Lernzettel: Notions fondamentales en fonctions et suites

📋 Plan du Cours

1. Définition d’une fonction
2. Variations de fonctions
3. Signe d’une fonction
4. Vocabulaire des suites
5. Définition et variation des suites

📖 1. Définition d’une fonction

🔑 Notions clés & Définitions

• Ensemble de définition : L’ensemble de définition d’une fonction est l’ensemble des nombres réels sur lesquels la fonction est définie.
• Image : L’image d’un nombre a par une fonction est le réel unique noté f(a obtenu en appliquant la fonction à a.
• Antécédent : Un antécédent de b par une fonction est un nombre a tel que f(a)=b.

📝 Points essentiels

• Si f(a)=b alors b est l’image de a par f et a est un antécédent de b par f.
• Une fonction associe à chaque x de D un unique réel f(x, ce qui fixe sa valeur pour tout x dans D.

💡 Astuce mémo

Image = résultat, Antécédent = origine (f(x)=b ⇒ x part vers b).

📖 2. Variations de fonctions

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction croissante : Une fonction est croissante sur I si l’ordre des abscisses est conservé : a ≤ b entraîne f(a) ≤ f(b).
• Fonction décroissante : Une fonction est décroissante sur I si l’ordre des abscisses est inversé : a ≤ b entraîne f(a) ≥ f(b).
• Fonction monotone : Une fonction est monotone sur I si elle est soit croissante sur I soit décroissante sur I.

📝 Points essentiels

• Croissante sur I : a ≤ b implique f(a) ≤ f(b.
• Décroissante sur I : a ≤ b implique f(a) ≥ f(b.
• Constante sur I : a ≤ b implique f(a)=f(b).
• Monotone sur I signifie croissante ou décroissante sur I (pas besoin d’examiner le cas mixte).

💡 Astuce mémo

Croissante : flèche vers le haut, Décroissante : flèche vers le bas, Monotone : jamais de changement de sens.

📖 3. Signe d’une fonction

🔑 Notions clés & Définitions

• Tableau de signe : Un tableau de signe récapitule où une fonction est positive, négative ou nulle selon les intervalles de son domaine.
• Positif : Une fonction est positive sur un intervalle si ses valeurs y sont supérieures ou égales à 0 sur cet intervalle considéré.
• Nul : Une fonction est nulle en une valeur si sa valeur en ce point est 0.

📝 Points essentiels

• Un tableau de signe indique les bornes du domaine et les valeurs où f change de signe.
• Le tableau met un « + » entre deux valeurs si f y est positive, un « - » si f y est négative, et un « 0 » si f s’annule en une valeur.

💡 Astuce mémo

Tableau de signe : bornes en haut, + / - entre, 0 au point.

📖 4. Vocabulaire des suites

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite numérique : Une suite numérique est une fonction qui associe à chaque entier naturel n un réel noté u(n) ou u_n.
• Terme de rang n : Le terme de rang n d’une suite u est la valeur u(n) associée à l’entier n.
• Terme initial : Le terme initial d’une suite est son premier terme (souvent u0 ou u1 selon la convention du cours).

📝 Points essentiels

• La suite (un) est une notation où u(n est le n-ième terme.
• Le terme u3 d’une suite est le terme de rang 3 et permet d’identifier aussi le terme initial via la définition donnée.

💡 Astuce mémo

Suite = fonction sur les entiers naturels ; rang n = abscisse n ; terme initial = premier point.

📖 5. Définition et variation des suites

🔑 Notions clés & Définitions

• Formule explicite : Une suite est définie par une formule explicite si chaque terme se calcule directement à partir du rang n seul.
• Relation de récurrence : Une suite est définie par récurrence si un+1 est donné en fonction du terme précédent u_n après avoir fixé un terme initial.
• Suite croissante : Une suite est croissante si pour tout n on a u(n+1) ≥ u(n), donc chaque terme est au moins aussi grand que le précédent.

📝 Points essentiels

• Relation de récurrence : on donne un terme initial et une expression de un+1 en fonction de u_n.
• Sens de variation via u(n+1)-u(n) : si un+1 ≥ un pour tout n alors la suite est croissante, et si un+1 ≤ un pour tout n alors elle est décroissante.
• Représentation graphique d’une suite : les points ont pour coordonnées (n, u_n) avec n entier et ordonnée u_n.

💡 Astuce mémo

Explicite : je calcule avec n ; Récurrence : je calcule avec le précédent (n→n+1).

⚠️ Pièges & confusions fréquents

1. Confondre ensemble de définition D (où la fonction est définie) et image f(a (résultat numérique).
2. Inverser les conditions de variation : croissante correspond à f(a) ≤ f(b quand a ≤ b, décroissante à f(a) ≥ f(b.
3. Oublier que monotone signifie croissante ou décroissante, pas un mélange de sens sur I.
4. Mélanger signe et variations : le signe concerne positif/négatif/nul de f, les variations concernent l’évolution de f(x) quand x augmente.
5. Confondre suite et fonction : une suite associe des entiers naturels n à des réels, donc le rang n joue le rôle d’abscisse.

✅ Checklist Examen

1. Donner l’ensemble de définition D d’une fonction donnée et identifier f(x) pour un x dans D.
2. Énoncer l’image de a par f quand f(a)=b et le dire comme antécédent respectif.
3. Déterminer si une fonction est croissante, décroissante ou constante à partir d’une condition a ≤ b ou d’un tableau/graphique.
4. Définir correctement une fonction monotone comme croissante ou décroissante sur un intervalle I.
5. Construire un tableau de signe en plaçant les bornes, les valeurs où f change de signe, et les signes +, -, 0 aux bons endroits.
6. Définir une suite numérique comme fonction de n vers un réel u(n).
7. Identifier le terme u_n comme terme de rang n, et repérer le terme initial (u0 ou u1 selon la définition).
8. Présenter les deux modes de définition d’une suite : formule explicite et relation de récurrence avec terme initial.
9. Décrire la représentation graphique d’une suite : points (n, u_n) et abscisses entières.
10. Déterminer le sens de variation d’une suite en utilisant un+1 ≥ un (croissante) ou un+1 ≤ un (décroissante), sans recourir à autre chose que la comparaison demandée.