Lernzettel: Produit scalaire et applications

📋 Plan du Cours

1. Calcul du produit scalaire
2. Normes et distances
3. Calcul et nature des angles
4. Orthogonalité des vecteurs
5. Triangles rectangles
6. Paramètre et orthogonalité
7. Projection d’un vecteur
8. Relation d’Al-Kashi
9. Lieux géométriques et angles

📖 1. Calcul du produit scalaire

★ À maîtriser

📐 Formule — Le produit scalaire de $\vec{u}=(x_u,y_u)$ et $\vec{v}=(x_v,y_v)$ vérifie $\vec{u}\cdot\vec{v}=x_ux_v+y_uy_v$.

• Pour calculer un produit scalaire, il faut identifier les vecteurs, appliquer la formule puis simplifier.

Compléments

• Pour $A(1,2)$, $B(4,-1)$, on obtient $\vec{AB}=(3,-3)$ et, avec $\vec{v}=(2,1)$, $\vec{AB}\cdot\vec{v}=3\times2+(-3)\times1=3$.

📖 2. Normes et distances

★ À maîtriser

📐 Formule — La norme de $\vec{u}=(x_u,y_u)$ vérifie $\lVert\vec{u}\rVert=\sqrt{x_u^2+y_u^2}$.

📐 Formule — La distance entre deux points $A$ et $B$ est la norme du vecteur $\vec{AB}$, soit $AB=\lVert\vec{AB}\rVert$.

Compléments

📐 Formule — La relation de développement d’une norme est $\lVert\vec{u}-\vec{v}\rVert^2=\lVert\vec{u}\rVert^2+\lVert\vec{v}\rVert^2-2\vec{u}\cdot\vec{v}$.

• Pour $A(1,2)$ et $B(5,-1)$, $\vec{AB}=(4,-3)$ et $AB=\sqrt{4^2+(-3)^2}=5$.

📖 3. Calcul et nature des angles

★ À maîtriser

📐 Formule — Pour deux vecteurs non nuls, $\cos(\theta)=\dfrac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{\lVert\vec{u}\rVert\,\lVert\vec{v}\rVert}$.

• Pour calculer un angle, il faut calculer le produit scalaire, calculer les deux normes, effectuer la division puis conclure sur l’angle.

Compléments

• Pour $\vec{u}=(3,4)$ et $\vec{v}=(1,0)$, on a $\vec{u}\cdot\vec{v}=3$, $\lVert\vec{u}\rVert=5$, $\lVert\vec{v}\rVert=1$ et $\cos(\theta)=\frac35$, donc l’angle est aigu.

📖 4. Orthogonalité des vecteurs

★ À maîtriser

📐 Formule — Deux vecteurs sont perpendiculaires si et seulement si leur produit scalaire est nul : $\vec{u}\cdot\vec{v}=0\iff\vec{u}\perp\vec{v}$.

• Pour tester l’orthogonalité de deux vecteurs, il faut calculer leur produit scalaire puis vérifier qu’il vaut zéro.

Compléments

• Pour $\vec{u}=(2,3)$ et $\vec{v}=(3,-2)$, $\vec{u}\cdot\vec{v}=6-6=0$, donc $\vec{u}\perp\vec{v}$.

📖 5. Triangles rectangles

📝 Points essentiels

📌 Pour montrer qu’un triangle est rectangle, il faut tester les produits scalaires $\vec{AB}\cdot\vec{AC}$, $\vec{AB}\cdot\vec{BC}$ et $\vec{AC}\cdot\vec{BC}$ jusqu’à trouver celui qui vaut zéro.

• Pour $A(0,0)$, $B(3,0)$ et $C(3,4)$, $\vec{BA}=(-3,0)$ et $\vec{BC}=(0,4)$ vérifient $\vec{BA}\cdot\vec{BC}=0$, donc le triangle est rectangle en $B$.

📖 6. Paramètre et orthogonalité

📝 Points essentiels

• Pour trouver un paramètre imposant l’orthogonalité, il faut écrire le produit scalaire, le poser égal à zéro puis résoudre l’équation obtenue.

• Avec $\vec{u}=(2,k)$ et $\vec{v}=(1,3)$, la condition d’orthogonalité donne $2+3k=0$, donc $k=-\frac23$.

📖 7. Projection d’un vecteur

★ À maîtriser

📐 Formule — La projection de $\vec{u}$ sur un vecteur non nul $\vec{v}$ est $\operatorname{proj}_{\vec v}(\vec u)=\dfrac{\vec u\cdot\vec v}{\lVert\vec v\rVert^2}\vec v$.

Compléments

• Pour calculer une projection, il faut calculer le produit scalaire, calculer la norme de $\vec v$ au carré, effectuer la division puis multiplier par $\vec v$.

• Pour $\vec{u}=(3,1)$ et $\vec{v}=(2,2)$, on a $\vec{u}\cdot\vec{v}=8$ et $\lVert\vec{v}\rVert^2=8$, donc la projection de $\vec u$ sur $\vec v$ est $(2,2)$.

📖 8. Relation d’Al-Kashi

★ À maîtriser

📐 Formule — Dans un triangle, la relation d’Al-Kashi est $BC^2=AB^2+AC^2-2\,AB\,AC\cos(\widehat{BAC})$.

Compléments

• Pour utiliser la relation d’Al-Kashi, il faut remplacer les longueurs connues, isoler l’inconnue puis résoudre.

• Pour $AB=5$, $AC=7$ et $BC=8$, la relation d’Al-Kashi donne $\cos(\widehat{BAC})=\frac17$.

📖 9. Lieux géométriques et angles

★ À maîtriser

• Pour déterminer les points $M(x,y)$ vérifiant une condition d’orthogonalité, il faut former les vecteurs, calculer leur produit scalaire puis résoudre l’équation obtenue.

• Pour $A(0,0)$, $B(4,0)$ et $M(x,y)$, on a $\vec{AM}=(x,y)$, $\vec{BM}=(x-4,y)$ et la condition $\vec{AM}\cdot\vec{BM}=0$ devient $x(x-4)+y^2=0$.

Compléments

📌 Pour trouver les points où l’angle formé par deux vecteurs est aigu ou obtus, il faut étudier le signe de leur produit scalaire.