Lernzettel: Statistiques descriptives fondamentales

📋 Plan du Cours

1. Moyenne simple et pondérée
2. Médiane et étendue
3. Médiane dans un tableau
4. Fréquences statistiques
5. Histogramme des données
6. Diagramme circulaire

📖 1. Moyenne simple et pondérée

🔑 Notions clés & Définitions

• Moyenne simple : La moyenne simple d’une série est le quotient de la somme de toutes les valeurs par le nombre de valeurs.
• Moyenne pondérée : La moyenne pondérée d’une série est la somme des produits de chaque donnée par son effectif, divisée par l’effectif total.

📝 Points essentiels

• Pour la moyenne simple, M = (valeur1 + valeur2 + … + valeurn) / n.
• Pour la moyenne pondérée, on calcule d’abord chaque produit (donnée × effectif), puis on divise par l’effectif total.
• Dans l’exemple des cartables, la masse moyenne est M = 143/25 = 5,72 kg.

💡 Astuce mémo

Pondérée = “pondérer” par les effectifs : donnée × effectif, puis on divise par le total.

📖 2. Médiane et étendue

🔑 Notions clés & Définitions

• Médiane : La médiane d’une série ordonnée est une valeur qui partage la série en deux parties de même effectif.
• Étendue : L’étendue d’une série statistique est la différence entre la plus grande valeur et la plus petite valeur.

📝 Points essentiels

• Dans une série, au moins 50 % des valeurs sont ≤ à la médiane et au moins 50 % sont ≥ à la médiane.
• Si l’effectif total est impair, la médiane est la valeur centrale de l’ordre croissant.
• Si l’effectif total est pair, la médiane est prise entre les deux valeurs centrales, avec interpolation (exemple : (13+14)/2 = 13,5).
• L’étendue se calcule par E = valeur max − valeur min, ici E = 20 − (−15) = 35 °C.

💡 Astuce mémo

Médiane = milieu (50/50) ; Étendue = écart max-min.

📖 3. Médiane dans un tableau

🔑 Notions clés & Définitions

• Effectif cumulés : Les effectifs cumulés sont des sommes successives d’effectifs qui permettent de repérer directement une position dans la liste ordonnée.
• Tableau de fréquence : Un tableau de données associe à chaque valeur (ou intervalle) son effectif pour éviter d’écrire toutes les valeurs une par une.

📝 Points essentiels

• Avec le tableau des écrans (effectif total 31), on cherche la 16e valeur (31 = 15 + 1), ce qui donne une médiane de 6 écrans.
• Les effectifs cumulés permettent d’identifier la valeur correspondant à la position recherchée, ici 16e puis comparaison avec les cumulés.
• Pour les âges, avec effectif total 72, la médiane correspond aux 36e et 37e valeurs car on a besoin de deux positions centrales.
• D’après les effectifs cumulés des âges, la 36e donnée vaut 14 et la 37e vaut 15, donc la médiane est par exemple 14,5 ans.

💡 Astuce mémo

On repère la position centrale grâce aux cumulés : on vise 16e quand total = 31, ou 36e-37e quand total = 72.

📖 4. Fréquences statistiques

🔑 Notions clés & Définitions

• Fréquence : La fréquence d’une catégorie est le quotient de son effectif par l’effectif total, exprimé en fraction puis en pourcentage si besoin.
• Effectif total : L’effectif total est la somme des effectifs de toutes les catégories du tableau considéré.

📝 Points essentiels

• La fréquence se calcule par fréquence = effectif / effectif total.
• Dans l’exemple des cheveux (30 élèves), la fréquence des blonds vaut 6/30 = 0,2 = 20 %.
• Dans le même exemple, la fréquence des bruns vaut 16/30 = 8/15 ≈ 0,53 ≈ 53 %.
• Toujours pour 30 élèves, la fréquence de la catégorie “Autre” vaut 2/30 = 1/15 ≈ 0,07 ≈ 7 %.
• Dans le tableau 5e A, 6 élèves ont les cheveux roux : fréquence = 6/30 = 20 %.

💡 Astuce mémo

Fréquence = “part” : effectif de la catégorie / total, puis ×100 pour obtenir le pourcentage.

📖 5. Histogramme des données

🔑 Notions clés & Définitions

• Histogramme : Un histogramme représente des données regroupées en classes, en utilisant des barres dont la hauteur reflète la quantité dans chaque classe.
• Classe (d’amplitude) : Une classe est un intervalle de valeurs, ici défini par une amplitude en centimètres, utilisé pour regrouper les mesures.

