Lernzettel: Principes et circuits de modulation FM

📋 Plan du Cours

1. Définitions fondamentales des signaux sinusoïdaux et modulation angulaire
2. Principes et formules de la modulation de fréquence (FM)
3. Analyse spectrale de la modulation FM avec coefficients de Bessel et spectres selon l’indice de modulation
4. Estimation de la largeur de bande en modulation FM et formule de Carson
5. Sensibilité au bruit et avantages de la modulation angulaire FM/PM
6. Circuits de modulation FM : oscillateurs sinusoïdaux, VCO et modulateurs à fort indice
7. Modulateur d’Armstrong pour la modulation de phase (PM)
8. Principes et circuits de démodulation FM/PM, avantages et inconvénients

📖 1. Définitions fondamentales des signaux sinusoïdaux et modulation angulaire

🔑 Notions clés & Définitions

• 𝑉ଶ(𝑡) : Démodulation FM avec la PLL On applique un signal FM à l’entrée V1 de la PLL : 𝑆ிெ(𝑡)
• 𝛿𝑓(𝑡) : La déviation instantanée en fréquence, représentant la variation de la fréquence instantanée autour de la fréquence porteuse.

📝 Points essentiels

• La phase instantanée θ(t) est un angle en radians, exprimée par θ(t) = 2πf_ct + φ(t) + φ_0.
• La fréquence instantanée f(t) est la dérivée de la phase instantanée divisée par 2π, soit f(t) = (1/2π) dθ(t)/dt.
• Le déphasage instantané φ(t) module la phase instantanée d'une porteuse sinusoïdale.
• La modulation angulaire consiste à moduler la phase instantanée θ(t) d'une porteuse, soit par la fréquence soit directement par la phase.
• Modulations angulaires Dans la modulation angulaire, le signal utile module la phase instantanée 𝜃(𝑡) (un angle) d’une porteuse sinusoïdale, donc il est possible de moduler soit la fréquence de la porteuse, soit directement sa phase instantanée.
• Toute variation de la fréquence instantanée du signal d'entrée est détectée par le comparateur de phase et génère une tension e(t) qui corrige la fréquence du VCO pour qu’elle soit égale à la fréquence de signal d’entrée.

💡 À retenir

Comprendre précisément les définitions mathématiques et physiques des grandeurs angulaires et fréquentielles fondamentales est la base indispensable pour saisir la modulation angulaire.

📖 2. Principes et formules de la modulation de fréquence (FM)

🔑 Notions clés & Définitions

• Modulation de fréquence (FM) : La modulation de fréquence : (FM pour « Frequency Modulation »), le signal utile module linéairement la fréquence de la porteuse.
• Déviation en fréquence : La valeur maximale de la variation de la fréquence instantanée autour de la fréquence porteuse, donnée par Δf = k × max|b(t)|.
• Indice de modulation : Le rapport entre la déviation maximale en fréquence Δf et la fréquence du signal modulant f_m, soit m = Δf / f_m.

📝 Points essentiels

• La phase instantanée θ(t) s'écrit : θ(t) = ω_c t + 2π k ∫ b(t) dt + φ_0.
• La déviation maximale en fréquence Δf est Δf = k max|b(t)|.
• L'indice de modulation m est défini par m = Δf / f_m, où f_m est la fréquence du signal modulant.
• Pour un signal modulant sinusoïdal b(t) = A_m cos(ω_m t), le signal FM s'écrit S_FM(t) = A_c cos(ω_c t + m sin(ω_m t) + φ_0).
• Cas d’un signal information sinusoïdal Dans l’exemple d’un signal information de forme sinusoïdale :𝑏(𝑡) = 𝐴௕ cos(𝜔௕𝑡)  La phase instantanée : 𝜃(𝑡) = 2𝜋 ∫൫𝑓௣ + 𝑘𝐴௕ cos(𝜔௕𝑡)൯𝑑𝑡  La forme de signal : 𝑆ிெ(𝑡) = 𝐴௣𝑐𝑜𝑠(𝜔௣𝑡 + ௞஺್ ௙್ sin(𝜔௕𝑡) + 𝜑଴)  La déviation en fréquence : 𝛿𝑓(𝑡) = 𝑘𝐴௕ cos(𝜔௕𝑡)  La déviation maximale en fréquence : ∆𝑓 = 𝑘𝐴௕  L’indice de modulation : 𝑚 = ∆௙ ௙್ = ௞஺್ ௙್ 1.5.

