelle la fonction tend quand la variable approche le point en restant strictement plus petite.
• Limite à droite : La limite à droite est la valeur vers laquelle la fonction tend quand la variable approche le point en restant strictement plus grande.
• Continuité d’une fonction : Une fonction est continue en $x_0$ si sa valeur en $x_0$ coïncide avec la limite quand $x$ s’approche de $x_0$ par la gauche et par la droite.

📝 Points essentiels

• Si $x \to x_0$, on note la limite via la notation $\lim_{x\to x_0} f(x)=L$.
• La limite $\lim_{x\to x_0} f(x)=L$ a un sens si et seulement si la limite à gauche et la limite à droite valent toutes deux $L$.
• Une asymptote verticale en $x=a$ vérifie $\lim_{x\to a^+}|f(x)|=+\infty$ et $\lim_{x\to a^-}|f(x)|=+\infty$.
• Une asymptote horizontale de la forme $y=h_1$ (resp. $y=h_2$) apparaît quand $\lim_{x\to +\infty} f(x)=h_1$ (resp. $\lim_{x\to -\infty} f(x)=h_2$).
• Continuité en $x_0$ : $\lim_{x\to x_0^-} f(x)=f(x_0)=\lim_{x\to x_0^+} f(x)$.
• Sur un graphe, la continuité correspond au fait de pouvoir tracer la courbe sans lever le crayon sur l’intervalle considéré.

💡 Astuce mémo

Continuité = valeur au point = limite gauche = limite droite.

📖 7. Fonctions homographiques

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction homographique : Une fonction homographique est une fonction rationnelle de la forme $f(x)=\dfrac{ax+b}{cx+d}$ avec $a,b,c,d\in\mathbb{R}$ et $c\neq 0$.

📝 Points essentiels

• Pour $f(x)=\dfrac{ax+b}{cx+d}$, le domaine est $D_f=\mathbb{R}\setminus\left\{-\dfrac{d}{c}\right\}$ car le dénominateur vaut $0$ en $x=-\dfrac{d}{c}$.
• La courbe de $f(x)=\dfrac{ax+b}{cx+d}$ admet une asymptote verticale d’équation $x=-\dfrac{d}{c}$.
• La courbe de $f(x)=\dfrac{ax+b}{cx+d}$ admet une asymptote horizontale d’équation $y=\dfrac{a}{c}$.
• Les fonctions $f(x)=\dfrac{1}{x}$ et $f(x)=\dfrac{1}{x}-1$ sont des exemples de fonctions homographiques.
• Pour une fonction rationnelle $\dfrac{p(x)}{q(x)}$, si la division polynomiale donne un quotient constant $a(x)=c$ alors il y a une asymptote horizontale $y=c$, et si $a(x)=cx+d$ alors il y a une asymptote oblique…

💡 Astuce mémo

Dénominateur = 0 ⇒ asymptote verticale (abscisse $-d/c$) ; coefficients dominants ⇒ asymptote horizontale $y=a/c$.

📖 8. Dérivée et nombre dérivé

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombre dérivé : Le nombre dérivé d’une fonction en x0 est la limite du taux de variation quand l’accroissement Δx tend vers 0, si cette limite existe.
• Dérivabilité : Une fonction est dérivable en x0 si la limite définissant le nombre dérivé existe, donnant une valeur réelle.
• Fonction dérivée : La fonction dérivée associe à chaque x de l’intervalle le nombre dérivé de la fonction en x, noté f’(x).
• Notation f prime : La dérivée se note f’(x) et peut aussi s’écrire d/dx f(x), y’(x) ou encore 2 f(t) selon les contextes.

📝 Points essentiels

• Le nombre dérivé en x0 se définit par f′(x0)=lim_{Δx→0} (f(x0+Δx)−f(x0))/Δx.
• La limite doit donner la même valeur quand Δx→0 avec Δx>0 et quand Δx→0 avec Δx<0 pour que le nombre dérivé soit bien défini.
• En géométrie, f′(x0) correspond à la pente de la tangente au point (x0,f(x0)) quand cette tangente existe de façon unique.
• La fonction f(x)=|x| est continue mais non dérivable en 0 : le nombre dérivé f′(0) n’existe pas car il y a une infinité de tangentes au point (0,0).
• Si la dérivée existe pour tout x de l’intervalle I, alors on dit que f est dérivable sur I et on définit la fonction dérivée f’ sur I.

💡 Astuce mémo

Idée-clé : la dérivée = « pente instantanée » obtenue en faisant tendre Δx vers 0 dans le taux de variation.

📖 9. Tangente à une courbe

🔑 Notions clés & Définitions

• Pente de la tangente : La pente de la tangente est la limite du taux de variation de la courbe quand l’accroissement horizontal $dx$ tend vers 0.
• Droite tangente : La droite tangente est la droite qui touche la courbe en $(x_0,f(x_0))$ et dont la pente est donnée par le nombre dérivé.
• Équation de la tangente : L’équation de la tangente exprime la droite tangente $T(x)$ à partir de la pente $f'(x_0)$ et de l’ordonnée $f(x_0)$.

