Lernzettel: Transformations géométriques fondamentales

📋 Plan du Cours

1. Symétrie axiale
2. Symétrie centrale
3. Translation
4. Rotation
5. Homothétie

📖 1. Symétrie axiale

🔑 Notions clés & Définitions

• Symétrie axiale : Transformation qui associe à chaque point son image par rapport à une droite, comme un pliage le long de l’axe.
• Médiatrice : Droite qui passe par le milieu d’un segment et qui lui est perpendiculaire.
• Axe de symétrie : Droite qui sert de référence pour la symétrie axiale et qui est la médiatrice du segment reliant un point à son image.

📝 Points essentiels

• Dire que A' est le symétrique de A par rapport à (d) signifie que (d) est la médiatrice du segment [AA'].
• La médiatrice d’un segment passe par le milieu du segment et est perpendiculaire à ce segment.
• Par symétrie axiale, une figure est “pliée” sur l’axe de symétrie pour obtenir son image.

💡 Astuce mémo

Médiatrice = Milieu + Perpendiculaire : l’axe “coupe” le segment en deux à angle droit.

📖 2. Symétrie centrale

🔑 Notions clés & Définitions

• Symétrie centrale : Transformation qui associe à chaque point son image par rapport à un centre, comme un demi-tour autour de ce point.
• Centre de symétrie : Point utilisé comme référence : il devient le milieu du segment reliant un point à son image.

📝 Points essentiels

• Dire que M' est le symétrique de M par rapport à O signifie que O est le milieu du segment [MM'].
• Par symétrie centrale, l’image d’une figure s’obtient par un demi-tour autour du centre de symétrie.

💡 Astuce mémo

Centre de symétrie = milieu du segment : MM’ se “partage” en deux au point O.

📖 3. Translation

🔑 Notions clés & Définitions

• Translation : Transformation qui déplace une figure en conservant sa forme et son orientation, sans déformer ni retourner.

📝 Points essentiels

• Le point M' est l’image de M par la translation si ABM'M est un parallélogramme pour la translation qui transforme A en B.
• Par translation, on “fait glisser” la figure selon une direction, un sens et une longueur.

💡 Astuce mémo

Parallélogramme : glissement sans torsion, la figure garde la même orientation.

📖 4. Rotation

🔑 Notions clés & Définitions

• Rotation : Transformation qui fait tourner une figure autour d’un centre selon un angle et un sens donnés.

📝 Points essentiels

• L’image M' de M par une rotation de centre O et d’angle α vérifie OM' = OM et ∠MOM' = α.
• Une rotation fait tourner une figure autour du centre avec un sens horaire ou anti-horaire pour un angle donné.
• Exemple : F2 est l’image de F1 par une rotation de centre O et d’angle 70° dans le sens horaire.

💡 Astuce mémo

Rotation : même distance au centre (OM’ = OM) + angle fixé (∠MOM’ = α).

📖 5. Homothétie

🔑 Notions clés & Définitions

• Homothétie : Transformation qui associe à chaque point M un point M' aligné avec un centre O, en multipliant la distance par un rapport k.

📝 Points essentiels

• Pour une homothétie de centre O et de rapport k ≠ 0, les points O, M et M' sont alignés et OM' = k×OM (avec signe selon k).
• Si k > 0, M et M' sont du même côté de O et OM' = k×OM.
• Si k < 0, M et M' sont de part et d’autre de O et OM' = -k×OM.
• Avec k = -1,5 : le poisson image est un retournement de l’image initial (k<0) et comme k < -1, il y a agrandissement du poisson vert par rapport au poisson bleu.

💡 Astuce mémo

k signe l’effet : k>0 même côté, k<0 côtés opposés ; |k| règle agrandir/réduire.

⚠️ Pièges & confusions fréquents

1. En symétrie axiale, confondre l’axe avec le centre : l’axe est une médiatrice et sert de perpendiculaire au segment [AA'].
2. Oublier que la médiatrice passe par le milieu : l’axe n’est pas n’importe quelle droite qui coupe le segment.
3. En symétrie centrale, croire que le centre est perpendiculaire : il est uniquement le milieu du segment [MM'].
4. Penser que la translation retourne la figure : une translation ne déforme ni ne retourne, elle glisse seulement.
5. Confondre la rotation avec l’homothétie : la rotation conserve la distance au centre, l’homothétie multiplie OM par k.
6. Dans l’homothétie, oublier la règle de signe : k<0 impose que M et M' soient de part et d’autre de O.

✅ Checklist Examen

1. Énoncer la condition de symétrie axiale : l’axe (d) est la médiatrice du segment reliant un point à son image.
2. Rappeler la définition de la médiatrice : milieu du segment et perpendiculaire à ce segment.
3. Énoncer la condition de symétrie centrale : le centre O est le milieu du segment [MM'].
4. Décrire l’effet géométrique de la symétrie centrale : demi-tour autour du centre.
5. Donner le critère de translation basé sur le parallélogramme ABM'M quand A est envoyé sur B.
6. Décrire l’effet géométrique de la translation : glissement selon direction, sens et longueur sans déformation ni retournement.
7. Donner les deux égalités caractérisant une rotation : OM' = OM et ∠MOM' = α.
8. Indiquer le sens de rotation : horaire ou anti-horaire pour l’angle donné.
9. Énoncer la condition de l’homothétie : O, M, M' alignés et OM' lié à k×OM avec la bonne gestion du signe.
10. Savoir interpréter k dans l’homothétie : k>0 même côté, k<0 côtés opposés, et |k| pour agrandir ou réduire, y compris le cas k = -1,5.