💡 À retenir

La phase instantanée θ(t) s'écrit : θ(t) = ω_c t + 2π k ∫ b(t) dt + φ_0.

📖 3. Analyse spectrale de la modulation FM avec coefficients de Bessel et spectres selon l’indice de modulation

🔑 Notions clés & Définitions

• Sin(𝜃)) : Fonction trigonométrique représentant la projection verticale d'un angle 𝜃 sur le cercle unité, utilisée dans la décomposition des signaux modulés en termes sinusoïdaux.
• Spectre de la FM pour : Représentation fréquentielle d'un signal FM sinusoïdal, comprenant une porteuse à la fréquence f_c et une infinité de paires de raies latérales situées à f_c ± n f_m, dont les amplitudes sont données par les coefficients de Bessel J_n(m).
• Signal modulant : En PM, le vecteur porteuse 𝑂𝐵ሬሬሬሬሬ⃗ oscille au rythme du signal modulant avec ±Δφ.

📝 Points essentiels

• Le signal FM peut s'exprimer comme une somme infinie de cosinus, chaque terme étant pondéré par un coefficient de Bessel J_n(m).
• Le spectre FM comporte une porteuse à f_c et des raies latérales à f_c ± n f_m, dont l'amplitude décroît rapidement avec n selon J_n(m).
• L'indice de modulation m détermine le nombre de raies latérales et leur amplitude relative dans le spectre FM.
• Pour un signal PM, le spectre est similaire à celui de la FM, avec le signal modulant directement dans le cosinus.
• Dans le cas d’un signal PM, le signal modulant est directement dans le cosinus : 𝑆௉ெ(𝑡) = 𝐴௣𝑐𝑜𝑠൫𝜔௣𝑡 + 𝑚 cos(𝜔௕𝑡)൯ Par conséquent, le spectre de la PM ressemble au spectre de la FM.

💡 À retenir

Le signal FM peut s'exprimer comme une somme infinie de cosinus, chaque terme étant pondéré par un coefficient de Bessel J_n(m).

📖 4. Estimation de la largeur de bande en modulation FM et formule de Carson

🔑 Notions clés & Définitions

• Communication Systems : Ensemble des techniques et dispositifs permettant la transmission, la réception et le traitement de signaux pour l'échange d'informations.

📝 Points essentiels

• Pour un faible indice de modulation (m << π/2), la largeur de bande FM est approximée par BW_FM = 2 f_m.
• Pour un indice plus élevé, la largeur de bande est donnée par BW_FM = 2 N f_m, où N est l'ordre maximal des coefficients de Bessel significatifs.
• La formule de Carson permet d'estimer la largeur de bande nécessaire en négligeant les raies à faible puissance, en calculant la bande couvrant 98% de la puissance totale.
• Donc la largeur de bande nécessaire pour la transmission peut devenir énorme.

💡 À retenir

La largeur de bande en modulation FM dépend de l'indice de modulation et peut être efficacement estimée par la formule de Carson, garantissant une transmission optimale en limitant la bande à la puissance significative.

📖 5. Sensibilité au bruit et avantages de la modulation angulaire FM/PM

🔑 Notions clés & Définitions

• 𝑣௦(𝑡) : Signal à la sortie du circuit de démodulation FM, exprimé comme une fonction de la phase instantanée du signal modulé, contenant l'information utile 𝑏(𝑡) dans son amplitude après discrimination.

📝 Points essentiels

• La modulation angulaire (FM/PM) est beaucoup moins sensible aux bruits que la modulation d’amplitude.
• L’information 𝑏(𝑡) se trouve dans la phase ou la fréquence, pas dans l’amplitude du signal à la sortie.
• La puissance transmise reste constante en FM/PM, améliorant la qualité de transmission.

