Karteikarten: Programme de mathématiques MP2I MPSI — 76 Karten

Quels sont les objectifs de la formation mathématique en classe préparatoire ?

Fournir connaissances, développer intuition, raisonnement, rigueur et attitude de recherche.

Quelles sont les six compétences mathématiques explicitées ?

Chercher, modéliser, représenter, raisonner, calculer, communiquer.

Comment traiter les situations relevant seulement de la technicité manuelle ?

Avec des outils de calcul formel ou numérique.

Comment est découpée l'année en classe préparatoire ?

En deux semestres.

En combien de champs se répartit le programme de mathématiques ?

En trois champs.

Quels sont les trois champs du programme de mathématiques ?

Algèbre, analyse et probabilités.

Qu'est-ce qu'une implication en logique ?

Une implication relie une condition à une conséquence.

Que fait la contraposition par rapport à une implication ?

Elle remplace l'implication par celle de la négation de la conséquence vers la négation de la condition.

Quels sont les modes de raisonnement au programme ?

La disjonction des cas, la contraposition, l'absurde et l'analyse-synthèse.

Quels types de raisonnement par récurrence existent ?

Le raisonnement par récurrence peut être simple, double ou forte.

Qu'est-ce qu'une relation d'équivalence ?

Une relation binaire dont les classes d'équivalence forment une partition de l'ensemble sous-jacent.

Qu'est-ce qu'une application en mathématiques ?

Une application associe à chaque élément de son ensemble de départ un unique élément de son ensemble d'arrivée.

Qu'est-ce qu'une bijection ?

Une application à la fois injective et surjective possédant une réciproque.

Quelle est la formule du binôme dans R ?

(a+b)^n = somme de k=0 à n de C(n,k) a^(n-k) b^k.

Quelles opérations utilise l'algorithme du pivot sur un système linéaire ?

Échanges de lignes, multiplications par un scalaire non nul, et additions de multiples de lignes.

Quelle est l'inégalité triangulaire sur les réels ?

|x+y| est inférieur ou égal à |x| + |y|.

Que représente la partie entière d'un réel x ?

Le plus grand entier inférieur ou égal à x.

Quelle inégalité trigonométrique vérifie tout réel x ?

|sin(x)| est inférieur ou égal à |x|.

Quelle est la forme trigonométrique d'un nombre complexe non nul z ?

z = r e^{i heta} avec r > 0, r module et θ argument.

Quelle relation lie le module d'un nombre complexe z à son conjugué ?

|z|^2 = z z.

Quelle est la formule d'Euler pour cos(t) ?

cos(t) = (e^{it} + e^{-it})/2.

Quelle est la formule d'Euler pour sin(t) ?

sin(t) = (e^{it} - e^{-it})/(2i).

Comment sont représentées géométriquement les racines n-ièmes de l'unité ?

Par les sommets d'un polygone régulier inscrit dans le cercle unité.

Quelle transformation complexe est définie par z 12 az + b avec a non nul ?

Une similitude directe.

Quels sont les cas particuliers d'une similitude directe z 12 az + b ?

Les translations, homothe9ties et rotations.

Comment s'écrit une équation différentielle linéaire du premier ordre ?

y'+a(x)y=b(x) avec a et b continues.

Quelle méthode utilise-t-on pour résoudre une équation différentielle linéaire du premier ordre ?

La méthode de variation de la constante.

Sur quoi se base la méthode de variation de la constante ?

Sur l'équation homogène associée.

Comment s'écrit une équation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constants ?

y''+ay'+by=f(x).

Quelle est la dérivée de la fonction x↦∫ₓ₀ˣ f(t) dt pour f continue ?

C'est la fonction f.

Quelles sont deux techniques fondamentales du calcul intégral ?

L'intégration par parties et le changement de variable.

Qu'est-ce que la borne supérieure d'une partie non vide et majorée de R?

C'est son plus petit majorant.

Toute partie non vide et majorée de R admet-elle une borne supérieure?

Oui, toute partie non vide et majorée de R admet une borne supérieure.

Quelles propriétés possède une suite convergente?

Elle possède une limite finie et est bornée.

Que signifie qu'une suite est divergente?

Elle ne converge pas vers une limite finie.

Que dit le théorème de la limite monotone?

Une suite monotone et bornée converge.

Que se passe-t-il si les suites extraites (u2n) et (u2n+1) ont la même limite ℓ?

La suite (un) tend vers ℓ.

Quelle est une solution constante de la récurrence u_{n+1}=au_n+b avec a≠1?

Un point fixe de l'application affine associée.

Que dit le théorème des valeurs intermédiaires pour une fonction continue ?

Elle prend toute valeur entre deux valeurs atteintes.

Qu'impose la continuité d'une fonction sur un segment ?