📝 Points essentiels

• La pente $p_T$ de la tangente en $x_0$ est $p_T=lim_{dx\to 0}\u0000frac{f(x_0+dx)-f(x_0)}{dx}$.
• La tangente au point $(x_0,f(x_0))$ existe de façon unique lorsque la limite qui définit $f'(x_0)$ existe.
• Si $T(x)=p_Tx+c$ est la tangente, alors $c=f(x_0)-p_Tx_0$.
• L’équation pratique de la tangente est $T(x)=f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0)$.
• La tangente peut être approchée par des sécantes : la pente $p_D=frac{f(x_1)-f(x_0)}{x_1-x_0}$ se rapproche de $p_T$ quand $x_1\to x_0$.
• La notation de la valeur dérivée en un point admet plusieurs formes, par exemple $f'(x)$ ou $\u0000frac{df}{dx}(x)$.

📖 10. Règles de dérivation

🔑 Notions clés & Définitions

• Règle de la somme : La règle de la somme indique que la dérivée d’une somme de fonctions est la somme de leurs dérivées.
• Règle du produit : La règle du produit donne la dérivée d’un produit de deux fonctions à partir de leurs dérivées individuelles.
• Règle du quotient : La règle du quotient fournit la dérivée d’une fraction de fonctions en combinant leurs dérivées et leurs valeurs.
• Règle de la composition : La règle de la composition (règle de la chaîne) relie la dérivée de f(g(x)) à la dérivée de f évaluée en g(x) et à celle de g(x).
• Dérivée d’une puissance : La dérivée d’une puissance suit une formule directe reliant x^n et x^{n-1} via le facteur n.

📝 Points essentiels

• Si f et g sont dérivables, alors (f+g)'(x)=f'(x)+g'(x).
• Si f et g sont dérivables, alors (f·g)'(x)=f'(x)·g(x)+f(x)·g'(x).
• Pour une constante c, (c·f)'(x)=c·f'(x).
• Si f et g sont dérivables avec g(x)≠0, alors (f/g)'(x)=(f'(x)·g(x)−f(x)·g'(x))/(g(x))^2.
• Cas particulier : (1/f(x))' = −f'(x)/(f(x))^2.
• Règle de la chaîne : (f∘g)'(x)=f'(g(x))·g'(x).

💡 Astuce mémo

Somme = somme; Produit = “f′g + fg′”; Quotient = “(f′g−fg′)/g²”; Chaîne = “f′(g)·g′”.

📖 11. Étude de fonctions rationnelles

📝 Points essentiels

• Pour étudier une fonction rationnelle, on recherche notamment son domaine, ses intersections avec les axes et le tableau des signes, puis ses asymptotes et son comportement près de celles-ci.
• Pour une fonction homographique $f(x)=\dfrac{ax+b}{cx+d}$, le domaine est $D_f=\mathbb R\setminus\left\{-\dfrac{d}{c}\right\}$.
• Une fonction homographique $\dfrac{ax+b}{cx+d}$ a une asymptote verticale d’équation $x=-\dfrac{d}{c}$ et une asymptote horizontale d’équation $y=\dfrac{a}{c}$.
• Pour déterminer une asymptote horizontale ou oblique, on effectue la division polynomiale $\dfrac{p(x)}{q(x)}=a(x)+\dfrac{r(x)}{q(x)}$ puis on lit $a(x)$ : si $a(x)$ est constante alors l’asymptote est horizontale…
• Une fonction rationnelle admet une asymptote horizontale si et seulement si le degré du numérateur $p(x)$ est inférieur ou égal au degré du dénominateur $q(x)$.
• En particulier, $f(x)=\dfrac{1}{x}$ et $f(x)=\dfrac{1}{x-1}$ sont des fonctions homographiques.

💡 Astuce mémo

Division de $p$ par $q$ : ce que vaut le quotient $a(x)$ donne l’asymptote (constante → horizontale, degré 1 → oblique).

📖 12. Extrema et optimisation

🔑 Notions clés & Définitions

• Maximum : Un maximum est un extremum où la fonction atteint une valeur supérieure à celles prises autour du point considéré.
• Minimum : Un minimum est un extremum où la fonction atteint une valeur inférieure à celles prises autour du point considéré.
• Optimisation : L’optimisation consiste à choisir une variable (taille, dimensions, hauteur, etc.) pour maximiser ou minimiser une quantité exprimée par une fonction.

📝 Points essentiels

• Pour $g(x)=2x^3-5x^2-4x+7$, on demande de trouver toutes les valeurs et emplacements des extrema, leur nature (min ou max), puis les intervalles où $g$ est croissante ou décroissante.
• Pour $f(x)=x^3+\frac{3}{x}$, on demande de trouver toutes les valeurs et emplacements des extrema, leur nature (min ou max), puis les intervalles où $f$ est croissante ou décroissante.
• Gouttière : une feuille de 12 cm de large (longs côtés repliés perpendiculairement), longueur 10 m, on cherche la hauteur des côtés relevés donnant un volume maximal et ce volume maximal en litres.
• Fenêtre : un rectangle surmonté d’un demi-cercle avec périmètre total 6 m, on cherche les dimensions maximisant la lumière (selon le problème).
• Enclos : 288 m de clôture pour construire 6 enclos identiques dans un plan $3\times 2$, on cherche les dimensions maximisant la surface au sol (en utilisant la clôture disponible).
• Boîte : base carrée sans couvercle, contenance 1 litre, on cherche les dimensions minimisant la quantité de matériau nécessaire.

