Lernzettel: Principes fondamentaux des fonctions mathématiques

📋 Plan du Cours

1. Fonction carrée : définition et propriétés
2. Racine carrée : définition et propriétés
3. Fonction inverse : définition et propriétés
4. Fonction impaire et symétrie par rapport à l’origine
5. Tableaux de variations de x² et de la racine
6. Tableaux de variations et exemples avec x³ et 1/x

📖 1. Fonction carrée : définition et propriétés

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction carrée : La fonction carrée est la fonction définie sur R par $f(x)=x^2$.
• Fonction paire : Une fonction est paire si elle vérifie $f(-x)=f(x)$, ce qui correspond à une symétrie de sa courbe par rapport à l’axe des ordonnées.

📝 Points essentiels

• Pour tout réel $x$, on a $x^2\ge 0$.
• La fonction $x^2$ est décroissante sur $]-\infty;0]$ et croissante sur $[0;+\infty[$.
• La fonction carrée est paire, donc $f(-x)=(-x)^2=x^2=f(x)$.
• La symétrie par rapport à l’axe des ordonnées caractérise une fonction paire.
• La variation se justifie par le signe de $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$ selon que $a,b$ sont de part et d’autre de 0.

💡 Astuce mémo

Symétrie Oy : $x^2$ ne change pas quand on remplace $x$ par $-x$.

📖 2. Racine carrée : définition et propriétés

🔑 Notions clés & Définitions

• Racine carrée : La racine carrée associe à tout réel $x\in\mathbb{R}^+$ le réel $\sqrt{x}$ tel que $(\sqrt{x})^2=x$.
• Fonction racine carrée : La fonction racine carrée est la fonction $f$ définie par $f(x)=\sqrt{x}$ sur $\mathbb{R}^+$.

📝 Points essentiels

• $\sqrt{0}=0$ et $\sqrt{x}\ge 0$ pour tout $x\in\mathbb{R}^+$.
• $\sqrt{x}$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}^+$.
• Pour $a,b\in\mathbb{R}^+$, on a $\sqrt{a/b}=\sqrt{a}/\sqrt{b}$.
• Pour $a,b\in\mathbb{R}^+$, on a $\sqrt{ab}=\sqrt{a}\sqrt{b}$.
• La croissance se montre en comparant $a-b$ à $(\sqrt{a}+\sqrt{b})(\sqrt{a}-\sqrt{b})$ avec $\sqrt{a}+\sqrt{b}>0$.

💡 Astuce mémo

Formules produit/quotient : $\sqrt{ab}=\sqrt{a}\sqrt{b}$ et $\sqrt{a/b}=\sqrt{a}/\sqrt{b}$.

📖 3. Fonction inverse : définition et propriétés

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction inverse : La fonction inverse est la fonction définie sur $\mathbb{R}^*$ qui associe à tout $x\ne 0$ le nombre $1/x$.
• Fonction impaire : Une fonction est impaire si elle vérifie $f(-x)=-f(x)$, ce qui correspond à une symétrie de sa courbe par rapport à l’origine.

📝 Points essentiels

• La courbe de la fonction inverse est une hyperbole.
• La fonction inverse est impaire : $f(-x)=1/(-x)=-1/x=-f(x)$.
• Pour tout $x\in\mathbb{R}^*$, on a $1/x\ne 0$.
• La fonction inverse est strictement décroissante sur $\mathbb{R}^*$.
• La décroissance se déduit du signe de $1/a-1/b=(b-a)/(ab)$ selon le domaine considéré (positif ou négatif).

💡 Astuce mémo

Impair + décroissante : $1/x$ change de signe et “descend” quand $x$ augmente sur chaque côté de 0.

📖 4. Fonction impaire et symétrie par rapport à l’origine

🔑 Notions clés & Définitions

• Symétrie par rapport à l’origine : La symétrie par rapport à l’origine signifie que le point $(x,y)$ est associé au point $(-x,-y)$ sur la courbe.
• Fonction impaire : Une fonction impaire vérifie $f(-x)=-f(x)$, ce qui impose la symétrie de sa courbe par rapport à l’origine.

📝 Points essentiels

• Une fonction est impaire si et seulement si $f(-x)=-f(x)$.
• La courbe d’une fonction impaire est symétrique par rapport à l’origine $(0,0)$.
• La fonction inverse vérifie $f(-x)=-f(x)$, donc elle est impaire.
• La symétrie par rapport à l’origine implique un changement de signe entre $x$ et $-x$.
• Cette symétrie est distincte de la symétrie par rapport à l’axe des ordonnées (fonction paire).

💡 Astuce mémo

Impair : “on inverse le signe” quand on passe de $x$ à $-x$ (symétrie autour de 0).

📖 5. Tableaux de variations de x² et de la racine

🔑 Notions clés & Définitions

• Tableau de variations : Un tableau de variations résume le sens de variation d’une fonction sur des intervalles et ses limites aux bornes.
• Variations de $x^2$ : Les variations de $x^2$ indiquent qu’elle décroît sur $]-\infty;0]$ puis croît sur $[0;+\infty[$.