Elle est bornée et atteint ses bornes.

Que signifie la dérivabilité en un point ?

La fonction admet un nombre dérivé en ce point.

Qu'entraîne la dérivabilité en un point sur la fonction ?

Sa continuité en ce point.

Que dit l'inégalité des accroissements finis si |f′| est majorée par K ?

La fonction est K-lipschitzienne.

Quelle est la condition de convexité d'une fonction f sur un intervalle I ?

Pour tous x,y dans I et λ dans [0,1], f((1-λ)x+λy) ≤ (1-λ)f(x)+λf(y).

Que décompose le théorème de la division euclidienne pour tout entier ?

Un quotient et un reste.

Quelle condition doit respecter le reste dans la division euclidienne ?

Il est positif et strictement inférieur au diviseur.

Quel algorithme calcule le PGCD de deux entiers ?

L'algorithme d'Euclide.

Comment l'algorithme d'Euclide calcule-t-il le PGCD ?

Par divisions euclidiennes successives.

Quand deux entiers sont-ils premiers entre eux ?

Quand leur PGCD vaut 1.

Que caractérise le théorème de Bézout pour deux entiers premiers entre eux ?

L'existence de deux coefficients entiers dont la combinaison linéaire vaut 1.

Quelle propriété a la décomposition en produit de nombres premiers d'un entier naturel non nul ?

Elle est unique à l'ordre des facteurs près.

Avec quelles opérations les congruences modulo un entier sont-elles compatibles ?

Avec l'addition et la multiplication.

Qu'est-ce qu'un groupe en algèbre ?

Un ensemble avec une loi associative, un élément neutre et des inverses.

Qu'est-ce qu'un morphisme de groupes ?

Une application qui respecte les lois de groupe.

Qu'est-ce que le noyau d'un morphisme de groupes ?

Le sous-groupe des éléments envoyés sur l'élément neutre.

Qu'est-ce qu'un anneau en algèbre ?

Une structure avec addition et multiplication liées par distributivité.

Qu'est-ce qu'un corps en algèbre ?

Un anneau commutatif où tout élément non nul est inversible.

Comment s'écrit un système linéaire sous forme matricielle ?

Un système linéaire s'écrit AX=B.

Quand le système AX=B est-il compatible ?

Si et seulement si B est une combinaison linéaire des colonnes de A.

Comment s'expriment les solutions d'un système compatible AX=B ?

Ce sont les vecteurs X0+Y, avec X0 solution particulière et Y solution du système homogène.

Pourquoi l'anneau des matrices carrées n'est-il pas commutatif pour n≥2 ?

Parce que le produit matriciel peut dépendre de l'ordre des facteurs.

Qu'est-ce qu'une matrice carrée inversible ?

C'est une matrice qui possède une matrice inverse.

Comment peut-on calculer l'inverse d'une matrice carrée ?

Par opérations élémentaires ou par résolution du système AX=Y.

Quelles caractéristiques définissent un polynôme de K[X] ?

Son degré, son coefficient dominant et son caractère unitaire éventuel.

Que permet le théorème de la division euclidienne appliqué aux polynômes ?

Diviser un polynôme par un autre avec un quotient et un reste de degré inférieur au diviseur.

Quand un nombre a est-il racine d'un polynôme P ?

Si et seulement si P est divisible par X−a.

Quelle est la limite du nombre de racines d'un polynôme non nul ?

Il est majoré par son degré.

Que relient les formules de Viète pour un polynôme scindé ?

Les coefficients à la somme et au produit de ses racines.

Quelle est la propriété essentielle de la division euclidienne pour deux polynômes A et B ?

Il existe un unique couple Q et R tels qu'A = BQ + R avec deg(R) < deg(B).

Que garantit l'existence d'un polynôme P dans Kₙ₋₁[X] pour des points distincts xᵢ et valeurs yᵢ ?

Il existe un unique polynôme P tel que P(xᵢ) = yᵢ pour tout i.

Quelle forme possède toute fraction rationnelle après simplification ?

Une forme irréductible obtenue en simplifiant les facteurs communs au numérateur et au dénominateur.

Que signifie la relation f(x)=o(g(x)) au voisinage d'un point ?

f est négligeable devant g au voisinage du point.

Que signifie f(x)∼g(x) pour deux fonctions au voisinage d'un point ?

Leur quotient tend vers 1.

Qu'est-ce qu'un développement limité à l'ordre n d'une fonction ?

Un polynôme de degré au plus n plus un reste négligeable devant la puissance correspondante.

Quelle est la formule asymptotique de Stirling pour n! quand n tend vers +∞ ?

n! ∼ √(2πn)(n/e)^n.

Comment se classent les croissances comparées en +∞ ?

Les puissances de logarithme précèdent les puissances de x, elles-mêmes avant les exponentielles.