Lernzettel: Probabilités et Indépendance

📋 Plan du Cours

1. Rappels sur les probabilités
2. Probabilité conditionnelle et propriétés
3. Arbres pondérés et probabilités totales
4. Indépendance de deux événements

📖 1. Rappels sur les probabilités

🔑 Notions clés & Définitions

• Univers Ω : L’univers est l’ensemble de tous les résultats possibles d’une expérience aléatoire, noté Ω.
• Probabilité P(A) : La probabilité d’un événement A est un réel P(A) vérifiant 0 ≤ P(A) ≤ 1.
• Événements A̅ et A : Le complément A̅ correspond à l’événement où A ne se réalise pas.

📝 Points essentiels

• Pour tout événement A, on a P(A̅)=1−P(A).
• Pour deux événements A et B, on a P(A∩B)=P(A)+P(B)−P(A∪B).
• L’intersection A∩B représente les réalisations communes à A et à B.

📖 2. Probabilité conditionnelle et propriétés

🔑 Notions clés & Définitions

• Probabilité conditionnelle : La probabilité conditionnelle de B sachant A est définie par P_A(B)=P(A∩B)/P(A) quand P(A)≠0.
• Événements incompatibles : Deux événements sont incompatibles quand leur intersection est vide, donc ils ne peuvent pas se produire ensemble.

📝 Points essentiels

• Pour toute condition A, on a P_A(B̅)=1−P_A(B).
• Si A et B sont incompatibles (A∩B=∅), alors P_A(B)=0.
• Si A et B sont compatibles, on a P(A∩B)=P_A(B)×P(A).

📖 3. Arbres pondérés et probabilités totales

🔑 Notions clés & Définitions

• Arbre pondéré : Un arbre pondéré décrit des successions d’étapes, où la probabilité d’un chemin vaut le produit des probabilités de ses branches.
• Partition de Ω : Une partition de Ω est une famille (A1,…,An) d’ensembles deux à deux disjoints, non vides, dont la réunion vaut Ω.
• Formule des probabilités totales : La probabilité d’un événement B s’obtient en sommant les probabilités de B via chaque bloc de la partition.

📝 Points essentiels

• La somme des probabilités des branches issues d’un même nœud vaut 1.
• La probabilité au bout d’un chemin est le produit des probabilités des branches du chemin.
• Si (A1,…,An) est une partition, alors P(B)=∑{i=1..n} P(Ai)×P{Ai}(B).

📖 4. Indépendance de deux événements

🔑 Notions clés & Définitions

• Indépendance A et B : A et B sont indépendants si la probabilité de B ne dépend pas du fait que A soit réalisé, soit P(B)=P_A(B).
• Intersection P(A∩B) : L’intersection A∩B désigne l’événement où A et B se réalisent ensemble.

📝 Points essentiels

• A et B sont indépendants si et seulement si P(A∩B)=P(A)×P(B).
• Si P(A)≠0, l’indépendance équivaut à P_A(B)=P(B).
• Par symétrie, si A et B sont indépendants alors P_B(A)=P(A) quand P(B)≠0.

⚠️ Pièges & confusions fréquents

1. Oublier que la définition de P_A(B) impose P(A)≠0, sinon la probabilité conditionnelle n’est pas définie ici.
2. Confondre A̅ avec B : le complément porte sur l’événement lui-même, pas sur la condition.
3. Dire que P(A∩B)=P(A)×P(B) sans vérifier l’indépendance, alors que cette égalité est une caractérisation.
4. Sauter le fait que pour une partition, les Ai doivent être deux à deux disjoints et non vides et leur réunion doit faire Ω.
5. Appliquer la formule des probabilités totales sans que (A1,…,An) forme réellement une partition de Ω.

✅ Checklist Examen

1. Déterminer P(A̅) à partir de P(A).
2. Utiliser la relation P(A∩B)=P(A)+P(B)−P(A∪B) pour deux événements donnés.
3. Calculer P_A(B) avec la formule P_A(B)=P(A∩B)/P(A) quand P(A)≠0.
4. Calculer P_A(B̅) à partir de P_A(B).
5. Reconnaître le cas A∩B=∅ et en déduire P_A(B)=0.
6. Utiliser le produit des branches pour obtenir la probabilité d’un chemin dans un arbre pondéré.
7. Utiliser la somme des probabilités des branches issues d’un nœud pour retrouver une valeur à 1.
8. Appliquer la formule des probabilités totales P(B)=∑ P(Ai)×P_{Ai}(B) dès que (A1,…,An) est une partition de Ω.
9. Déterminer l’indépendance via P(B)=P_A(B) (avec P(A)≠0).
10. Déterminer l’indépendance via P(A∩B)=P(A)×P(B).
11. Utiliser la symétrie pour relier P_A(B)=P(B) et P_B(A)=P(A) quand les probabilités de condition sont non nulles.