Lernzettel: Réciproque de Pythagore

📋 Plan du Cours

1. Médiatrice dans un triangle isocèle
2. Démonstration par construction
3. Théorème et applications numériques

📖 1. Médiatrice dans un triangle isocèle

📝 Points essentiels

• Dans la question flash, le triangle ABC est isocèle en A et il faut montrer que la droite (AI) est la médiatrice du segment [BC].

💡 Astuce mémo

Côtés égaux → médiatrice

📖 2. Démonstration par construction

📝 Points essentiels

★ À maîtriser

🔄 Processus — Pour un triangle ABC vérifiant AB² + BC² = AC², on construit D tel que BC = BD et que l’angle DBA mesure 90°.

🔄 Processus — Dans le triangle ABD, l’utilisation du théorème de Pythagore permet de déduire que AD = AC.

🔄 Processus — Comme AD = AC et AB est perpendiculaire à BD, on déduit que la droite (AB) est la médiatrice du segment [CD].

📌 Le triangle ABC est alors rectangle en B.

Compléments

🔄 Processus — Puisque (AB) est la médiatrice de [CD], on en déduit que (AB) est perpendiculaire à (BC).

💡 Astuce mémo

Pythagore → égalité → médiatrice → perpendicularité

📖 3. Théorème et applications numériques

🔑 Notions clés & Définitions

• Réciproque du théorème de Pythagore : Si, dans un triangle, le carré de la longueur du plus grand côté est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés, alors ce triangle est rectangle.

📝 Points essentiels

★ À maîtriser

🔄 Processus — Comme le carré du plus grand côté ST est égal à la somme des carrés des deux autres côtés, la réciproque du théorème de Pythagore permet de conclure que le triangle SUT est rectangle en U.

Compléments

• Dans le triangle SUT, ST² = 5² = 25 cm² et US² + UT² = 3² + 4² = 9 + 16 = 25 cm².

• Un triangle de côtés AB = 6 cm, BC = 8 cm et AC = 10 cm vérifie AB² + BC² = AC², car 6² + 8² = 10².

• Pythagore est présenté comme un mathématicien grec ayant vécu de 580 à 495 av. J.-C.

💡 Astuce mémo

Grand carré = deux petits carrés

⚠️ Pièges & confusions fréquents

1. La condition porte sur les carrés des longueurs, et non sur leur somme simple.
2. La réciproque permet de conclure qu’un triangle est rectangle à partir de ses longueurs, contrairement au théorème direct qui utilise un triangle déjà rectangle.
3. La médiatrice d’un segment ne se confond pas avec l’un de ses côtés.
4. L’angle droit se situe en U, car les côtés US et UT sont les deux côtés dont les carrés sont additionnés.