📝 Points essentiels

• Quand les données sont nombreuses, on les regroupe en classes et on utilise un histogramme.
• Dans l’exemple des tailles (amplitude 5 cm), les classes sont du type 130–135 (135 exclu), puis 135–140 (140 exclu), etc.
• Quand les classes ont la même amplitude, la hauteur du rectangle est proportionnelle à l’effectif de la classe.
• On lit l’effectif sur l’axe vertical dans le graphique.

💡 Astuce mémo

Histogramme : classes sur l’axe, hauteur ∝ effectif (si même amplitude).

📖 6. Diagramme circulaire

🔑 Notions clés & Définitions

• Diagramme circulaire : Un diagramme circulaire représente des catégories en secteurs dont l’angle est proportionnel à l’effectif.
• Angle proportionnel : La mesure de l’angle d’un secteur est proportionnelle à l’effectif de la catégorie qu’il représente.

📝 Points essentiels

• Dans un diagramme circulaire, l’effectif total correspond à 360° sur le cercle.
• Pour obtenir les angles, on multiplie chaque effectif par 3,6 quand l’effectif total vaut 100.
• Dans l’exemple des secondes langues (100 élèves), l’allemand correspond à 15 × 3,6 = 54° et l’espagnol à 50 × 3,6 = 180°.
• On peut aussi construire un diagramme semi-circulaire où la somme des angles vaut 180°.
• Le tableau et les angles calculés permettent de construire le diagramme.

💡 Astuce mémo

Total 100 → cercle complet : 1 élève = 3,6°.

📊 Tableaux de synthèse

Médiane : total impair vs total pair

Situation	Valeur centrale	Résultat attendu
Effectif impair	Une seule position centrale	La médiane est la valeur centrale (exemple : médiane = 4 quand la série a 15 valeurs).
Effectif pair	Deux positions centrales	La médiane est entre les deux valeurs centrales, via (val1+val2)/2 (exemple : 13,5).

⚠️ Pièges & confusions fréquents

1. Confondre moyenne simple et moyenne pondérée : la pondérée utilise les effectifs (donnée × effectif) avant de diviser par le total.
2. Oublier que la médiane se lit après avoir rangé la série par ordre croissant.
3. Penser que la médiane est toujours une valeur déjà présente : elle peut être un nombre entre deux valeurs (exemple 13,5).
4. Pour l’étendue, inverser les signes en prenant valeur min sans faire attention à la soustraction max − min.
5. En histogramme, croire que la hauteur représente directement la “taille” de la classe : elle est proportionnelle à l’effectif seulement quand les amplitudes sont identiques.
6. En diagramme circulaire, oublier que l’effectif total vaut 360° (donc utiliser 3,6 quand le total est 100) ou confondre avec le semi-cercle à 180°.

✅ Checklist Examen

1. Savoir calculer une moyenne simple avec M = somme des valeurs / nombre de valeurs.
2. Savoir calculer une moyenne pondérée avec somme des (donnée × effectif) / effectif total.
3. Connaître la définition de la médiane pour une série ordonnée et l’interprétation avec 50 % ≤ médiane et 50 % ≥ médiane.
4. Savoir déterminer la médiane quand l’effectif total est impair en repérant la valeur centrale.
5. Savoir déterminer la médiane quand l’effectif total est pair en faisant la moyenne des deux valeurs centrales.
6. Savoir calculer l’étendue d’une série par E = valeur max − valeur min.
7. Savoir utiliser un tableau avec effectifs cumulés pour repérer la position de la médiane (exemples : 16e avec total 31, 36e et 37e avec total 72).
8. Savoir calculer une fréquence à partir d’un effectif et d’un effectif total, puis donner le pourcentage.
9. Savoir exploiter un tableau de fréquences pour déduire le nombre d’élèves d’une catégorie.
10. Savoir expliquer comment construire un histogramme en utilisant des classes (amplitude) et des rectangles dont la hauteur est proportionnelle aux effectifs.
11. Savoir calculer les angles d’un diagramme circulaire quand l’effectif total vaut 100 en multipliant par 3,6.
12. Savoir appliquer la règle 360° pour un diagramme circulaire et 180° pour un diagramme semi-circulaire.