📝 Points essentiels

• Pour $x^2$, le tableau de variations donne $x^2\to +\infty$ quand $x\to -\infty$, puis $x^2=0$ en $x=0$, puis $x^2\to +\infty$ quand $x\to +\infty$.
• Pour $\sqrt{x}$ (sur $\mathbb{R}^+$), le tableau indique $\sqrt{x}=0$ en $x=0$ et $\sqrt{x}\to +\infty$ quand $x\to +\infty$.
• $x^2$ atteint son minimum en $0$ (valeur $0$).
• $\sqrt{x}$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}^+$, donc son tableau monte sans palier.
• Le tableau de $\sqrt{x}$ ne se lit que pour $x\ge 0$ car la définition donnée est sur $\mathbb{R}^+$.

💡 Astuce mémo

$x^2$ : en V (minimum en 0) ; $\sqrt{x}$ : en montée à partir de 0.

📖 6. Tableaux de variations et exemples avec x³ et 1/x

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction $x^3$ : La fonction $x^3$ est la fonction qui associe à chaque réel $x$ le réel $x^3$.
• Fonction $1/x$ : La fonction $1/x$ est la fonction inverse définie sur $\mathbb{R}^*$ par $f(x)=1/x$.

📝 Points essentiels

• Pour $x^3$, le tableau de variations indique $x^3\to -\infty$ quand $x\to -\infty$, puis $x^3=0$ en $x=0$, puis $x^3\to +\infty$ quand $x\to +\infty$.
• Pour $1/x$, le tableau indique une valeur qui tend vers 0 quand $x\to \pm\infty$, et qui diverge vers $-\infty$ quand $x\to 0^+$ et vers $+\infty$ quand $x\to 0^-$ (avec la séparation en deux intervalles).
• Sur $]-\infty;0[$, la comparaison $a^3-b^3<0\Leftrightarrow a^3<b^3$ permet d’obtenir le sens de variation de $x^3$.
• Exemple d’encadrement pour $x\in[-1;+\infty[$ : $x^2\le x\le x^3$.
• Exemple d’encadrement pour $x\in[0;1]$ : $x^3\le x\le x^2\le \sqrt{x}$.
• Pour $x=0$ ou $x=1$, on a l’égalité $\sqrt{x}=x=x^2=x^3$.

💡 Astuce mémo

Sur $[0,1]$ : les puissances “abaissent” (ordre $x^3\le x\le x^2\le\sqrt{x}$) ; sur $[-1,\infty[$ : $x^2\le x\le x^3$.

📊 Tableaux de synthèse

Variations sur les intervalles

⚠️ Pièges & confusions fréquents

1. Confondre fonction paire et impaire : paire implique symétrie par rapport à Oy ($f(-x)=f(x)$), impaire implique symétrie par rapport à l’origine ($f(-x)=-f(x)$).
2. Oublier que $\sqrt{x}$ est défini ici sur $\mathbb{R}^+$ : on ne lit pas son tableau pour $x<0$.
3. Croire que $1/x$ est définie en $0 : la fonction inverse est sur$\mathbb{R}^*$ seulement.
4. Se tromper de sens de variation de $x^2$ : elle décroît sur $]-\infty;0]$ puis croît sur $[0;+\infty[$.
5. Mélanger les encadrements : sur $[0,1]$ l’ordre n’est pas le même que sur $[-1,+\infty[$.

✅ Checklist Examen

1. Savoir donner la définition de la fonction carrée $f(x)=x^2$ et conclure qu’elle est paire.
2. Savoir énoncer et utiliser les variations de $x^2$ sur $]-\infty;0]$ et $[0;+\infty[$.
3. Savoir donner la définition de la racine carrée et les propriétés $\sqrt{a/b}=\sqrt{a}/\sqrt{b}$ et $\sqrt{ab}=\sqrt{a}\sqrt{b}$.
4. Savoir écrire le sens de variation de $\sqrt{x}$ sur $\mathbb{R}^+$ et ses valeurs/limites clés (0 puis $+\infty$).
5. Savoir définir la fonction inverse sur $\mathbb{R}^*$ et reconnaître sa courbe en hyperbole.
6. Savoir conclure que $1/x$ est impaire et strictement décroissante sur $\mathbb{R}^*$.
7. Savoir relier fonction impaire et symétrie par rapport à l’origine ($f(-x)=-f(x)$).
8. Savoir lire/produire les tableaux de variations de $x^3$ et de $1/x$ (avec séparation autour de 0 pour $1/x$).
9. Savoir appliquer les encadrements donnés : $x^2\le x\le x^3$ pour $x\in[-1,+\infty[$ et $x^3\le x\le x^2\le\sqrt{x}$ pour $x\in[0,1]$, ainsi que les égalités en $x=0$ et $x=1$.