💡 À retenir

La modulation angulaire FM/PM offre une robustesse supérieure face au bruit et une qualité de transmission améliorée grâce à la modulation de phase plutôt que d'amplitude.

📖 6. Circuits de modulation FM : oscillateurs sinusoïdaux, VCO et modulateurs à fort indice

🔑 Notions clés & Définitions

• Oscillateur sinusoïdal : Circuit électronique alimenté par une tension continue qui génère une tension sinusoïdale avec une fréquence dépendant des composants du circuit, notamment des composants LC.
• Oscillateur commandé en tension (VCO) : Oscillateur dont la fréquence varie linéairement en fonction d’une tension appliquée à son entrée, permettant de moduler la fréquence du signal de sortie.
• Modulateur FM à fort indice de modulation : VCO𝑉௘ (𝑡) 𝑉௦(𝑡)

📝 Points essentiels

• Un oscillateur sinusoïdal génère une tension sinusoïdale dont la fréquence dépend des composants LC du circuit.
• Un VCO est un oscillateur dont la fréquence varie linéairement avec une tension d'entrée appliquée.
• Le signal de sortie d'un VCO modulé en tension est un signal modulé en fréquence (FM).
• Pour obtenir un fort indice de modulation, on génère d'abord une modulation FM à faible indice puis on multiplie la fréquence par un facteur N.
• L'indice de modulation final est multiplié par N, ce qui permet d'obtenir une modulation FM à fort indice tout en conservant la stabilité de fréquence.
• Pour une tension 𝑉௘(𝑡) la fréquence de signal de la sortie est : 𝑓 = 𝑓௉ + 𝑘𝑉௘ Dans le circuit de la figure 10 on remplace le condensateur C3 par une diode à capacité variable.

💡 À retenir

Un oscillateur sinusoïdal génère une tension sinusoïdale dont la fréquence dépend des composants LC du circuit.

📖 7. Modulateur d’Armstrong pour la modulation de phase (PM)

🔑 Notions clés & Définitions

• Discriminateur équilibré : Circuit qui produit une sortie proportionnelle à la phase modulante d'un signal, utilisé pour détecter la phase relative dans les systèmes de modulation.
• Modulateur équilibré : Ce dernier peut être un modulateur équilibré par exemple.

📝 Points essentiels

• Le modulateur d'Armstrong utilise un oscillateur à quartz, un modulateur équilibré et un VCO pour générer un signal modulé en phase.
• Le signal de sortie du modulateur d'Armstrong s'écrit s(t) = cos(ω_c t + b(t) + φ_0) pour un signal b(t) faible.
• Le modulateur d'Armstrong fonctionne pour un indice de modulation faible (m << 1).
• VCO à quartzb(t) 𝑁 × 𝑓(𝑡) FM m m' Modulateur équilibré Oscillateur à quartz 90° b(t) s(t) - 𝑠𝑖𝑛(𝜔௉ 𝑡 + 𝜑଴) 𝑐𝑜𝑠(𝜔௉𝑡 + 𝜑଴) 𝑏(𝑡)𝑠𝑖𝑛(𝜔௉𝑡 + 𝜑଴) USTHB / L2 Telecom B / Cours de télécommunications fondamentales S.
• Labandji – samylab.com 15 L’oscillateur fournit un signal de la forme : 𝑝(𝑡) = 𝑐𝑜𝑠(𝜔௉𝑡 + 𝜑଴) Donc à la sortie on a : 𝑠(𝑡) = 𝑐𝑜𝑠(𝜔௉𝑡 + 𝜑଴) − 𝑏(𝑡)𝑠𝑖𝑛(𝜔௉𝑡 + 𝜑଴) Pour un signal b(t) faible : 𝑠𝑖𝑛൫𝑏(𝑡)൯ ≈ 𝑏(𝑡) 𝑒𝑡 𝑐𝑜𝑠൫𝑏(𝑡)൯ ≈ 1 La sortie s’écrit : 𝑠(𝑡) ≈ 𝑐𝑜𝑠൫𝑏(𝑡)൯𝑐𝑜𝑠(𝜔௉𝑡 + 𝜑଴) − 𝑠𝑖𝑛൫𝑏(𝑡)൯𝑠𝑖𝑛(𝜔௉𝑡 + 𝜑଴) Finalement on obtient : 𝑠(𝑡) = 𝑐𝑜𝑠(𝜔௉𝑡 + 𝑏(𝑡) + 𝜑଴) Il s’agit d’un modulateur PM qui fonctionne pour (m<<1).

