Lernzettel: Probabilités conditionnelles et indépendance

📋 Plan du Cours

1. Probabilités conditionnelles
2. Événements indépendants
3. Arbres de probabilités
4. Formule des probabilités totales
5. Méthodes de Monte Carlo

📖 1. Probabilités conditionnelles

🔑 Notions clés & Définitions

• Probabilité conditionnelle : La probabilité conditionnelle de B sachant A est la probabilité de B lorsque l’on se restreint au fait que A est déjà réalisé.
• PA(B) : PA(B) désigne la probabilité conditionnelle de l’événement B sachant l’événement A.

📝 Points essentiels

• Si P(A)≠0, alors PA(B)=P(A∩B)/P(A).
• Si P(A)≠0, alors P(A∩B)=P(A)·PA(B).
• Le calcul doit distinguer PA(B) de PB(A) lorsque l’on conditionne sur des événements différents.

📖 2. Événements indépendants

🔑 Notions clés & Définitions

• Indépendance : Deux événements sont indépendants quand la réalisation de l’un n’influence pas la probabilité de l’autre.

📝 Points essentiels

• A et B sont indépendants ssi P(A∩B)=P(A)·P(B).
• Si P(A)≠0 et A et B sont indépendants, alors PA(B)=P(B).
• Si P(B)≠0 et A et B sont indépendants, alors PB(A)=P(A).
• A et B sont indépendants ssi leurs contraires le sont aussi.

📖 3. Arbres de probabilités

🔑 Notions clés & Définitions

• Arbre pondéré : Un arbre pondéré est un schéma qui représente des événements successifs avec des probabilités inscrites sur les branches.
• Chemin : Un chemin est une suite de branches allant du début de l’arbre vers une feuille, correspondant à un scénario complet.

📝 Points essentiels

• La somme des probabilités des branches issues d’un même nœud vaut 1.
• La probabilité d’un chemin est le produit des probabilités portées par les branches de ce chemin.
• Pour deux lancers de pièce, il y a 4 chemins possibles et 2 donnent la même face.
• Dans un exercice sur arbre, retrouver P(A)=0,55 et P(A∩B)=0,3 permet ensuite de calculer PA(B).

📖 4. Formule des probabilités totales

🔑 Notions clés & Définitions

• Partition de l’univers : Une partition de Ω est une famille d’événements non vides qui couvre Ω et dont deux événements distincts sont disjoints.
• Formule des probabilités totales : La formule des probabilités totales exprime P(B) comme une somme des probabilités conditionnées par chaque partie de la partition.

📝 Points essentiels

• Si A1,…,An forment une partition, alors P(B)=P(A1∩B)+…+P(An∩B).
• Si P(Ai)≠0 pour tout i, alors P(B)=P(A1)·PA1(B)+…+P(An)·PAn(B).
• La formule sert à calculer une probabilité non donnée directement en passant par les intersections avec la partition.
• Sur l’exemple, on obtient P(B)=0,38 à partir des valeurs issues de l’arbre.

📖 5. Méthodes de Monte Carlo

🔑 Notions clés & Définitions

• Méthode de Monte Carlo : Une méthode de Monte Carlo utilise le hasard pour obtenir une valeur approchée ou estimer une grandeur probabiliste ou une aire.

📝 Points essentiels

• Les méthodes de Monte Carlo permettent d’approcher une valeur en exploitant des fréquences de réalisation.
• Elles peuvent aussi servir à estimer des aires via des comptages de points dans des zones.
• L’exemple présenté associe un comptage sous un quart de disque à une approximation de π.

⚠️ Pièges & confusions fréquents

1. Confondre PA(B) avec PB(A : ce ne sont pas les mêmes probabilités conditionnelles.
2. Utiliser la formule PA(B)=P(A∩B)/P(A) sans vérifier que P(A)≠0.
3. Penser que PA(B)=P(B) implique l’indépendance sans condition sur P(A)≠0 ou sans le critère correspondant.
4. Appliquer la propriété des arbres sans respecter que les branches issues d’un même nœud somment à 1.
5. Calculer la probabilité d’un chemin en additionnant des branches au lieu de multiplier les probabilités le long du chemin.
6. Se tromper sur une partition : les événements doivent être non vides, couvrir Ω et être deux à deux disjoints.

✅ Checklist Examen

1. Savoir écrire la définition de la probabilité conditionnelle PA(B) et le calcul de PA(B) à partir de P(A∩B) et P(A).
2. Savoir transformer PA(B) en P(A∩B)=P(A)·PA(B) lorsque P(A)≠0.
3. Savoir appliquer le critère d’indépendance P(A∩B)=P(A)·P(B).
4. Savoir déduire PA(B)=P(B) (avec P(A)≠0) et PB(A)=P(A) (avec P(B)≠0) à partir de l’indépendance.
5. Savoir utiliser la lecture “contraires” : si A et B sont indépendants alors leurs événements contraires le sont aussi.
6. Savoir calculer une probabilité de chemin sur un arbre pondéré en multipliant les probabilités des branches du chemin.
7. Savoir utiliser la règle de somme sur chaque nœud : les probabilités des branches issues d’un même nœud valent 1.
8. Savoir reconnaître une partition de l’univers et vérifier réunion=Ω et disjonction deux à deux.
9. Savoir appliquer la formule des probabilités totales P(B)=Σ P(Ai∩B) avec une partition.
10. Savoir appliquer la version avec probabilités conditionnelles : P(B)=Σ P(Ai)·PAi(B) lorsque chaque P(Ai)≠0.
11. Savoir expliquer l’idée d’une méthode de Monte Carlo : estimation par fréquences ou comptages aléatoires.
12. Savoir relier l’exemple Monte Carlo du quart de disque au principe d’approximation de π par comptage de points.