📅 Repères chronologiques

Date	Événement
1er janvier 2019	Début de la période étudiée pour l’évolution de la concentration de CO2 (courbe depuis le 1er janvier 2019)
1er janvier 1958	Début de la période étudiée pour l’évolution de la concentration moyenne de CO2 (depuis le 1er janvier 1958)
1er juillet 2024	Date à laquelle on calcule la concentration attendue à partir de la tendance (modèle affine)
1er janvier 2060	Date à laquelle on calcule la concentration moyenne attendue de CO2 si la tendance observée en janvier 2020 est conservée

📊 Tableaux de synthèse

Asymptotes : équations et critères

Type	Condition de limite	Équation
Asymptote verticale	lim x→a+|f(x)| = +∞ et lim x→a−|f(x)| = +∞	x = a
Asymptote horizontale (à +∞)	lim x→+∞ f(x) = h1	y = h1
Asymptote horizontale (à −∞)	lim x→−∞ f(x) = h2	y = h2
Asymptote horizontale (critère rationnel)	degree(p) ≤ degree(q)	y = c (si p/q = c + …)
Asymptote oblique	après division p/q : quotient a(x)=cx+d de degré 1	y = cx + d

Sens de variation et extremums via la dérivée

Situation	Signe de f’	Conclusion
Croissance	f’(x) ≥ 0 (tout x de I)	f croissante sur I
Décroissance	f’(x) ≤ 0 (tout x de I)	f décroissante sur I
Max local	f’(x0)=0, f’>0 avant x0 puis f’<0 après	maximum en x0
Min local	f’(x0)=0, f’<0 avant x0 puis f’>0 après	minimum en x0

⚠️ Pièges & confusions fréquents

1. Confondre ensemble image f(A) et ensemble d’arrivée : en général f(A) ⊂ B, et l’image n’est pas forcément égale à B.
2. Penser qu’un y de l’ensemble d’arrivée a toujours une préimage : un y peut avoir aucune, une ou plusieurs préimages.
3. Oublier qu’un pôle n’appartient pas au domaine : la fonction n’y est pas définie et le graphe diverge.
4. Dire qu’une limite existe sans vérifier gauche et droite : la limite lim x→x0 f(x)=L n’a de sens que si les deux valent L.
5. Confondre tangente et sécante : la pente de la tangente est obtenue avec le passage à la limite (dx→0), pas avec une différence finie isolée.
6. Croire que f est dérivable quand elle est seulement continue : |x| est continue mais non dérivable en 0.
7. Se tromper de notation : f′(x0) est le nombre dérivé, mais « prime » et la valeur de la fonction f(x0) ne sont pas la même chose.

✅ Checklist Examen

1. Définir une fonction f : A → B et savoir donner image f(x), domaine Df, ensemble image f(A), et préimage(s) f−1(y).
2. Lire sur un graphique : abscisses (Ox), ordonnées (Oy), zéros (coupe Ox), ordonnée à l’origine (coupe Oy), et pôles (points où l’image n’existe pas).
3. Ecrire et utiliser les définitions de croissante/décroissante (≤ ou <, ≥ ou >) sur un intervalle I.
4. Identifier une paire/une impaire à partir des égalités f(−x)=f(x) ou f(−x)=−f(x), puis déduire la symétrie du graphe (Oy ou origine).
5. Déterminer une période : trouver T>0 tel que f(x+kT)=f(x) (k∈Z) et distinguer l’exemple sin/cos (2π) et tan (π).
6. Pour une fonction rationnelle p(x)/q(x) : donner le domaine en excluant q(x)=0, repérer pôles, et déterminer asymptotes (verticale/horizontale/oblique) via limites ou division polynomiale.
7. Calculer des limites : utiliser les notations x→a+, x→a− et vérifier l’égalité gauche= droite pour conclure à lim x→a f(x)=L.
8. Vérifier la continuité en x0 : lim x→x0− f(x)=f(x0)=lim x→x0+ f(x).
9. Construire la tangente : utiliser pT = f′(x0) et l’équation T(x)=f′(x0)(x−x0)+f(x0), en reliant la pente à la dérivée.
10. Appliquer les règles de dérivation : somme, produit, quotient, composition/chaîne, et les formules de base (constante, x^n, √x, ex, ln, sin/cos/tan).
11. Trouver et analyser les extrema : résoudre f′(x)=0 (points critiques), étudier le signe de f′ de part et d’autre, puis conclure max/min et intervalles de croissance/décroissance.
12. Modéliser/optimiser : exprimer la quantité Q en fonction(s) des variables, réduire à une variable avec les équations, déterminer les extrema de Q et donner le résultat demandé (p.ex. gouttière, fenêtre, enclos, boîte).