Lernzettel: Suite arithmétique et intérêt simple

📋 Plan du Cours

1. Montrer qu’une suite est arithmétique
2. Placement à intérêt simple et suite arithmétique
3. Définitions et caractérisation des suites arithmétiques
4. Formule explicite du terme général
5. Propriétés des suites arithmétiques

📖 1. Montrer qu’une suite est arithmétique

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite arithmétique : Une suite est arithmétique s’il existe une constante r telle que chaque terme suivant s’obtienne en ajoutant r au précédent.
• Raison r : La raison est la constante d’accroissement qui relie deux termes consécutifs d’une suite arithmétique.

📝 Points essentiels

• Pour tester une suite x, on peut vérifier que x(n+1)−x(n) est constante.
• On peut aussi chercher des réels a et b tels que x(n)=an+b pour tout n.
• Dans l’exemple, u(0)=0, u(1)=1 mais u(2)≠2, donc u n’est pas arithmétique.

💡 Astuce mémo

Différence constante = raison fixe.

📖 2. Placement à intérêt simple et suite arithmétique

🔑 Notions clés & Définitions

• Intérêt simple : L’intérêt simple produit des intérêts calculés chaque année sur le capital initial, sans capitalisation.
• Suite arithmétique de capital : Le capital acquis au bout de n années peut être modélisé par une suite arithmétique quand les intérêts annuels sont constants.

📝 Points essentiels

• Avec un taux annuel de 6,2% et un capital initial de 20 000 €, les intérêts annuels valent 20 000×6,2/100=1 240 €.
• La valeur acquise après n années vérifie C(n)=20 000+n×1 240.
• On cherche C(n)≥31 000, soit 1 240n≥11 000, d’où n=11 000/1 240≈8,9 et donc 9 ans.

💡 Astuce mémo

Intérêt simple → intérêts annuels constants → accroissement constant.

📖 3. Définitions et caractérisation des suites arithmétiques

🔑 Notions clés & Définitions

• Terme général u(n) : Le terme général u(n) est la valeur de la suite au rang n, aussi notée u_n.
• Caractérisation u(n)=u(0)+nr : Une suite arithmétique de raison r vérifie u(n)=u(0)+nr pour tout entier naturel n.

📝 Points essentiels

• Définition : u est arithmétique s’il existe r tel que u(n+1)=u(n)+r pour tout n.
• Théorème : si u est arithmétique de raison r, alors u(n)=u(0)+nr pour tout n.
• Réciproque : si u(n)=a+nr pour tout n, alors u est arithmétique de raison r et de premier terme u(0)=a.

💡 Astuce mémo

Forme a+nr ⇔ suite arithmétique.

📖 4. Formule explicite du terme général

🔑 Notions clés & Définitions

• Formule explicite : La formule explicite donne directement u(n) en fonction de n, sans calculer tous les termes précédents.
• Premier terme u(0) : Le premier terme est la valeur de la suite au rang 0, notée u(0) ou a dans la forme u(n)=a+nr.

📝 Points essentiels

• Si u est arithmétique de raison r, alors u(n)=u(0)+nr pour tout entier naturel n.
• On a aussi u(n)=u(1)+(n−1)r pour tout entier naturel non nul n.
• La raison r est la constante qui multiplie n dans la formule explicite.

📖 5. Propriétés des suites arithmétiques

🔑 Notions clés & Définitions

• Taux d’accroissement : Le taux d’accroissement est la différence entre deux termes consécutifs, u(n+1)−u(n).
• Représentation graphique : La représentation graphique d’une suite consiste à placer les points (n;u(n)) dans un repère.

📝 Points essentiels

• Représentation : pour une suite arithmétique de premier terme a et de raison r, les points (n;u(n)) sont sur la droite y=ax+r.
• Taux d’accroissement : u est arithmétique ssi u(n+1)−u(n)=r pour tout n.
• Exemple d’application : en intérêt simple à t%, les intérêts annuels représentent t% du capital initial, donc l’accroissement est constant.

💡 Astuce mémo

Droite y=ax+r + différence constante.

⚠️ Pièges & confusions fréquents

1. Confondre u(n+1)=u(n)+r avec une simple croissance : il faut une différence constante pour tous les n.
2. Croire qu’il suffit de vérifier arithmétique sur quelques valeurs : il faut la condition pour tout n.
3. Mélanger intérêt simple et capitalisation : en intérêt simple, les intérêts restent calculés sur le capital initial.

✅ Checklist Examen

1. Savoir décider si une suite est arithmétique en testant la constance de u(n+1)−u(n).
2. Savoir utiliser la forme u(n)=a+nr et en déduire la raison r et le premier terme u(0).
3. Savoir calculer u(n) avec la formule explicite u(n)=u(0)+nr (ou u(n)=u(1)+(n−1)r).
4. Savoir modéliser un placement à intérêt simple : intérêts annuels constants, puis C(n)=capital initial + n×intérêts annuels.
5. Savoir résoudre une inéquation du type C(n)≥valeur cible pour trouver le nombre d’années (arrondi à l’entier supérieur).