Lernzettel: Suites arithmétiques et représentations

📋 Plan du Cours

1. Définition des suites arithmétiques
2. Relation de récurrence et caractérisation
3. Représentation graphique et variation

📖 1. Définition des suites arithmétiques

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite arithmétique : Suite dont chaque terme s’obtient à partir du précédent en ajoutant toujours la même quantité appelée raison.
• Raison de la suite : Nombre constant $r$ qui représente l’écart entre deux termes consécutifs d’une suite arithmétique.

📝 Points essentiels

• Une suite est arithmétique si l’écart $u(n+1)-u(n)$ est constant et vaut la raison $r.
• Exemple arithmétique : $(3,6,9,12,15,\dots)$ a pour raison $r=3$.
• Exemple arithmétique à raison négative : $(5,3,1,-1,-3,\dots)$ a pour raison $r=-2$.
• Exemple non arithmétique : $(5,10,15,20,24,\dots)$ n’est pas arithmétique car on n’ajoute pas toujours le même nombre.

💡 Astuce mémo

Écart constant : même saut à chaque pas, donc c’est arithmétique.

📖 2. Relation de récurrence et caractérisation

🔑 Notions clés & Définitions

• Relation de récurrence : Écriture qui relie un terme à son précédent, ici $u(n+1)=u(n)+r$ pour une suite arithmétique de raison $r$.
• Différence consécutive : Quantité $u(n+1)-u(n)$ qui doit rester constante pour caractériser une suite arithmétique.

📝 Points essentiels

• Si $u$ est arithmétique de raison $r$, alors pour tout $n$ : $u(n+1)=u(n)+r$.
• Pour montrer qu’une suite est arithmétique, on calcule $u(n+1)-u(n)$ et on vérifie qu’elle vaut une constante.
• Suite arithmétique $u(n)=4n+5$ : $u(n+1)-u(n)=4$, donc $r=4$.
• Suite non arithmétique : $v(n)=n^2+1$ car $v(1)-v(0)=1$ et $v(2)-v(1)=3$ ne sont pas constants.

💡 Astuce mémo

Test express : calcule $u(n+1)-u(n)$, si c’est constant alors $r$.

📖 3. Représentation graphique et variation

🔑 Notions clés & Définitions

• Nuage de points alignés : Représentation graphique où les points $(n,u(n))$ d’une suite sont sur une même droite si la suite est arithmétique.
• Sens de variation : Propriété indiquant si une suite augmente, diminue ou reste constante selon le signe de sa raison $r$.

📝 Points essentiels

• Une suite est arithmétique si et seulement si son nuage de points est aligné.
• Pour une suite arithmétique de raison $r$ : si $r>0$ alors la suite est croissante.
• Pour une suite arithmétique de raison $r$ : si $r<0$ alors la suite est décroissante.
• Si $r=0$, tous les termes sont égaux et la suite est constante.

💡 Astuce mémo

Signe de $r$ = sens : positif vers le haut, négatif vers le bas, zéro plat.

⚠️ Pièges & confusions fréquents

1. Confondre raison et terme : la raison est l’écart entre deux termes consécutifs, pas un terme de la suite.
2. Croire qu’une suite avec un terme manquant ou irrégulier reste arithmétique : il faut vérifier l’écart $u(n+1)-u(n)$ à chaque fois.
3. Tester sur deux différences seulement sans conclure : l’idée est de montrer que la différence est constante pour tout $n$.
4. Penser que $n^2+1$ est arithmétique : la différence $v(n+1)-v(n)$ n’est pas constante.
5. Oublier le cas $r=0$ : une raison nulle donne une suite constante, donc ni croissante ni décroissante.
6. Inverser le sens de variation : $r>0$ implique croissante et $r<0$ implique décroissante.

✅ Checklist Examen

1. Définir une suite arithmétique et identifier la raison $r$ comme l’écart constant $u(n+1)-u(n)$.
2. Vérifier si une suite donnée est arithmétique en contrôlant que l’ajout d’un terme au suivant est constant.
3. Écrire la relation de récurrence d’une suite arithmétique : $u(n+1)=u(n)+r$.
4. Montrer qu’une expression $u(n)$ définit une suite arithmétique en calculant $u(n+1)-u(n)$ et en trouvant une constante.
5. Déterminer si une suite est arithmétique à partir de la non-constance des différences entre termes consécutifs.
6. Interpréter graphiquement une suite : reconnaître l’alignement des points comme caractéristique d’une suite arithmétique.
7. Associer le signe de la raison $r$ au sens de variation : $r>0$ croissante, $r<0$ décroissante, $r=0$ constante.
8. Repérer, à partir de la raison, si la représentation graphique doit monter, descendre ou rester horizontale.