Le nombre réel positif dont le carré est a
Erklärung
La racine carrée de a est le nombre réel positif dont le carré vaut a. Les solutions de x² = a peuvent, elles, être positives et négatives.
Lorsqu'a est supérieur ou égal à zéro
Erklärung
La racine carrée d’un nombre réel existe dans les réels si et seulement si ce nombre est supérieur ou égal à zéro.
√(a²) = 5
Erklärung
On a √(a²) = |a|. Ainsi, pour a = −5, √(a²) = |−5| = 5, et non −5.
Un entier naturel dont la racine carrée est un entier naturel
Erklärung
Un carré parfait est un entier naturel dont la racine carrée est également un entier naturel, comme 9 ou 16.
0, 1, 4, 9 et 16
Erklärung
Les carrés parfaits de cet intervalle sont 0², 1², 2², 3² et 4², soit 0, 1, 4, 9 et 16.
Parce qu’elle est irrationnelle
Erklärung
La racine carrée d’un entier non carré parfait est irrationnelle, donc elle ne peut pas être représentée par une écriture décimale finie.
Découper en tranches de deux chiffres, choisir un chiffre compatible, soustraire et abaisser la tranche suivante
Erklärung
L’extraction manuelle découpe le nombre en tranches de deux chiffres, puis répète le choix d’un chiffre compatible, la soustraction et l’abaissement de la tranche suivante.
xₙ₊₁ = 1/2(xₙ + a/xₙ)
Erklärung
La méthode de Héron remplace xₙ par la moyenne de xₙ et de a/xₙ : xₙ₊₁ = 1/2(xₙ + a/xₙ). On répète jusqu’à atteindre la précision voulue.
La racine du produit est le produit des racines
Erklärung
Pour deux réels positifs a et b, on a √(ab) = √a × √b. Cette séparation s’applique à un produit, mais pas en général à une somme ou à une différence.
Chercher le plus grand carré parfait qui divise n
Erklärung
On recherche le plus grand carré parfait divisant n, puis on extrait sa racine carrée. Par exemple, 36 divise 72 et permet d’obtenir √72 = 6√2.
√a / √b
Erklärung
La racine carrée d’un quotient se sépare en quotient des racines : √(a/b) = √a/√b, sous les conditions indiquées sur a et b.
a^k
Erklärung
Pour un exposant pair, la moitié de l’exposant est un entier : √(a^(2k)) = a^k. Aucun facteur √a ne reste alors sous le radical.
a^k√a
Erklärung
Un exposant impair contient un exposant pair 2k et un facteur a : √(a^(2k+1)) = a^k√a. Le facteur √a demeure donc sous le radical.
49√7
Erklärung
Comme 5 = 2×2+1, on obtient √(7^5) = 7^2√7 = 49√7. L’exposant impair laisse un facteur √7.
√(a+b) = √a + √b
Erklärung
En général, la racine carrée ne se distribue pas sur une somme : √(a+b) ≠ √a + √b. En revanche, elle peut se séparer pour un produit ou un quotient dans les conditions appropriées.
Ceux qui ont des racines carrées identiques
Erklärung
On peut regrouper uniquement les radicaux possédant la même racine carrée, comme 8√5 et 2√5. Les termes en √2 et en √5 ne sont pas semblables.
√a ≤ √b
Erklärung
La fonction racine carrée conserve l’ordre sur les nombres positifs : a ≤ b si et seulement si √a ≤ √b.
Comparer leurs carrés
Erklärung
Deux expressions positives peuvent être comparées en comparant leurs carrés, car la fonction carré conserve l’ordre sur les nombres positifs. Cette méthode ne s’applique pas de la même façon à des nombres de signes opposés.
Multiplier le numérateur et le dénominateur par une même expression pour supprimer le radical du dénominateur
Erklärung
Rationaliser consiste à multiplier le numérateur et le dénominateur par une expression appropriée afin d’éliminer le radical du dénominateur, sans changer la valeur de la fraction.
On multiplie par √b/√b
Erklärung
Multiplier le numérateur et le dénominateur par √b donne au dénominateur √b × √b = b.
L’expression conjuguée \(u+v\)
Erklärung
On utilise l’expression conjuguée \(u+v\), car le produit \((u-v)(u+v)=u^2-v^2\) supprime les termes radicaux appropriés du dénominateur.
Deux solutions opposées : √a et −√a
Erklärung
Lorsqu'a est positif, les deux solutions réelles de x² = a sont √a et −√a, qui sont opposées et distinctes.
x = 0
Erklärung
Seul le nombre 0 a un carré égal à 0. L’équation x² = 0 possède donc une unique solution : x = 0.
Parce que le carré d’un nombre réel est toujours positif ou nul
Erklärung
Le carré d’un nombre réel ne peut pas être négatif : il est toujours positif ou nul. Il ne peut donc pas être égal à un nombre a négatif.
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Qu'est-ce que la racine carrée d'un nombre réel positif a ?
C'est le nombre réel positif dont le carré est a.
Quelle condition doit satisfaire a pour que existe dans les réels ?
a doit être supérieur ou égal à zéro.
Que vaut pour a\ge 0 ?
Elle vaut a.
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