💡 À retenir

Le modulateur d'Armstrong est une architecture spécifique permettant de générer une modulation de phase précise et stable à faible indice de modulation.

📖 8. Principes et circuits de démodulation FM/PM, avantages et inconvénients

🔑 Notions clés & Définitions

• Démodulation PM indirecte : Procédé de récupération du signal modulé en phase en utilisant un démodulateur FM suivi d'un intégrateur pour restituer le signal d'origine.
• Avantages et inconvénients de la modulation FM/PM : La modulation FM/PM offre une bonne qualité de transmission, une faible sensibilité aux parasites d'amplitude, une puissance constante et un indice de modulation non limité, mais nécessite une largeur de bande élevée et des circuits de modulation et démodulation plus complexes et coûteux.
• Boucle à verrouillage de phase : Système électronique en boucle fermé composé d'un comparateur de phase, d'un filtre passe-bas et d'un oscillateur contrôlé en tension, permettant de suivre la phase instantanée d'un signal FM.

📝 Points essentiels

• Le discriminateur convertit la fréquence instantanée d’un signal FM en amplitude modulée, suivie d’un détecteur d’enveloppe.
• La démodulation FM par PLL utilise un comparateur de phase et un VCO pour suivre la phase instantanée du signal FM.
• La démodulation PM indirecte consiste à démoduler un signal PM via un démodulateur FM suivi d’un intégrateur.
• Les inconvénients sont une largeur de bande élevée et des circuits de modulation/démodulation plus complexes et coûteux.
• Démodulation PM indirecte Il est possible de faire passer un signal PM par démodulateur FM, on obtient ௗ௕(௧) ௗ௧ , puis un intégrateur pour obtenir le signal information.

💡 À retenir

Les techniques de démodulation FM/PM exploitent des circuits spécifiques comme le discriminateur et la PLL, offrant une qualité élevée mais au prix d'une complexité et d'une largeur de bande accrues.

📊 Tableaux de Synthèse

Comparaison des circuits de modulation FM

Type de circuit	Principe	Avantages	Inconvénients
Oscillateur sinusoïdal	Génère une tension sinusoïdale fixe	Simplicité	Pas de modulation en temps réel
VCO	Fréquence varie avec tension d'entrée	Modulation en temps réel	Complexité accrue, stabilité dépend de la tension
Modulateur à fort indice	Multiplie la fréquence par N	Fort indice de modulation	Plus complexe

⚠️ Pièges & Confusions Fréquentes

1. Confusion entre modulation de phase et modulation de fréquence, qui sont liées mais distinctes.
2. Erreur dans l'interprétation de l'indice de modulation m, qui doit être compris comme le rapport Δf / f_m.
3. Confusion entre spectre de la FM et AM, notamment la présence de raies latérales.
4. Sous-estimer la largeur de bande nécessaire pour une modulation FM à fort indice.
5. Mélanger démodulation FM par PLL et démodulation PM, qui utilisent des principes différents.
6. Confondre le rôle des coefficients de Bessel dans la décomposition spectrale.
7. Erreur dans la compréhension de la formule de Carson pour la largeur de bande.

✅ Checklist Examen

1. Comprendre la définition de la modulation angulaire.
2. Maîtriser la formule de la déviation en fréquence Δf.
3. Savoir exprimer la phase instantanée θ(t) en FM.
4. Identifier les coefficients de Bessel dans le spectre FM.
5. Calculer la largeur de bande avec la formule de Carson.
6. Comparer avantages et inconvénients de FM et PM.
7. Connaître le fonctionnement d'un VCO.
8. Différencier démodulation FM par PLL et par discriminateur.
9. Expliquer la sensibilité au bruit en FM/PM.
10. Lister les circuits de modulation FM.